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TSP问题-分支限界法求解

时间:2024-11-01 14:46:52浏览次数:1  
标签:langle 求解 城市 路径 限界 rangle 长度 代价 TSP

1. 货郎问题的分支限界算法求解 (10.4)

1.1. 货郎问题的定义

  • 给定一个城市集合 \(C = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}\),任何两个城市之间都有距离 \(d\left(c_i, c_j\right)=d\left(c_j, c_i\right) \in \mathbf{Z}^{+}, 1 \leq i<j \leq n\)。
  • 目标: 找到一个城市的排列,使得从一个城市出发,访问每个城市恰好一次,并返回出发城市,总路径长度最短。

1.2. 算法设计

  • 解向量:
    解: \(1,2, \ldots, n\) 的排列 \(k_1, k_2, \ldots, k_n\) 使得:

\[\min \left\{\sum_{i=1}^{n-1} d\left(c_{k_i}, c_{k_{i+1}}\right)+d\left(c_{k_n}, c_{k_1}\right)\right\} \]

  • 搜索空间:
    排列树结构,每个结点 \(\langle i_1, i_2, \dots, i_k \rangle\) 表示前 \(k\) 步的路线已确定。

  • 约束条件:

    • 已走过的城市标号放入集合 \(B = \{i_1, i_2, \dots, i_k\}\)。
    • 下一步只能选择未访问过的城市:\(i_{k+1} \in \{2, \dots, n\} \setminus B\)。
    • 即每个节点只能访问一次

1.3. 代价函数与界的定义

  • 界 (Bound): 当前已找到的最短巡回路线的长度。

  • 代价函数:
    假设顶点 \(c_i\) 出发的最短边为 \(l_i\),\(d_j\) 为已选定的巡回路线中第 \(j\) 段的长度,则代价函数为:

\[\boldsymbol{L}=\sum_{j=1}^k \boldsymbol{d}_j+\boldsymbol{l}_{i_k}+\sum_{i_i \notin B} \boldsymbol{l}_{i_j} \]

  • 前半部分:已走过的路径长度。
  • 后半部分:剩余未访问的城市,从每个城市出发的最短边构成的下界。

1.4. 代价函数示例

代价函数实例

1.4. 代价函数示例

我们通过一个具体路径的代价函数计算示例,来更好理解分支限界算法中如何评估路径的代价和下界。

示例路径及红色路径描述

如图所示,我们假设货郎从 1号城市 出发,依次访问了 3号城市2号城市,形成了部分路径 \(\langle 1, 3, 2 \rangle\)。现在我们已经走到 2号城市,接下来需要计算该路径的代价函数,来评估当前路径的花费以及剩余部分的下界。

代价函数的计算公式

代价函数 \(L\) 的通用表达式如下:

\[L = \text{已走过的路径长度} + \text{剩余部分的估计长度下界} \]

  • 已走过的路径长度:
    将已访问的城市之间的路径距离累加,例如在路径 \(\langle 1, 3, 2 \rangle\) 中,

    \[1 \to 3:9 \,\, (单位) \]

    \[3 \to 2:13 \,\, (单位) \]

    已走过的路径总长度为:

    \[9 + 13 = 22 \,\, (单位) \]

  • 剩余部分的估计长度下界:

    • 当前停留在 2号城市,我们需要从 2号城市出发选择一条最短边。
      2号城市的最短边是 \(2 \to 4\),边长为 \(2\)。
    • 在剩余的未访问城市中,还未访问的城市是 4号城市。从 4号城市出发的最短边也是 \(4 \to 2\),长度同样为 \(2\)。

因此,剩余部分的估计长度下界为:

\[2 + 2 = 4 \,\, (单位) \]

完整代价函数值计算

将已走过的路径长度和剩余部分的下界相加,得到代价函数的值:

\[L = 22 + 4 = 26 \,\, (单位) \]

下界解释

这个代价函数的结果表明,无论之后如何规划剩余的路径,完整路径的总长度不会小于 26。这个下界帮助算法在搜索时进行剪枝,即当其他路径的代价超过该下界时,就不再继续深入搜索该分支。

1.5. 搜索树结构

搜索树及其结构

  • 初始结点: 从城市 1 出发。

  • 可选路径:

    • 第一层:1 号城市之后可以去 2、3、4。
    • 第二层:假设选择了 2 号城市,则下一步可选 3 或 4。
  • 深度优先遍历:

    • 第一条路径:\(\langle 1, 2, 3, 4, 1 \rangle\),长度 \(29\)。

      • 这是第一个找到的巡回路线,界 \(B = 29\)。
    • 更新界:
      找到路径 \(\langle 1, 2, 4, 3, 1 \rangle\),长度 \(23\)。更新界 \(B = 23\)。

    • 剪枝:
      当搜索路径 \(\langle 1, 3, 2 \rangle\) 的代价函数值为 \(26\),大于当前界 \(B = 23\),停止搜索该分支。

1.6. 实例运行过程

  1. 初始路径:

    • 路径 \(\langle 1, 2, 3, 4, 1 \rangle\),长度为 \(29\)。
  2. 更新路径:

    • 找到更优路径 \(\langle 1, 2, 4, 3, 1 \rangle\),长度为 \(23\),更新界。
  3. 剪枝:

    • 代价函数值 \(F = 26\),停止该分支的搜索。
  4. 最优解:

    • 找到路径 \(\langle 1, 3, 4, 2, 1 \rangle\),长度 \(23\)。
      • 该路径与之前的最优解长度相同。

DFS

1.7. 算法分析

  • 搜索树的规模:

    • 树叶的个数为 \(O((n - 1)!)\)。
    • 每个叶片对应一条路径,每条路径有 \(n\) 个结点。
  • 时间复杂度:

    • 单个路径计算时间: \(O(n)\)。
    • 总时间复杂度: \(O(n!)\)。
    • 在最坏情况下,与蛮力算法的时间复杂度相同。
  • 实际性能:
    通过剪枝操作,大大减少了实际搜索空间,因此平均运行时间优于蛮力算法。

1.8. 小结

  • 货郎问题的分支限界算法:

    • 约束条件: 只能选择未访问过的城市。
    • 代价函数: 已走过的路径长度 + 未访问部分的长度下界。
  • 时间复杂度: \(O(n!)\),在最坏情况下与蛮力算法相同,但通过剪枝可显著提升平均性能。

标签:langle,求解,城市,路径,限界,rangle,长度,代价,TSP
From: https://www.cnblogs.com/cloud-ken/p/18520237

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