首页 > 其他分享 >物理学基础精解【130】

物理学基础精解【130】

时间：2024-10-25 14:49:25浏览次数：3  
标签：求解 NLsolve Julia jl 物理学 130 solve SymPy 精解

文章目录

求解联立方程

求解三变量的联立线性方程

在 Julia 中，我们可以使用 LinearAlgebra 库,设三个方程的形式如下：

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a1​x+b1​y+c1​z=d1​a2​x+b2​y+c2​z=d2​a3​x+b3​y+c3​z=d3​​

可以将其写成矩阵方程的形式： A X = B AX = B AX=B，其中
A = [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] , X = [ x y z ] , B = [ d 1 d 2 d 3 ] . A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}. A= ​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​c1​c2​c3​​ ​,X= ​xyz​ ​,B= ​d1​d2​d3​​ ​.

在 Julia 中可以用以下代码求解：

using LinearAlgebra

# 定义系数矩阵 A 和常数向量 B
A = [a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]
B = [d1; d2; d3]

# 通过 A \ B 求解方程组
X = A \ B

# 输出结果
println("解为 x = ", X[1], ", y = ", X[2], ", z = ", X[3])

示例

假设我们有如下方程组：

{ 2 x + y − z = 8 − 3 x − y + 2 z = − 11 − 2 x + y + 2 z = − 3 \begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​2x+y−z=8−3x−y+2z=−11−2x+y+2z=−3​

在 Julia 中的代码如下：

using LinearAlgebra

# 定义系数矩阵 A 和常数向量 B
A = [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2]
B = [8; -11; -3]

# 求解
X = A \ B

# 输出结果
println("解为 x = ", X[1], ", y = ", X[2], ", z = ", X[3])

运行以上代码将得到结果：
x = 2 , y = 3 , z = − 1 x = 2, \quad y = 3, \quad z = -1 x=2,y=3,z=−1

Julia 的 \ 操作符会自动使用最优的数值方法求解方程，非常适合处理矩阵方程。

三变量非线性联立方程可以使用 NLsolve 包求解

假设我们有一个非线性方程组的形式如下：

{ f 1 ( x , y , z ) = 0 f 2 ( x , y , z ) = 0 f 3 ( x , y , z ) = 0 \begin{cases} f_1(x, y, z) = 0 \\ f_2(x, y, z) = 0 \\ f_3(x, y, z) = 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​f1​(x,y,z)=0f2​(x,y,z)=0f3​(x,y,z)=0​

在 Julia 中可以使用 NLsolve 的 nlsolve 函数来求解。以下是一般的代码框架：

  1. 定义方程组：将非线性方程组表示为一个函数。
  2. 使用初始猜测：提供一个初始值来进行求解。

示例

假设我们有以下非线性方程组：

{ x 2 + y 2 + z 2 − 10 = 0 x + y − z − 2 = 0 x 2 − y + z 2 − 1 = 0 \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 10 = 0 \\ x + y - z - 2 = 0 \\ x^2 - y + z^2 - 1 = 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x2+y2+z2−10=0x+y−z−2=0x2−y+z2−1=0​

我们可以在 Julia 中使用 NLsolve 来求解这个方程组。

using NLsolve

# 定义非线性方程组
function equations!(F, vars)
    x, y, z = vars
    F[1] = x^2 + y^2 + z^2 - 10
    F[2] = x + y - z - 2
    F[3] = x^2 - y + z^2 - 1
end

# 设定初始猜测值
initial_guess = [1.0, 1.0, 1.0]

# 使用 nlsolve 求解
solution = nlsolve(equations!, initial_guess)

# 输出解
if solution.converged
    println("解为 x = ", solution.zero[1], ", y = ", solution.zero[2], ", z = ", solution.zero[3])
else
    println("未能收敛到解")
end

说明

  • equations! 函数中定义了每个方程表达式并赋值给 F[i]。
  • initial_guess 是初始值的向量，我们在这里设置为 [ 1.0 , 1.0 , 1.0 ] [1.0, 1.0, 1.0] [1.0,1.0,1.0]。
  • nlsolve(equations!, initial_guess) 求解方程组，并返回一个包含结果的结构体 solution。
  • 检查 solution.converged 确认是否收敛到解。

