ABC378 E 题解

题意

给定序列 \(A\) ，求 \(\sum_{1\le l\le r\le n}(\sum_{l\le i\le r} A_i\mod M)\)

计算所有区间和取模之后的结果再求和。

注意外层是没有取模的。

如果是外层也要取模的情况，那还是十分好办的，直接贡献法计算每个数字被统计了多少次就可以了。

问题就在于外层没有取模，之前好像也没有做过这种东西，于是就开始各种乱搞了，思路大概就是先算出不取模的结果，然后计算需要取模多少次，最后统一减去若干个 \(MOD\) 。

甚至还用上了 double 这种玩意。、、

分析

转化题意， \([L,R]\) 的区间和，用前缀和来表达就是 \(s_r-s_{l-1}\) ，这样就转化成了两点之差，所以我们要统计的就是所有的两点之差。

如果我们在做前缀和的时候就取模，那么 \(s_r-s_{l-1}\) 便有可能是负数， 但是注意到取模运算是乘法封闭的，是个负数的话 ，加上一个 \(MOD\) 就可以变成正确的值。

可以发现需要加上的 \(MOD\) 数，就是前缀和数组中的逆序对数量。

而 \(\sum s_r-s_{l-1}\) 可以通过二位前缀和快速算出，注意要考虑 \(s_0\) 。

细节

树状数组求逆序对还需要访问 \(0\) 的下标，所以树状数组的整体下标应该左移 \(1\) 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
template<typename T>inline void re(T &x)
{
	x=0;int f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	x*=f;
}
const int N=4e5+10;
int c[N];
int MOD,n;
inline void add(int x,int v)
{
	for(;x<=MOD;x+=(x&-x))c[x]+=v;
}
inline int query(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x>=1;x-=(x&-x))ans+=c[x];
	return ans;
}
int s[N],ss[N];
signed main()
{
	re(n),re(MOD);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		re(s[i]);
		s[i]+=s[i-1],s[i]%=MOD;
		ss[i]=ss[i-1]+s[i];
	}
	int cnt=0;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		if(s[i]>0)cnt+=query(s[i]);
		add(s[i]+1,1);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans+=i*s[i]-ss[i-1];
	cout<<ans+cnt*MOD;
	return 0;
}

Trick

求区间和可以转化成前缀和的差值，这样就简化了问题，变成了两点之差。