Opinion dynamics analysis for stubborn individuals in cooperation–competition networks based on path-dependence framework[1]
目录一、Introduction
研究符号网络上一系列相关话题（路径依赖，话题的初始意见是上一个话题的收敛意见）的F-J模型
经典的加权平均模型(DeGroot)：
\[x_i(k+1)=\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k),\qquad \sum_{j=0}^nw_{ij}=1,\forall i. \]F-J模型：
\[x_i(k+1)=\theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(k)+(1-\theta_i)x_i(0), \]模型：
\[x_i(s,k+1) = \theta_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{1} \]\(\theta_i\in [0,1]\)，fully stubborn \(\theta_i = 0\)，partially stubborn \(0<\theta_i<1\)，non-stubborn \(\theta_i = 1\)
路径依赖框架（path-dependence framework）
\[x_i(s+1,0) = x_i(s,+\infty)=\lim_{k\rightarrow +\infty}x_i(s,k), \tag{3} \]下面会证明对于每一个话题
s，意见都收敛
将邻居区分为正负邻居且写成矩阵形式
\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}w_{ij}x_j(s,k)+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{2} \]其中\(\mathcal{N_i^+}=\{j|w_{ij}>0 \}，\mathcal{N_i^-} = \{j|w_{ij}<0\}.\)
进一步写成
\[x_i(s,k+1)=\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})(-x_j(s,k))+(1-\theta_i)\cdot x_i(s,0), \tag{4} \]定义\(x_i^+(s,k) = x_i(s,k)，x_i^-(s,k)=-x_i(s,k)\)，(4)式可以写成
\[x_i^+(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^+(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^+(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^-(s,k) \tag{5a} \]\[x_i^-(s,k+1) = (1-\theta_i)\cdot x_i^-(s,0)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^+}}w_{ij}x_j^-(s,k)+\theta_i\sum_{j\in\mathcal{N_i^-}}(-w_{ij})x_j^+(s,k) \tag{5b} \]写成矩阵形式，定义\(y^+(s,k)=[x_1^+(s,k),\ldots,x_n^+(s,k)]^T，y^-(s,k)=[x_1^-(s,k),\ldots,x_n^-(s,k)]^T，y(s,k)=[(y^+(s,k))^T,(y^-(s,k))^T]^T\).
\[y(s,k+1)=\begin{bmatrix} \Xi &0\\0&\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} I_n-\Xi & 0\\ 0 & I_n-\Xi\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix},\tag{7} \]其中
\[\Xi = diag\{\theta_i\},\quad(W^+)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} w_{ij}, & w_{ij} \geq 0 \\0, &w_{ij}\leq 0 \end{array} \right.,\quad(W^-)_{ij}=\left\{ \begin{array}{l} -w_{ij}, & w_{ij} \leq 0 \\0, &w_{ij}\geq 0 \end{array} \right. \] \[z(s,k+1)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0\\ \Lambda & T \end{bmatrix}\cdot z(s,k),\tag{8} \]其中\(z(s,k)=[((y(s,0))^T,(y(s,k))^T)]^T\in \mathbb{R}^{4n}，\Lambda=I_{2}\otimes(I_n-\Xi)，T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W}，\overline{W}=\begin{bmatrix} W^+&W^-\\W^-&W^+\end{bmatrix}\)。
显然矩阵\(T\)的代数性质影响节点的意见演变。为了得到矩阵\(T\)的代数性质，我们可以研究矩阵\(W\)以及网络\(G(W)\)与\(G(T)\)之间的联系。
中间辅助网络\(G(\overline{W})\)的节点集合\(\overline{V}=\{1^+,1^-,\ldots,n^+,n^-\}\).