这个代码将输出变量 x x x、 y y y、 z z z 的数值解。Julia 的 NLsolve 包可以有效地处理多变量的非线性方程组。

在 Julia 中，符号求解三变量非线性联立方程

可以使用 SymPy.jl 包。SymPy.jl 是 Julia 的符号计算库，它基于 Python 的 SymPy，可以进行符号微积分、代数简化和方程求解。

以下是使用 SymPy.jl 求解三变量非线性联立方程的步骤。

示例

假设我们有以下非线性方程组：

{ x 2 + y 2 + z 2 − 10 = 0 x + y − z − 2 = 0 x 2 − y + z 2 − 1 = 0 \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 10 = 0 \\ x + y - z - 2 = 0 \\ x^2 - y + z^2 - 1 = 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x2+y2+z2−10=0x+y−z−2=0x2−y+z2−1=0​

1. 安装 SymPy.jl 包

首先，确保已经安装 SymPy.jl。如果尚未安装，可以使用以下命令来安装：

import Pkg
Pkg.add("SymPy")
2. 使用 SymPy.jl 进行符号求解
using SymPy

# 定义符号变量
x, y, z = symbols("x y z")

# 定义非线性方程组
eq1 = x^2 + y^2 + z^2 - 10
eq2 = x + y - z - 2
eq3 = x^2 - y + z^2 - 1

# 使用 solve 函数求解
solution = solve([eq1, eq2, eq3], [x, y, z])

# 输出符号解
println("解为: ", solution)

说明

  • symbols("x y z") 定义了符号变量 (x), (y), (z)。
  • 每个方程使用 Julia 的表达式形式表示，并且写为 (0) 的等式。
  • solve([eq1, eq2, eq3], [x, y, z]) 求解方程组，[x, y, z] 指定我们要求解的变量。
  • solution 是包含解的列表。

输出

solution 将返回所有可能的符号解。如果方程有多个解，结果将包含所有解。如果没有解析解，则可能返回一个不可化简的符号表达式或数值近似解。

注意

  • 并不是所有的非线性方程都能符号求解。如果方程复杂，可能无法得到解析解，这时数值方法（如 NLsolve）可能是更好的选择。
  • SymPy.jl 非常强大，适合处理各种符号计算问题，包括微分方程、积分等。

Symbolics.jl

在Julia中，进行符号计算并求非线性联立方程数值解
主要依赖于Symbolics.jl包。以下是一个步骤指南，帮助你使用Julia进行符号计算并求解非线性联立方程：

1. 安装必要的包

首先，确保你已经安装了Symbolics.jl包。你可以使用Julia的包管理器来安装这个包。在Julia的REPL环境中，输入以下命令：

using Pkg
Pkg.add("Symbolics")

2. 定义符号变量和方程

使用Symbolics.jl包定义符号变量，并构建非线性联立方程。例如，假设我们有以下非线性方程组：

{ ( x + 3 ) ( y 3 − 7 ) + 18 = 0 sin ⁡ ( y ⋅ exp ⁡ ( x ) − 1 ) = 0 \begin{cases} (x + 3)(y^3 - 7) + 18 = 0 \\ \sin(y \cdot \exp(x) - 1) = 0 \end{cases} {(x+3)(y3−7)+18=0sin(y⋅exp(x)−1)=0​

我们可以这样定义符号变量和方程：

using Symbolics

# 定义符号变量
x, y = symbols("x y")

# 定义方程组
eq1 = (x + 3) * (y^3 - 7) + 18
eq2 = sin(y * exp(x) - 1)

# 将方程组合并为一个向量
F = [eq1; eq2]

3. 求解非线性联立方程

虽然Symbolics.jl本身主要用于符号计算（如求导、积分、代数表达式简化等），并不直接提供求解非线性联立方程的数值方法，但你可以结合其他包（如NLsolve.jl）来求解。以下是一个使用NLsolve.jl求解非线性联立方程的示例：

首先，安装NLsolve.jl包：

using Pkg
Pkg.add("NLsolve")

然后，定义一个函数来表示方程组，并使用nlsolve函数来求解：

using NLsolve

# 定义方程组函数
function f!(F, x)
    F[1] = (x[1] + 3) * (x[2]^3 - 7) + 18
    F[2] = sin(x[2] * exp(x[1]) - 1)
end

# 定义初值
x0 = [0.1; 1.2]

# 求解方程组
result = nlsolve(f!, x0)

# 输出结果
println("Solution: ", result.zero)

4. 可视化和进一步分析（可选）

如果方程组有解析解或你希望进一步分析数值解，可以考虑使用Julia的数据分析和可视化工具（如Plots.jl）来绘制解的图像或进行其他分析。

注意事项

  • 求解非线性联立方程可能需要选择合适的初值，因为不同的初值可能导致收敛到不同的解或无法收敛。
  • 对于复杂的非线性方程组，可能需要结合使用其他数值方法和工具来优化求解过程。

