unity3d————叉乘的知识点

一、向量叉乘的知识点

1. 定义与公式：

   • 向量叉乘的定义为：对于两个三维向量a和b，它们的叉乘结果是一个向量c，记为c=a×b。
   • 叉乘的计算公式为：c=(y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k，其中a=(x1, y1, z1)，b=(x2, y2, z2)，i、j、k分别为x、y、z轴的单位向量。

2. 几何意义：

   • 叉乘得到的向量c与向量a和b都垂直，即c⊥a且c⊥b。
   • 叉乘结果向量c的方向遵循右手定则（在Unity中为左手定则）：将右手四指从向量a转向向量b，拇指的指向即为向量c的方向。
   • 叉乘结果向量c的模长等于向量a和b的模长与它们之间夹角的正弦值的乘积，即|c|=|a|×|b|×sinθ。

3. 性质：

   • 叉乘不满足交换律，即a×b≠b×a，而是a×b=-(b×a)。
   • 叉乘满足加法的分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
   • 叉乘结果是一个向量，而不是标量。

点乘（Dot Product）：
点乘的顺序是可以互换的。即，对于任意两个向量A和B，有A · B = B · A。点乘的结果是一个标量（scalar），表示两个向量之间的夹角余弦值乘以它们的模的乘积。由于余弦函数是对称的，所以点乘也是对称的。

叉乘（Cross Product）：
叉乘的顺序则不能互换。对于向量A和B，A × B和B × A的结果是不同的。实际上，A × B和B × A是互为相反向量，即A × B = -(B × A)。叉乘的结果是一个向量（vector），这个向量垂直于原两个向量所构成的平面，并且其方向由右手定则决定。

因此，在使用叉乘时，必须注意向量的顺序，因为顺序的不同会导致结果向量的方向相反。而在使用点乘时，则不需要担心向量的顺序问题。

一、相关API

在Unity3D中，叉乘运算可以通过Vector3.Cross方法来实现。该方法的签名如下：

其中，lhs和rhs是需要进行叉乘的两个向量，返回结果是它们的叉乘向量。

三、使用场景

1. 计算法向量：在3D图形学中，叉乘常用于计算表面的法向量。例如，给定两个不共线的表面向量，可以通过叉乘得到它们的法向量，这在光照计算中非常重要。
2. 确定旋转轴：在旋转操作中，叉乘可以用于确定旋转轴。例如，计算物体从当前方向向量旋转到目标方向向量所需的旋转轴。
3. 碰撞检测：在碰撞检测中，叉乘可以用于计算碰撞法线和碰撞响应的方向。
4. 判断左右方位：通过叉乘的结果，可以判断一个物体相对于另一个物体的左右方位。例如，在游戏中判断敌人位于玩家的左侧还是右侧。

四、注意事项

1. 向量顺序：叉乘的结果依赖于向量的顺序。即A × B和B × A的结果方向相反。因此，在使用叉乘时，必须注意向量的顺序。
2. 零向量：任何向量与零向量进行叉乘的结果都是零向量。因此，在进行叉乘运算前，应确保参与运算的向量不是零向量。
3. 共线向量：如果两个向量共线（即它们平行或反向平行），则它们的叉乘结果为零向量。这是因为共线向量无法构成一个具有面积的平行四边形。
4. 左手坐标系：Unity3D使用的是左手坐标系，这与数学上常用的右手坐标系有所不同。因此，在使用叉乘确定方向时，需要注意坐标系的差异。在Unity中，应使用左手法则来判断叉乘结果的方向。

综上所述，叉乘在Unity3D中有着广泛的应用和独特的几何意义。通过合理利用叉乘运算和相关API，可以实现许多复杂的3D图形和物理效果。同时，在使用叉乘时也需要注意向量顺序、零向量、共线向量以及坐标系差异等问题。

 五、代码示例

public class chacheng : MonoBehaviour
{
    public Transform A;
    public Transform B;
    void Start()
    {
        print(Vector3.Cross(A.position, B.position));
    }

    void Update()
    {
        //假设向量 A和B 都在 XZ平面上
        //向量A 叉乘 向量 B
        //y大于0 证明 B在A右侧
        //y小于0 证明 B在A左侧
        Vector3 rev = Vector3.Cross(A.position, B.position);
        if(rev.y > 0)
        {
            print("B在A右边");
        }
        else
        {
            print("B在A左边");
        }

        Vector3 rev1 = Vector3.Cross(B.position, A.position);
        if (rev1.y > 0)
        {
            print("A在B右边");
        }
        else
        {
            print("A在B左边");
        }
    }
}

结果：