二、预备知识
定义1：对于网络\(G=(V,\zeta,W)\)，存在一个节点集合\(V\)的划分\(\{V_1,V_2\}，V_1\cup V_2=V，V_1\cap V_2 = \empty\)。权重矩阵\(W\)满足\(w_{ij} \geq 0，\forall i,j \in V_k\) 和 \(w_{ij} \leq 0,\forall i\in V_{k_1}, j\in V_{k_2},k_1 \neq k_2\) ，则称网络\(G\)结构平衡，否则结构不平衡。
引理1：\(G(W)\)强连通，则
\(G(W)\)结构平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)非强连通，但由两个强连通部分组成
\(G(W)\)结构不平衡 \(\iff\) \(G(\overline{W})\)强连通
\(proof:\)
在网络\(G(W)\)中存在\(i\)到\(j\)的正边（\(W_{ji}>0\)） \(\iff\) 在网络\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)到\(j^+\)的边和\(i^-\)到\(j^-\)的边（\(\overline{W}_{ji}>0\)，\(\overline{W}_{(j+n)(i+n)}>0\)）
在网络\(G(W)\)中存在\(i\)到\(j\)的负边（\(W_{ji}<0\)） \(\iff\) 在网络\(G(\overline{W})\)中存在\(i^+\)到\(j^-\)的边和\(i^-\)到\(j^+\)的边（\(\overline{W}_{(j+n)i}>0\)，\(\overline{W}_{j(i+n)}>0\)）
- \(G(W)\)结构平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非强连通，但由两个强连通部分组成
假设节点划分为\(V_1 = \{1,\ldots,m\},V_2=\{m+1,\ldots,n\}\)，容易证明\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,(m+1)^-,\ldots,n^-\},\overline{V}_2=\{1^-,\dots,m^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)之间不存在连边，且构成强连通部分。若\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\)存在连边，则\(V_1,V_2\)之间存在正边或者\(V_i\)中存在负边，与结构平衡矛盾。\(G(W)\)与\(G(\overline{V}_1)\) 拓扑结构相同，故\(G(\overline{V}_1)\)强连通。
- \(G(\overline{W})\)非强连通，但由两个强连通部分组成 \(\Rightarrow\) \(G(W)\)结构平衡
假设\(G(\overline{W})\)的两个强连通部分为\(\overline{V}_1,\overline{V}_2\)，不妨假设\(1^+,\ldots,m^+\) 属于\(\overline{V}_1\)，\((m+1)^+,\ldots,n^+\)属于\(\overline{V}_2\)。可以证明\(1^-,\ldots,m^-\)属于\(\overline{V}_2\)，\((m+1)^-,\ldots,n^-\)属于\(\overline{V}_1\)。否则，不失一般性，假设\(1^-\in\overline{V}_1\)，由\(G(\overline{V}_1)\)强连通，存在\(1^+\)到\(j^+\)，\(j^+\)到\(1^-\)的路径\((j\in{2,\ldots,m})\)，从而存在\(1^-\)到\(j^-\)，\(j^-\)到\(1^+\)的路径，既\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,m^+,1^-,\ldots,m^-\}\)。同理\(\overline{V}_2=\{(m+1)^-,\dots,n^-,(m+1)^+,\ldots,n^+\}\)。而\(\overline{V}_1\)与\(\overline{V}_2\)之间没有连边，与\(G(W)\)强连通矛盾。
- \(G(\overline{W})\)强连通 \(\Rightarrow\)\(G(W)\)结构不平衡
由\(G(W)\)结构平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)非强连通易证。
- \(G(W)\)结构不平衡 \(\Rightarrow\) \(G(\overline{W})\)强连通
\(G(W)\)结构不平衡 \(\iff\) 存在一条\(k\)到\(k\)的负环。\(\forall i \neq j\)，由于\(G(W)\)强连通，存在一条\(i\)到\(j\)的路径（假设为正路径）。从而\(G(\overline{W})\)存在\(i^+\)到\(j^+\)和\(i^-\)到\(j^-\)的路径，由于\(G(W)\)强连通和存在负环，存在一条\(j\)到\(i\)的负walk。相应的，\(G(\overline{W})\)存在\(j^+\)到\(i^-\)的walk，从而存在\(i^+\)到\(j^+,i^-,j^-\)的walk（路径），因此\(G(\overline{W})\)强连通。$ \blacksquare$
