Day42 | 动态规划 ：选或不选 打家劫舍&&打家劫舍II
动态规划学习：
1.思考回溯法（深度优先遍历）怎么写
注意要画树形结构图
2.转成记忆化搜索
看哪些地方是重复计算的，怎么用记忆化搜索给顶替掉这些重复计算
3.把记忆化搜索翻译成动态规划
基本就是1:1转换
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198.打家劫舍
[198. 打家劫舍 - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/integer-break/description/)
思路分析：
树形结构图
先明确一下dp数组/dfs函数的含义，dp[i]就是在前i个房子里面打家劫舍，能得到的最高金额（就是题目要求的）
我们从最后一个房子倒着往前分析子问题
对于一个房子i，我们只有两种方案，选或者不选
选了的话，那我i-1就不能选了
不选的话，那我前i个房子可以得到的最大金额数量就和前i-1个房子可以得到的最大金额数量相等，因为第i个房子没选
所以可以很轻易的得出
dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
即在可能的两种方案中挑选一个最大值
1.回溯 DFS
1.返回值和参数
i是房子编号
nums是房子数字
dfs返回值就是前i个房子里面打家劫舍可以得到的最大金额（和dp数组含义相同）
int dfs(int i,vector<int>& nums)
2.终止条件
可以看到我们递归到0就是叶子结点了，下标0是第一个房子，所以小于0就代表没有房子可以选了，没有房子可以选也就没有金额，就返回0
if(i<0)
return 0;
3.本层逻辑
如上所说，返回两者的最大值给上层递归函数就好
return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);
完整代码：
当然，这是超时的
class Solution {
public:
int dfs(int i,vector<int>& nums)
{
if(i<0)
return 0;
return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);
}
int rob(vector<int>& nums) {
return dfs(nums.size()-1,nums);
}
};
2.记忆化搜索
就是搞一个哈希表dp，全都初始化为-1，每次返回前给哈希表dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了
class Solution {
public:
int dfs(int i,vector<int>& nums,vector<int>& dp)
{
if(i<0)
return 0;
if(dp[i]!=-1)
return dp[i];
return dp[i]=max(dfs(i-1,nums,dp),dfs(i-2,nums,dp)+nums[i]);
}
int rob(vector<int>& nums) {
vector<int> dp(nums.size(),-1);
return dfs(nums.size()-1,nums,dp);
}
};
3.1:1翻译为动态规划
1.确定dp数组以及下标的含义
dp数组就是前i个房子里面可以取得的最大金额
下标就是房子编号
2.确定递推公式
忘记了原因的请看思路分析部分
dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
3.dp数组如何初始化
第一种写法，dp数组的下标从0开始，在i=0和i=1我们的递推公式中会有不合法的状态，所以i需要从2开始
那么dp[0]和dp[1]就需要初始化，那么初始化为多少呢？
如果可以根据dp的含义想通如何初始化是最好的，比如前1间房子最大值就是nums[0]，前两间房子最大值就是max(nums[0],nums[1])
如果想不通的话，回到回溯法把0和1带进去就完事得出结果就完事
class Solution {
public:
int dfs(int i,vector<int>& nums)
{
if(i<0)
return 0;
return max(dfs(i-1,nums),dfs(i-2,nums)+nums[i]);
}
int rob(vector<int>& nums) {
return dfs(nums.size()-1,nums);
}
};
会得到如下的初始化方案：
vector<int> dp(nums.size(),0);
dp[0]=nums[0];
if(nums.size()>1)
dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
else
return dp[0];
第二种写法
dp数组的下标全部都+2（注意nums数组的下标是没变的，此时dp数组的2对应的是nums的0）
这样就避免了下标是负数的情况，完美贴合了dfs回溯的方法
vector<int> dp(nums.size()+2,0);
for(int i=0;i<nums.size();i++)
dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
4.确定遍历顺序
后续结果需要依赖前面的计算结果，故使用从前往后遍历
for(int i=2;i<nums.size();i++)
dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
完整代码
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums) {
vector<int> dp(nums.size(),0);
dp[0]=nums[0];
if(nums.size()>1)
dp[1]=max(nums[0],nums[1]);
else
return dp[0];
for(int i=2;i<nums.size();i++)
dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
return dp[nums.size()-1];
}
};
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums) {
vector<int> dp(nums.size()+2,0);
for(int i=0;i<nums.size();i++)
dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
return dp[nums.size()+1];
}
};
213.打家劫舍II
[213. 打家劫舍 II - 力扣（LeetCode）](https://leetcode.cn/problems/integer-break/description/)
分两种情况，考虑是否偷 第一个房子：
如果偷 nums[0]，那么 nums[1] 和 nums[nums.size()−1] 不能偷，问题变成从 nums[2] 到 nums[nums.size()−2] 的非环形版本，直接调打家劫舍的代码
如果不偷 nums[0]，那么问题变成从 nums[1] 到 nums[nums.size()−1] 的非环形版本，直接调打家劫舍的代码
当然，如果元素数量<=2的话我们的begin+2直接是不合法的，那就做一个特殊处理就好
class Solution {
public:
int rob1(vector<int> nums) {
vector<int> dp(nums.size()+2,0);
for(int i=0;i<nums.size();i++)
dp[i+2]=max(dp[i+1],dp[i]+nums[i]);
return dp[nums.size()+1];
}
int rob(vector<int>& nums) {
if(nums.size()==1)
return nums[0];
if(nums.size()==2)
return max(nums[0],nums[1]);
return max(
nums[0]+rob1(vector<int>(nums.begin()+2,nums.end()-1)),
rob1(vector<int>(nums.begin()+1,nums.end())));
}
};