【小学奥数】小学数学几何模型详解

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小学数学几何模型综合解析

一、蝴蝶模型

（一）定义

在梯形中，通过两条对角线将梯形分成四个部分，这四个部分的面积之间存在特定的比例关系，形似蝴蝶。

（二）证明思路

1. 由于梯形上下底平行，所以 △ A O B ∼ △ D O C \triangle AOB\sim\triangle DOC △AOB∼△DOC。根据相似三角形性质，面积比等于相似比的平方，即 S △ A O B S △ D O C = ( A B C D ) 2 \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle DOC}} = (\frac{AB}{CD})^{2} S△DOC​S△AOB​​=(CDAB​)2。
2. △ A O B \triangle AOB △AOB和 △ A O D \triangle AOD △AOD以 A O AO AO为底时，高相同，故 S △ A O B : S △ A O D = O B : O D S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOD}=OB:OD S△AOB​:S△AOD​=OB:OD；同理， △ D O C \triangle DOC △DOC和 △ B O C \triangle BOC △BOC以 C O CO CO为底时，高相同，所以 S △ D O C : S △ B O C = O B : O D S_{\triangle DOC}:S_{\triangle BOC}=OB:OD S△DOC​:S△BOC​=OB:OD。由此可得 S △ A O B : S △ A O D = S △ D O C : S △ B O C S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOD}=S_{\triangle DOC}:S_{\triangle BOC} S△AOB​:S△AOD​=S△DOC​:S△BOC​，即 S △ A O B × S △ D O C = S △ A O D × S △ B O C S_{\triangle AOB}×S_{\triangle DOC}=S_{\triangle AOD}×S_{\triangle BOC} S△AOB​×S△DOC​=S△AOD​×S△BOC​。
3. 因为 △ A O D \triangle AOD △AOD和 △ B O C \triangle BOC △BOC的高之和等于梯形的高，且底相同（都为梯形的上底或下底），所以 S △ A O D = S △ B O C S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOC} S△AOD​=S△BOC​。

（三）特点

1. 梯形上下底平行，对角线相交，形成的四个三角形面积关系固定。
2. 左右两个三角形面积相等，即 S △ A O D = S △ B O C S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOC} S△AOD​=S△BOC​；上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积，即 S △ A O B × S △ D O C = S △ A O D × S △ B O C S_{\triangle AOB}×S_{\triangle DOC}=S_{\triangle AOD}×S_{\triangle BOC} S△AOB​×S△DOC​=S△AOD​×S△BOC​。

（四）示例

在梯形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O， A B ∥ C D AB\parallel CD AB∥CD， A B = 3 AB = 3 AB=3， C D = 5 CD = 5 CD=5，梯形的高为 4。求各部分三角形面积。

1. 因为 A B ∥ C D AB\parallel CD AB∥CD，所以 △ A O B ∼ △ D O C \triangle AOB\sim\triangle DOC △AOB∼△DOC，相似比为 A B C D = 3 5 \frac{AB}{CD}=\frac{3}{5} CDAB​=53​。
2. 设 S △ A O B = 3 x S_{\triangle AOB}=3x S△AOB​=3x， S △ D O C = 5 x S_{\triangle DOC}=5x S△DOC​=5x（根据相似三角形面积比等于相似比的平方）。
3. 由 S △ A O B × S △ D O C = S △ A O D × S △ B O C S_{\triangle AOB}×S_{\triangle DOC}=S_{\triangle AOD}×S_{\triangle BOC} S△AOB​×S△DOC​=S△AOD​×S△BOC​，且 S △ A O D = S △ B O C S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOC} S△AOD​=S△BOC​（设为 y y y），可得 3 x × 5 x = y 2 3x×5x=y^{2} 3x×5x=y2。
4. 梯形面积 S = ( A B + C D ) × h ÷ 2 = ( 3 + 5 ) × 4 ÷ 2 = 16 S=(AB + CD)×h÷2=(3 + 5)×4÷2=16 S=(AB+CD)×h÷2=(3+5)×4÷2=16。
5. 又因为 S = S △ A O B + S △ D O C + S △ A O D + S △ B O C = 3 x + 5 x + 2 y = 8 x + 2 y S = S_{\triangle AOB}+S_{\triangle DOC}+S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=3x + 5x + 2y=8x + 2y S=S△AOB​+S△DOC​+S△AOD​+S△BOC​=3x+5x+2y=8x+2y。
6. 联立方程可解得 x = 1 2 x=\frac{1}{2} x=21​， y = 3 2 5 y=\frac{3}{2}\sqrt{5} y=23​5 ​。
7. 所以 S △ A O B = 3 2 S_{\triangle AOB}=\frac{3}{2} S△AOB​=23​， S △ D O C = 5 2 S_{\triangle DOC}=\frac{5}{2} S△DOC​=25​， S △ A O D = S △ B O C = 3 2 5 S_{\triangle AOD}=S_{\triangle BOC}=\frac{3}{2}\sqrt{5} S△AOD​=S△BOC​=23​5 ​。