假设 1：符号网络\(G(W)\)强连通；n个节点，至少存在一个节点部分顽固(partially stubborn, \(0<\theta_i<1\))。
定义 2：模型(2)-(3)，如果对任意初始意见\(x_i(0,0)\) ，\(\lim_{s\rightarrow \infty}x_i(s,0)=c_i,\forall i\in V\)， 则称节点的意见在话题维度上渐进收敛。
三、主要结论
3.1. \(G(W)\)结构不平衡
由引理1，\(G(\overline{W})\)强连通。
3.1.1. Case 1：不存在完全顽固个体（\(0<\theta_i \leq 1,\forall i\)）
\(T = \begin{bmatrix} \Xi & 0\\ 0 & \Xi \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}W^+ & W^- \\ W^- & W^+ \end{bmatrix}\)，\(\rho(T)<1\)。从而有\(\lim_{k\rightarrow\infty}(T)^k=0,lim_{k\rightarrow\infty}(\sum_{i=0}^k(T)^i=(I_{2n}-T)^{-1}\)。显然，\(G(T)\)与\(G(\overline{W})\)拓扑结构相同。
(8)式得
\[z(s,k)=\begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (\sum_{i=0}^{k-1}T^i)\Lambda &(T)^k \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \Rightarrow \lim_{k\rightarrow\infty}z(s,k) = \begin{bmatrix}I_{2n} & 0 \\ (I_{2n}-T)^{-1}\Lambda & 0 \end{bmatrix}\cdot z(s,0) \]从而
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\begin{bmatrix} y^+(s,k)\\y^-(s,k) \end{bmatrix}=(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda\cdot\begin{bmatrix}y^+(s,0)\\y^-(s,0) \end{bmatrix} \tag{11} \]Remark 1：定义$\Phi =(I_{2n}-T)^{-1}\cdot\Lambda \(为话题转移矩阵，易得\)\Phi\(为行随机矩阵。由于\)G(T)\(强连通，\)(I_{2n}-T)^{-1}\(为正矩阵。下面分类讨论矩阵\)\Lambda$。
Subcase 1(a)：所有个体部分顽固（\(0<\theta_i<1,\forall i\)）
\(\Phi\)为正矩阵，从而矩阵\(\Phi\)是SIA[2]，即存在一个非负列向量\(v=[v_1,\ldots,v_{2n}]^T\)满足\(\sum_{i=1}^{2n}v_i=1\)，使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=1_{2n}\cdot v^T\)。则
由于\(y^+(s,k)=-y^-(s,k)\)，故\(\lim_{s\rightarrow\infty} y(s,0)=0\)。
Subcase 1(b)：存在\(n_0\)个非顽固个体（\(\theta_i = 1\)）
通过转置可得
\[\Phi = \begin{bmatrix}\Phi_{11} & 0 \\ \Phi_{21} & 0 \end{bmatrix},\Phi_{11} \in\mathbb{R}^{(2n-2n_0)\times(2n-2n_0)},\Phi_{21}\in\mathbb{R}^{2n\times(2n-2n_0)} \]\((I_{2n}-T)^{-1}\)为正矩阵 \(\Rightarrow\) \(\Phi_{11},\Phi_{21}\)为正矩阵。同理存在一个非负列向量\(\bar{v}=[\bar{v}_1,\ldots,\bar{v}_{2n-2n_0}]^T\)满足\(\sum_{i=1}^{2n-2n_0}\bar{v}_i=1\)，使得\(\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{11})^s=1_{2n-2n_0}\cdot \bar{v}^T\)
\[\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s=\lim_{s\rightarrow\infty}\begin{bmatrix}(\Phi_{11})^s & 0\\ \Phi_{21}(\Phi_{11})^{s-1} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1_{2n-2n_0}\bar{v}^T & 0\\ 1_{2n_0}\bar{v}^T & 0 \end{bmatrix} \]Remark 2：Case 1情况下，不管是否存在非顽固个体(\(\theta_i = 1\))，当\(s\rightarrow\infty\)意见都渐进收敛到零
3.1.2. Case 2：存在完全顽固个体（\(\theta_i=0\)）