通过上述步骤，你可以在Julia中利用符号计算的功能来定义和求解非线性联立方程。虽然Symbolics.jl本身不直接提供求解器，但它可以与其他数值求解包（如NLsolve.jl）结合使用，以实现完整的求解流程。

SymPy.jl

通常可以使用SymPy.jl这个包。SymPy.jl是一个基于Python的SymPy库的Julia接口，提供了强大的符号计算能力。以下是一个使用SymPy.jl求解非线性联立方程符号解的基本步骤：

1. 安装SymPy.jl

首先，确保你的Julia环境已经配置好，然后通过Julia的包管理器安装SymPy.jl：

using Pkg
Pkg.add("SymPy")

2. 导入模块并开始符号计算

安装完成后，导入SymPy模块即可开始符号计算：

using SymPy

3. 定义符号变量和方程

接下来，定义符号变量和需要求解的非线性联立方程。例如，对于方程组：

x 2 + y 2 = 1 , x − y = 0 {x^2 + y^2 = 1, x - y = 0} x2+y2=1,x−y=0

可以这样定义：

# 创建符号变量
x, y = symbols("x y")

# 定义方程
eq1 = Eq(x^2 + y^2, 1)
eq2 = Eq(x - y, 0)

4. 求解方程组

使用solve函数来求解方程组：

# 求解方程组
solutions = solve([eq1, eq2], [x, y])

# 输出结果
println(solutions)

5. 解析和查看结果

solve函数将返回一个包含所有解的字典（或类似结构），你可以解析和查看这些解。对于上面的例子，输出可能是：

{x: 1/sqrt(2), y: 1/sqrt(2)}, {x: -1/sqrt(2), y: -1/sqrt(2)}

这表示方程组有两个解，分别是(x, y) = (1/√2, 1/√2)和(x, y) = (-1/√2, -1/√2)。

注意事项

  • 对于更复杂的非线性联立方程，solve函数可能无法直接找到解析解，或者解可能包含特殊函数（如Lambert W函数）。
  • 在某些情况下，你可能需要使用数值方法来近似求解非线性联立方程，Julia中的NLsolve.jl等包提供了这样的功能。

通过上述步骤，你可以在Julia中使用符号计算来求解非线性联立方程的符号解。SymPy.jl的强大功能使得这一过程变得简单而直观。

计算

julia> using SymPy
julia> t = symbols("t")

在 Julia 中，solve 函数可以用于数值和符号方程的求解。不过 Julia 并没有内置的 solve 函数，我们通常会借助以下两个包来实现方程求解：

  1. 符号求解：使用 SymPy.jl，这是基于 Python SymPy 的 Julia 包。
  2. 数值求解：使用 NLsolve.jl，一个高效的数值求解包。

方程求解方法的示例。

1. 符号求解（SymPy.jl）

安装 SymPy.jl

在终端或代码中安装 SymPy 包：

import Pkg
Pkg.add("SymPy")
使用 SymPy.jl 求解

假设我们要解以下方程：

x 2 − 4 = 0 x^2 - 4 = 0 x2−4=0

在 Julia 中使用 SymPy.jl 进行符号求解：

using SymPy

# 定义符号变量
x = symbols("x")

# 定义方程
eq = x^2 - 4

# 使用 solve 求解
solution = solve(eq, x)

# 输出解
println("解为: ", solution)

示例：多变量非线性方程组

对于多变量的非线性方程组：

{ x 2 + y 2 − 4 = 0 x ∗ y − 1 = 0 \begin{cases} x^2 + y^2 - 4 = 0 \\ x * y - 1 = 0 \end{cases} {x2+y2−4=0x∗y−1=0​

可以这样求解：

using SymPy

# 定义符号变量
x, y = symbols("x y")

# 定义方程组
eq1 = x^2 + y^2 - 4
eq2 = x * y - 1

# 求解方程组
solution = solve([eq1, eq2], [x, y])

# 输出解
println("解为: ", solution)

2. 数值求解（NLsolve.jl）

对于无法符号求解的复杂方程或非线性方程组，可以使用 NLsolve.jl 包进行数值求解。

安装 NLsolve.jl

在终端或代码中安装 NLsolve 包：

import Pkg
Pkg.add("NLsolve")
使用 NLsolve.jl 数值求解

假设我们要解一个非线性方程组：

{ x 2 + y 2 − 4 = 0 x ∗ y − 1 = 0 \begin{cases} x^2 + y^2 - 4 = 0 \\ x * y - 1 = 0 \end{cases} {x2+y2−4=0x∗y−1=0​

