三大分布

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三大分布

0.简介

卡方分布 $ \chi^2$分布

• 统计量的构造：

\[ \chi^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \]

• 抽样分布密度函数：

\[ p(y) = \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)2^{n/2}} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \quad (y > 0) \]

• 期望：

\[ n \]

• 方差：

\[ 2n \]

F分布

• 统计量的构造：

\[ F = \frac{(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_m^2)/m}{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)/n} \]

• 抽样分布密度函数：

\[ p(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{m + n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} \left(1 + \frac{m}{n}y\right)^{-\frac{m + n}{2}} \quad (y > 0) \]

• 期望：

\[ \frac{n}{n - 2} \quad (n > 2) \]

• 方差：

\[ \frac{2n^2(m + n - 2)}{m(n - 2)^2(n - 4)} \quad (n > 4) \]

t分布

• 统计量的构造：

\[ t = \frac{y_1}{\sqrt{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)/n}} \]

• 抽样分布密度函数：

\[ p(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n + 1}{2}} \quad (-\infty < y < \infty) \]

• 期望：

\[ 0 \quad (n > 1) \]

• 方差：

\[ \frac{n}{n - 2} \quad (n > 2) \]

1.卡方分布 $ \chi^2$分布

卡方分布定义
如果 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是 $ n $ 个独立同分布的标准正态随机变量（即每个 $ X_i $ 都服从 $ N(0,1) $），则它们的平方和 $ \chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_n^2 $ 服从自由度为 $ n $ 的卡方分布，记为 $ \chi^2(n) $。

卡方分布与伽马分布的关系
如果随机变量 $ X $ 服从标准正态分布 $ N(0,1) $，则 $ X^2 $ 服从伽马分布 $ Ga(1/2, 1/2) \(。根据伽马分布的可加性，\) X^2 $ 服从 $ Ga(n/2, 1/2) $，这表明 $ \chi^2(n) $ 分布是伽马分布的一个特例。

卡方分布的密度函数
卡方分布的概率密度函数（PDF）为：

\[p(y) = \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} y^{(n/2 - 1)} e^{-y/2}, \quad y > 0 \]

其中，$ \Gamma(n/2) $ 是伽马函数，$ (1/2)^{n/2} $ 是归一化因子，确保积分为1。

卡方分布的性质

• 期望：$ E(\chi^2(n)) = n $，表示卡方分布的期望等于自由度 $ n $。
• 方差：$ Var(\chi^2(n)) = 2n $，表示卡方分布的方差是自由度的两倍。

应用
卡方分布广泛应用于统计学中的假设检验，特别是在方差分析（ANOVA）和列联表检验中。它也用于信号处理、通信理论和量子力学等领域。

图像特征
卡方分布的图像是一个偏态分布，只取非负值。其形状取决于自由度 $ n $，较大的 $ n $ 值会使分布更接近正态分布。

通过这些信息，我们可以看到卡方分布是统计学和概率论中一个非常重要的概念，它在理论和应用中都有着广泛的用途。

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