引理 2：\(G(W)\)强连通且结构不平衡，\(V_f = \{1,2,\ldots,n_1\}\)。则\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\)，特别地，\(\forall j^*\in \overline{V}-S_{G(T)}\)，存在一条\(i^*\in S_{G(T)}\)到\(j^*\)的路径。
\(proof:\)
显然在网络\(G(T)\)中的完全顽固个体集合\(\overline{V}_f=\{1^+,1^-,\ldots,n_1^+,n_1^-\}\) 。\(T=(I_2\otimes\Xi)\overline{W}\) \(\Rightarrow\) \(\overline{V}_f\subseteq S_{G(T)}\)；若存在\(i^*_0\in S_{G(T)},i^*_0\notin\overline{V}_f\)，由于\(\theta_{i^*_0} \neq 0\) ，在\(G(W)\)中存在的入边，在\(G(T)\)中也存在，与\(i_0^*\)是源节点矛盾。
\(\forall j^*\in\overline{V}-S_{(G(T))}\)，由\(G(\overline{W})\)的强连通性，存在一条\(i^*\in\overline{V}_f\)到\(j^*\)的路径\(P_{j^*i^*}=\{(i^*,i^*_1),(i^*_1,i^*_2),\ldots,(i^*_l,j^*) \}\)，其中\(i^*_k\notin\overline{V}_f,\forall k\in\{1,2,\ldots,l\}\)。因此，路径\(P_{j^*i^*}\)在\(G(T)\)中也存在，证毕。\(\blacksquare\)
不失一般性，假设\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)为完全顽固个体集合，\(G(T)\)相当于在\(G(\overline{W})\)的基础上删除一些节点所有的入边。引理2给出\(G(T)\)的拓扑性质。
由引理2可知，\(G(T)\)存在\(2n_1\)个源节点，且对任意的非源节点，存在一条某个源节点到其的路径。从而通过转置，矩阵\(T\)可写成
\[T=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T_{21}&T_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\T_{g1}& T_{g2}&\cdots&T_{gg} \end{bmatrix} \]\(T_{ii}\)不可约，下证\(\rho(T)<1\)，
由引理2可知，对任意的非源节点\(j\in\{n_1+1,\ldots,n\}\)，存在某个源节点\(i\in\{1,\ldots,n_1\}\)，存在一条路径\(i\)到\(j\)，从而\((T^n)_{ji}>0\)，即\(T^*_{k1}\)每一行都存在非零元素，从而\((T_{kk})^n\)是严格的次随机矩阵，\(\rho(T^n)<1\)，\(\rho(T)<1\)。
\[T^n=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\T^*_{21}&(T_{22})^n\\\vdots &\vdots &\ddots\\T^*_{g1}& T^*_{g2}&\cdots&(T_{gg})^n \end{bmatrix} \]记
\[\Phi = (I_{2n_1}-T)^{-1}\cdot \Lambda=(\sum_{i=0}^\infty T^i)\cdot\Lambda=\begin{bmatrix} I_{2n}\\\Phi_{21}&\Phi_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\Phi_{g1}& \Phi_{g2}&\cdots&\Phi_{gg} \end{bmatrix}\tag{18} \]其中\(\rho(\Phi_{ii})<1\)，\(\rho(\Phi)=1\)且模等于1的特征值（此处只有1）的代数重数等于几何重数（行随机矩阵特征值1的几何重数等于代数重数），故\(\Phi^*=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s\)存在。
记
\[(\Phi)^s=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi)^s_{21}&(\Phi)^s_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi)^s_{g1}& (\Phi)^s_{g2}&\cdots&(\Phi)^s_{gg} \end{bmatrix}\tag{19} \]下面引理3给出了\(\Phi^*\)的具体形式
引理 3：\(G(W)\)强连通且结构不平衡，完全顽固节点集合\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)，则\(\Phi ^*\)行随机且
\[\Phi^*=\begin{bmatrix} I_{2n_1}\\(\Phi ^*)_{21}&0\\\vdots &\vdots &\ddots\\(\Phi ^*)_{g1}& 0&\cdots&0 \end{bmatrix}\tag{20} \]其中\((\Phi ^*)_{i1}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{i1},i\in\{2,\ldots,g\}\).
