题目 满足$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$的图像关于直线$y=x$对称, $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ 且$c,d$不全为$0$的整数组$(a,b,c,d)$个数为
$\textbf{(A) }1282\qquad\textbf{(B) }1292\qquad\textbf{(C) }1310\qquad\textbf{(D) }1320\qquad\textbf{(E) }1330$
解
分类讨论.
$1^{\circ}$ 当$c=0$时, $y=\dfrac{ax+b}{d}$为线性函数, 则图像关于直线$y=x$对称要么图像与之重合, 要么与之垂直, 前者要求$b=0,$ $a=d\neq0,$ 后者要求$a=-d\neq0,$ 故数组个数为$10+11\times10=120.$
$2^{\circ}$ 当$c\neq0$时, $y=\dfrac{1}{c}\left(a+\dfrac{bc-ad}{cx+d}\right).$ 当$bc-ad=0$时函数为常函数, 图像不可能与直线$y=x$对称, 因此$bc-ad\neq0,$ 此时图像通过反比例函数平移得到, 则其关于$y=x$对称当且仅当$y=x$过双曲线中心点$\left(\dfrac{a}{c},\dfrac{-d}{c}\right).$ 因此此时图像关于$y=x$对称当且仅当$a=-d$且$bc-ad\neq0.$
(1)$a=-d=0$时, $c\neq0,$ $b\neq0,$ 因此数组个数为$10\times 10=100.$
(2)$a=-d=\alpha,$ $\alpha\in\{\pm1,\pm3,\pm4,\pm5\},$ $c\neq0,$ 且$bc\neq -\alpha^2,$ 因此$(b,c)\neq(-\alpha,\alpha),(\alpha,-\alpha),$ 因此数组个数为$8\times (10\times 11-2)=864.$
(3)$a=-d=\pm2,$ $c\neq0,$ 且$bc\neq -4,$ 因此$(b,c)\neq(-1,4),(1,-4),(-2,2),(2,-2),(-4,1),(4,-1),$ 因此数组个数为$2\times (10\times 11-6)=208.$
因此总数组个数为$120+100+864+208=1292.$ 选$\textbf{(B) }.$