题解：P11250 [GESP202409 八级] 手套配对

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思路讲解

一道非常经典的排列组合的题。

首先，我们要先从 n n n 对手套中取走 k k k 对，容易想到方案数为 C n k C_{n}^{k} Cnk​。

接下来，因为我们要恰好取走 k k k 对手套，所以剩下取走的 m − 2 × k m-2\times k m−2×k 只手套中不能出现有两个属于同一对的情况，所以我们只能从剩下的 n − k n-k n−k 对手套中选出 m m m 对，各取走一只左手套或者右手套，方案数为 2 m − 2 × k × C n − k m − 2 × k 2^{m-2\times k} \times C_{n-k}^{m-2\times k} 2m−2×k×Cn−km−2×k​。

最终，答案为 C n k × 2 m − 2 × k × C n − k m − 2 × k C_{n}^{k} \times 2^{m-2\times k} \times C_{n-k}^{m-2\times k} Cnk​×2m−2×k×Cn−km−2×k​。

我们只需通过杨辉三角预处理组合数，再预处理 2 2 2 的整数幂（当然也可以用快速幂），最后直接输出答案即可。

需要注意的是，预处理和统计答案时要及时取模，并且输出时要开 long long，否则可能会超过变量的上限。还有当 m − 2 × k < 0 m-2\times k<0 m−2×k<0 或 m − 2 × k > n − k m-2\times k>n-k m−2×k>n−k 时要直接输出 0 0 0。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int t,n,m,k;
int C[1003][1003],mi[2003];
int main(){
    for(int i=0;i<=1000;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            C[i][j]=(j==0 || j==i?1:C[i-1][j]+C[i-1][j-1]),C[i][j]%=mod;
    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=2000;i++)
        mi[i]=mi[i-1]*2%mod;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if(m-2*k<0 || m-2*k>n-k)
            printf("0\n");
        else
            printf("%lld\n",(1LL*C[n][k]*mi[m-2*k]%mod)*C[n-k][m-2*k]%mod);
    }
    return 0;
}