\(proof:\)
\(\rho(\Phi_{ii}<1)\) \(\Rightarrow\) \((\Phi ^*)_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi)^s_{ii}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi_{ii})^s=0\)
下面考虑\((\Phi)^s_{i(i-1)},i\in\{3,\ldots,g\}\)
\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-1)}=(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-1)}\tag{22} \]取极限
\[(\Phi)^{*}_{i(i-1)}=(\Phi)^{*}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-1)}+0\cdot\Phi_{i(i-1)}\tag{23} \]得\((\Phi)^*_{i(i-1)}(I-\Phi_{(i-1)(i-1)}) = 0\)，\(\rho(\Phi_{(i-1)(i-1)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-1)}=0\)
进一步考虑\((\Phi)^s_{i(i-2)}\)
\[(\Phi)^{s+1}_{i(i-2)}=(\Phi)^{s}_{i(i-2)}\Phi_{(i-2)(i-2)}+(\Phi)^{s}_{i(i-1)}\Phi_{(i-1)(i-2)}+(\Phi)^s_{ii}\Phi_{i(i-2)}\tag{24} \]取极限类似可得\((\Phi)^*_{i(i-2)}(I-\Phi_{(i-2)(i-2)}) = 0\)，\(\rho(\Phi_{(i-2)(i-2)})<1\) \(\Rightarrow\) \((\Phi)^*_{i(i-2)}=0\)
递归可得\((\Phi^*)_{ij}=0,\forall i\in\{3,\ldots,g\},j\in\{2,\ldots,i-1\}\)，证毕。\(\blacksquare\)
记\(M=max\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\},m=min\{x_1^+(0,0),x_1^-(0,0),\ldots,x_{n_1}^+(0,0),x_{n_1}^-(0,0)\}\),则\(M=-m\).
对于Case2，完全顽固节点的意见不变，其他节点的意见收敛于区间\([m,M]\)。
定理 1：考虑模型(2)-(3)，网络\(G(W)\)强连通且结构不平衡，假设1成立，则
- 如果不存在完全顽固的个体，当话题趋于无穷时，节点意见趋于0。
- 如果存在完全顽固个体\(V_f=\{1,2,\ldots,n_1\}\)，当话题趋于无穷时，完全顽固个体意见不变，其他节点意见收敛于\([m,M]\)。
下面推论1指出，在结构不平衡条件下意见二分一致的充要条件。
推论 1：考虑模型(2)-(3)，网络\(G(W)\)强连通且结构不平衡，假设1成立。节点意见二分一致当且仅当存在一个唯一的完全顽固的平衡节点，节点\(i\)是平衡的指\(i\)到\(j\)的所有路径符号相等。
\(proof:\)
充分性：不失一般性，假设节点1是唯一的完全顽固的平衡节点，由引理2，\(S_{G(T)}=\overline{V}_f=\{1^+,1^-\}\)。\(G(\overline{W})\)删除节点\(1^+\)和\(1^-\)的所有入边就得到\(G(T)\)。\(\forall i\neq 1\)，记号\(i^*,i^{-*}\)定义为
\[i^* =\left\{ \begin{array}{l} i^+, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^-, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]\[i^{-*} =\left\{ \begin{array}{l} i^-, & SGN_{p_{i1}}(G(W)) =1\\i^+, &SGN_{p_{i1}}(G(W)) =-1 \end{array} \right. \]下证由节点集\(\overline{V}^+=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^+\)和 \(\overline{V}^-=\{1^+\}\cup\widetilde{V}^-\)构成两个不相交且包含生成树的子网络\(G^+,G^-\)，\(\widetilde{V}^+=\{2^*,\ldots,n^*\},\widetilde{V}^-=\{2^{-*},\dots,n^{-*} \}\)。
\(G(W)\)强连通，对任意的节点\(i\neq 1\)，存在1到\(i\)的路径，根据引理2，\(G(T)\)中存在\(1^+\)到\(i^*\)和\(1^-\)到\(i^{-*}\)的路径，从而\(G^+(G^-)\)包含根节点为\(1^+(1^-)\)的生成树。
假设\(G^+\)与\(G^-\)之间存在连边：