在 Julia 中使用 NLsolve.jl 进行数值求解：

using NLsolve

# 定义非线性方程组
function equations!(F, vars)
    x, y = vars
    F[1] = x^2 + y^2 - 4
    F[2] = x * y - 1
end

# 设定初始猜测值
initial_guess = [1.0, 1.0]

# 求解
solution = nlsolve(equations!, initial_guess)

# 输出数值解
println("解为 x = ", solution.zero[1], ", y = ", solution.zero[2])

NLsolve.jl 使用数值方法迭代求解，可以用于各种复杂的方程，尤其是无解析解的方程。

总结

  • 符号求解：适合简单方程，使用 SymPy.jl 的 solve。
  • 数值求解：适合复杂或无解析解的方程，使用 NLsolve.jl 的 nlsolve。

SymPy.jl 中的 solve 函数

是 Julia 的符号计算库 SymPy 提供的，用于求解符号方程。它可以求解单个方程、多变量联立方程，甚至一些不等式和代数方程。

基本用法

solve 函数的基本形式是：

solve(equations, variables)
  • equations：一个方程或方程的数组，代表我们要求解的表达式。方程左边减去右边后写成等式 = 0 的形式。
  • variables：一个变量或变量数组，表示我们要求解的未知量。

1. 求解单个方程

假设我们要求解一个简单的一元二次方程：

x 2 − 4 = 0 x^2 - 4 = 0 x2−4=0

代码如下：

using SymPy

# 定义符号变量
x = symbols("x")

# 定义方程
eq = x^2 - 4

# 使用 solve 求解
solution = solve(eq, x)

# 输出解
println("解为: ", solution)
输出

solve 函数返回一个包含解的数组。对于上面的方程，输出为：
x = [ − 2 , 2 ] x = [-2, 2] x=[−2,2]

2. 求解多变量方程组

对于多变量的方程组，比如：

{ x + y = 3 x − y = 1 \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} {x+y=3x−y=1​

代码如下：

using SymPy

# 定义符号变量
x, y = symbols("x y")

# 定义方程组
eq1 = x + y - 3
eq2 = x - y - 1

# 使用 solve 求解方程组
solution = solve([eq1, eq2], [x, y])

# 输出解
println("解为: ", solution)
输出

solve 函数返回一个字典，键是变量，值是解。对于上面的方程组，输出为：

{ x : 2 , y : 1 } \{x: 2, y: 1\} {x:2,y:1}

3. 非线性方程组

对于更复杂的非线性方程组，比如：

{ x 2 + y 2 = 5 x ∗ y = 2 \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x * y = 2 \end{cases} {x2+y2=5x∗y=2​

代码如下：

using SymPy

# 定义符号变量
x, y = symbols("x y")

# 定义非线性方程组
eq1 = x^2 + y^2 - 5
eq2 = x * y - 2

# 使用 solve 求解
solution = solve([eq1, eq2], [x, y])

# 输出解
println("解为: ", solution)
输出

对于非线性方程，solve 会返回所有可能的解，输出可能包含多个解。例如，可能的输出为：
[ ( x = 2 , y = 1 ) , ( x = − 1 , y = − 2 ) ] [(x = 2, y = 1), (x = -1, y = -2)] [(x=2,y=1),(x=−1,y=−2)]

4. 特殊用法：不等式和代数方程

SymPy.solve 还可以处理不等式和一些特殊的代数方程。对于不等式，解的输出为符号表达式。

注意事项

  • 符号化表达：solve 输出的解是符号化的，适合进一步符号运算。
  • 解析解：solve 主要用于解析解，如果方程没有解析解，返回值可能为复杂的符号表达式或数值解。

使用 SymPy.jl 的 solve 函数可以让 Julia 执行强大的符号运算，特别适用于数学建模和符号化计算的任务。

例子

using SymPy

# 定义符号变量
x, y, t = symbols("x y t")

# 定义非线性方程组
eq2 =Eq(2*t , x) 
eq1 =Eq(6-2*t^2 , y) 


# 使用 solve 函数求解
solution = solve([eq1, eq2], [y,x,t])

# 输出符号解
println("解为: ", solution[1])

参考文献

  1. 文心一言
  2. chatgpt

标签：求解,NLsolve,Julia,jl,物理学,130,solve,SymPy,精解
From： https://blog.csdn.net/sakura_sea/article/details/143231878