case i：存在节点\(1^+(1^-)\)到节点\(i^{-*}(i^{*})\)的连边。不失一般性，假设\(i^{-*}=i^+\)，即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)。由于\(G(T)\)中存在\(1^+\)到\(i^+\)的连边，从而\(G(W)\)中存在\(1\)到\(i\)的正边，与\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)矛盾。
case ii：存在节点\(i^*\)到节点\(j^{-*}\)的连边。不失一般性，假设\(i^{*}=i^-,j^{-*}=j^-\)，即\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1,SGN_{p_{j1}}(G(W))=1\)。由引理1，存在\(i^-\)到\(j^-\)的连边 \(\iff\) 存在\(i\)到\(j\)的正边，\(w_{ji}>0\)。又\(SGN_{p_{i1}}(G(W))=-1\)，可得\(SGN_{p_{j1}}(G(W))=-1\)，矛盾。
通过转置变换，矩阵\(T=I_2\otimes\overline{T}\)
\[\overline{T} =\begin{bmatrix} 0\\\overline{T}_{21}&\overline{T}_{22}\\\vdots &\vdots &\ddots\\\overline{T}_{\bar{g}1}& \overline{T}_{\bar{g}2}&\cdots&\overline{T}_{\bar{g}\bar{g}} \end{bmatrix}\tag{27} \]同理于定理1的Case2的，\(\overline{V}^+\)中节点收敛于完全顽固节点\(1^+\)的意见，\(\overline{V}^-\)中节点收敛于完全顽固节点\(1^-\)的意见，即节点意见二分一致。
必要性：假设意见二分一致。首先证明存在唯一的完全顽固节点，如果不存在完全节点，由定理1的Case1可知意见收敛于零，矛盾；由于完全顽固节点的意见不变，故完全顽固节点的个数小于2。
假设顽固节点1是不平衡的，即存在某个节点\(i_0\)和1到\(i_0\)的两条长度为\(k_1,k_2\)的路径\(P_1,P_2\)，使得\(SGN_{P_1}(G(W))=1,SGN_{P_2}=-1\)。从而\((T^{k_1})_{i_o1}>0,(T^{k_2})_{i_0(1+n)}>0\)。
又\(\Phi=(\sum_{k=0}^\infty)T^k\cdot\Lambda\)，从而\(\Phi_{i_01}>0,\Phi_{i_0(1+n)}\)。
\[(\Phi^2)_{i_01}=\sum_{k=1}^{2n}(\Phi)_{i_0k}(\Phi)_{k1}\geq (\Phi)_{i_01}(\Phi)_{11}=(\Phi)_{i_01},\tag{29} \]递归可得\((\Phi^s)_{i_01}\geq (\Phi)_{i_01}>0,(\Phi^s)_{i_0(1+n)}\geq (\Phi)_{i_0(1+n)}>0\)。由引理3可得
\[\left\{ \begin{array}{l} (\Phi^*)_{i_01}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_01}>0 , \\(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=\lim_{s\rightarrow\infty}(\Phi^s)_{i_0(1+n)}>0 , \\ (\Phi^*)_{i_0k}=0, k\neq 1,n+1 \end{array} \right.\tag{30} \]其中\((\Phi^*)_{i_01}+(\Phi^*)_{i_0(1+n)}=1\)。
\[\lim_{s\rightarrow\infty}x_{i_0}(s,0)=[(\Phi^*)_{i_01}-(\Phi^*)_{i_0(1+n)}]\cdot x_1(0,0)\in(-|x_1(0,0)|,|x_1(0,0) |)\tag{31} \]与意见二分一致矛盾。证毕。\(\blacksquare\)
3.2. \(G(W)\)结构平衡
\(G(W)\)结构平衡，即存在节点集合划分\(V_1 =\{1,\ldots,n_1\},V_2=\{n_1+1,\ldots,n \}\)。根据引理1，\(G(\overline{W})\)由两个不相交的强连通部分组成，\(\overline{V}_1=\{1^+,\ldots,n_1^+,(n_1+1)^-,\ldots,n^- \},V_2=\{1^-,\ldots,n_1^-,(n_1+1)^+,\ldots,n^+ \}\)。对\({V}_1\)应用定理1可得
定理 2：考虑模型(2)-(3)，网络\(G(W)\)强连通且结构平衡，假设1成立，则
- 如果不存在完全顽固的个体，当话题趋于无穷时，节点意见二分一致。
- 如果存在完全顽固个体\(V_{f_1}=\{1,2,\ldots,n_{f_1}\}\)，当话题趋于无穷时，完全顽固个体意见不变，其他节点意见收敛于\([m_f,M_f]\)，\(M_f=max(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\)，\(m_f=min(x_1(0,0),\ldots,x_{n_{f_1}}(0,0),-x_{n+1}(0,0),\ldots,-x_{n_{f_1}+n}(0,0))\)，特别地，如果只有一个完全顽固个体，意见二分一致。
3.3. 动态顽固性 \(1-\theta_i^s\)
\[x_i(s,k+1) = \theta^s_i\sum_{j=1}^nw_{ij}x_j(s,k) + (1-\theta^s_i)\cdot x_i(s,0), \tag{32} \]引理 4：\(G(W)\)强连通且结构不平衡，在话题\(s_0\)中所有节点都是部分顽固的\(0<\theta_i^{s_0}<1\)。则矩阵\(\Phi_{s_0}=(I_{2n}-T_{s_0})^{-1}\cdot\Lambda_{s_0}\)存在，元素都为正，
\(T_{s_0}=(I_2\otimes \Xi_{s_0})\overline{W},\Lambda_{s_0}=I_2\otimes(I_n-\Xi_{s_0})\)。
假设 2：对任意的话题\(s\)，存在至少一个节点是部分顽固的。存在一个主题子序列\(\{s_k\}\)和正整数\(\tau\) ，使得对任意的\(s_k\)满足\(\theta_i^{s_k}\in(0,1),\forall i\in V\)，\(s_{(k+1)}-s_k<\tau\)。
定理 3：考虑模型(32)和(3)。假设\(\theta_i^{s}\in\Omega\subset[0,1],|\Omega|<\infty,\forall i,s\)，\(G(W)\)强连通和结构不平衡，假设2成立，则意见渐进收敛到零。
\(proof:\)
\(y(s+1,0)=\lim_{k\rightarrow\infty}y(s,k)=\Phi_s\cdot y(s,0),\forall s,y(s,0)=[(y^+(s,0))^T,(y^{-1}(s,0))^T]^T\).
对子序列\(\{y(s_k,0) \}\)有
\[\left\{\begin{array}{l}y(s_1,0)&=\Phi_{s_1-1}\cdot\Phi_{s_1-2}\cdots\Phi_0\cdot y(0,0), \\ y(s_2,0)&=\Phi_{s_2-1}\cdot\Phi_{s_2-2}\cdots\Phi_{s_1}\cdot y(s_1,0),\\ &\vdots\\ y(s_k,0)&=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\cdot y(s_{k-1},0),\\ &\vdots \tag{34} \end{array}\right. \]定义\(H_k=\Phi_{s_k-1}\cdot\Phi_{s_k-2}\cdots\Phi_{s_{k-1}}\)。显然\(H_k\)是正矩阵。\(H_k\)是SIA.
\[\Phi_s=(I_{2n}-T_s)^{-1}\cdot\Lambda_s=\left\{I_{2n}-\begin{bmatrix}\Xi_sW^+ &\Xi_s W^-\\\Xi_sW^- &\Xi_sW^+ \end{bmatrix} \right\}\cdot\begin{bmatrix} I_n-\Xi_s & \\&I_n-\Xi_s \end{bmatrix} \]由于\(|\Omega|<\infty\)，\(H_k\)的个数也是有限的。从而由引理3.2
得\(\lim_{k\rightarrow\infty}\{H_k\cdot H_{k-1}\cdots H_2 \}=1_{2n}\cdot v^T\) \(\Rightarrow\) \(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=1_{2n}\cdot v^T\cdot y(s_1,0)\).注意到\(y^+(s,0)=-y^-(s,0)\)，故\(\lim_{k\rightarrow\infty}y(s_k,0)=0\)。
对于任意得\(s\)，存在\(s_k\leq s\leq s_{k+1}\)，\(y(s,0)=\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\)
\[\begin{array}{l} \lim_{s\rightarrow\infty}\Vert y(s,0)\Vert_{\infty}&=\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert\Phi_{s-1}\cdot\Phi_{s-2}\cdots\Phi_{s_k}\cdot y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{s\rightarrow\infty}\Vert \Phi_{s-1}\Vert_{\infty}\cdots\Vert \Phi_{s_k}\Vert_{\infty}\cdot\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}\\ &\leq\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert y(s_k,0)\Vert_{\infty}=\mathbf{0}\in \mathbb{R}^{2n} \end{array} \]证毕。\(\blacksquare\)
对于结构平衡的情况，可以类似得到