相关文章

  • 牛客练习赛130
    A-xtoy可以把与操作理解为减，把或操作理解为加。先减掉多的，再加上少的。因此至多两次即可。#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;usingi32=int32_t;usingi64=longlong;usingui32=unsignedint;usingpii=pair<int,int>;voidsolve(){ i64......
  • 诺贝尔物理学奖花落AI教父，技术革命再获殊荣
    内容概要在科技飞速发展的今天，诺贝尔物理学奖的授予不仅是对科学研究的认可，更是对时代变迁的见证。特别是在这一轮由人工智能引领的技术革命中，历史的车轮仿佛在加速前进。从一开始的机器学习到如今深度学习的崛起，人工智能已经悄然而至，改变了我们面对科学与工程问题时的视角与......
  • 物理学基础精解【115】
    这里写目录标题统计物理学点估计定义性质数学原理公式计算例子例题区间估计（IntervalEstimation）定义性质数学原理公式计算例子例题在统计学中，估计量1.无偏性2.有效性3.一致性4.其他性质总结无偏估计和有偏估计无偏估计定义性质数学原理公式计算例子例题有偏估计......
  • 物理学基础精解【117】
    文章目录微积分无穷级数无穷级数的定义无穷级数的原理无穷级数的性质无穷级数的数学公式无穷级数的计算无穷级数的例子无穷级数的例题柯西判敛法基本原理应用于数列应用于函数序列应用于无穷级数局限性重要性判断级数是否收敛无穷级数收敛与发散无穷级数收敛与发散的定......
  • PMP--必刷题–解题–121-130
    文章目录14.敏捷--产品待办事项列表121、[单选]项目经理使用混合型方法来遵守监管要求。规划和收尾阶段将使用预测型方法，而执行阶段将使用迭代方法。在第二次冲刺评审期间，项目发起人要求对一些产品待办事项列表的优先级进行变更。作为服务型（仆人型）领导者，项目经理应该做......
  • 物理学基础精解【108】
    文章目录导数应用函数的最值函数的最值的定义函数的最值的性质函数的最值的原理与推导数学公式计算例子命题曲线的拐点曲线的拐点的定义曲线的拐点的性质曲线的拐点的原理与推导数学公式计算例子命题导数描述曲线图形1.确定函数2.选择坐标轴和比例3.找出关键点4.描......
  • #2024-2025-1学号20241309《计算机基础与程序设计》第四周学习总结
    作业信息这个作业属于哪个课程2024-2025-1-计算机基础与程序设计这个作业要求在哪里2024-2025-1计算机基础与程序设计第四周作业这个作业的目标|作业正文|2024-2025-1学号20241309《计算机基础与程序设计》第四周学习总结教材学习内容总结《计算机科学概论》......
  • 2024-2025-1 20241308 《计算机基础与程序设计》第四周学习总结
    作业信息这个作业属于哪个课程 https://edu.cnblogs.com/campus/besti/2024-2025-1-CFAP这个作业要求在哪里 https://www.cnblogs.com/rocedu/p/9577842.html#WEEK04这个作业的目标 <门电路组合电路，逻辑电路冯诺依曼结构CPU，内存，IO管理嵌入式系统，并行结构物理安全>作业正......
  • 学期：2024-2025-1 学号：20241303 《计算机基础与程序设计》第四周学习总结
    作业信息这个作业属于哪个课程<班级的链接>（如2024-2025-1-计算机基础与程序设计）这个作业要求在哪里<作业要求的链接>(如2024-2025-1计算机基础与程序设计第四周作业)这个作业的目标<写上具体方面>计算机科学概论（第七版）第4章，第5章并完成云班课测试《C语言程序设计......
  • 2024-2025-1 20241307《计算机基础与程序设计》第四周学习总结
    作业信息这个作业属于哪个课程（2024-2025-1-计算机基础与程序设计）这个作业要求在哪里(2024-2025-1计算机基础与程序设计第四周作业)这个作业的目标作业正文（2024-2025-1学号20241307《计算机基础与程序设计》第四周学习总结）教材学习内容总结第二章主要介......

赞助商

阅读排行

网站主页关于我们联系我们网站地图

本网站内容转载自其他媒体，侵权联系[admin##ips99.com]。

Copyright © 2020-2023 IPS99 版权所有 IPS99