二、一半模型

（一）定义

在一些特定的图形中，存在一些线段或图形组合，使得其面积是整个大图形面积的一半。

（二）证明思路

以长方形为例，连接对角线后，两个三角形等底等高（底分别为长方形的长和宽，高分别为长方形的宽和长）。根据三角形面积公式 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah（ a a a为底， h h h为高），可得两个三角形面积都为 1 2 × \frac{1}{2}× 21​×长 × × ×宽，即长方形面积的一半。对于正方形和平行四边形同理，可通过分割后的三角形与原图形的底和高关系来证明。

（三）特点

1. 常见于长方形、正方形、平行四边形等图形。
2. 通常与图形的分割和组合有关。

（四）示例

在一个长方形中，连接一条对角线，这条对角线将长方形分成两个三角形，这两个三角形的面积都是长方形面积的一半。设长方形长为 a a a，宽为 b b b，则长方形面积 S = a b S = ab S=ab，对角线分成的两个三角形，底分别为 a a a和 b b b，高都为 b b b和 a a a（以长方形的长和宽为底对应的高），所以三角形面积 S △ = 1 2 × a × b S_{\triangle}=\frac{1}{2}×a×b S△​=21​×a×b，即两个三角形面积都是长方形面积的一半。

三、等高模型

（一）定义

在三角形中，如果两个三角形等底等高，那么它们的面积相等；如果两个三角形的高相等，底的倍数关系与面积的倍数关系相同；如果两个三角形的底相等，高的倍数关系与面积的倍数关系也相同。

（二）证明思路

1. 当两个三角形等底等高时，根据面积公式 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah，底和高都相同，所以面积相等。
2. 当高相等时，设两个三角形高为 h h h，底分别为 a 1 a_1 a1​和 a 2 a_2 a2​，则面积分别为 S 1 = 1 2 a 1 h S_1=\frac{1}{2}a_1h S1​=21​a1​h， S 2 = 1 2 a 2 h S_2=\frac{1}{2}a_2h S2​=21​a2​h，所以 S 1 S 2 = a 1 a 2 \frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1}{a_2} S2​S1​​=a2​a1​​，即底的倍数关系与面积的倍数关系相同。
3. 同理可证底相等时，高的倍数关系与面积的倍数关系相同。

（三）特点

1. 强调三角形的高或底的关系对面积的影响。
2. 可用于比较不同三角形的面积大小。

（四）示例

在三角形 A B C ABC ABC中，有一条底边的中点与顶点相连，设 D D D为 B C BC BC中点，连接 A D AD AD。因为 △ A B D \triangle ABD △ABD和 △ A C D \triangle ACD △ACD等高（高为 A D AD AD），且 B D = C D BD = CD BD=CD（ D D D为中点），根据三角形面积公式 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah（ a a a为底， h h h为高），所以 S △ A B D = 1 2 S △ A B C S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC} S△ABD​=21​S△ABC​， S △ A C D = 1 2 S △ A B C S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC} S△ACD​=21​S△ABC​，即 S △ A B D = S △ A C D S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD} S△ABD​=S△ACD​。

四、鸟头模型

（一）定义

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形的面积比等于对应角两边乘积的比。

（二）证明思路（以两角相等情况为例）

1. 设两个三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A ′ B ′ C ′ \triangle A'B'C' △A′B′C′， ∠ A = ∠ A ′ \angle A=\angle A' ∠A=∠A′。
2. 从 B B B和 B ′ B' B′分别向 A C AC AC和 A ′ C ′ A'C' A′C′作高 h 1 h_1 h1​和 h 2 h_2 h2​。
3. 因为 ∠ A = ∠ A ′ \angle A=\angle A' ∠A=∠A′，所以 sin ⁡ ∠ A = sin ⁡ ∠ A ′ \sin\angle A=\sin\angle A' sin∠A=sin∠A′。
4. 则 h 1 = A B sin ⁡ ∠ A h_1 = AB\sin\angle A h1​=ABsin∠A， h 2 = A ′ B ′ sin ⁡ ∠ A ′ h_2 = A'B'\sin\angle A' h2​=A′B′sin∠A′，所以 h 1 h 2 = A B A ′ B ′ \frac{h_1}{h_2}=\frac{AB}{A'B'} h2​h1​​=A′B′AB​。
5. △ A B C \triangle ABC △ABC的面积 S 1 = 1 2 A C × h 1 S_1=\frac{1}{2}AC×h_1 S1​=21​AC×h1​， △ A ′ B ′ C ′ \triangle A'B'C' △A′B′C′的面积 S 2 = 1 2 A ′ C ′ × h 2 S_2=\frac{1}{2}A'C'×h_2 S2​=21​A′C′×h2​。
6. 所以 S 1 S 2 = A C × A B A ′ C ′ × A ′ B ′ \frac{S_1}{S_2}=\frac{AC×AB}{A'C'×A'B'} S2​S1​​=A′C′×A′B′AC×AB​，即两个三角形的面积比等于对应角两边乘积的比。当两角互补时，可通过作辅助线等方法将其转化为两角相等的情况进行类似证明。

（三）特点

1. 需要找到两个三角形中的相等角或互补角。
2. 利用角度关系来确定面积比例。

（四）示例

在三角形 A B C ABC ABC和三角形 A D E ADE ADE中， ∠ A \angle A ∠A是公共角，如果 D E ∥ B C DE\parallel BC DE∥BC，那么三角形 A D E ADE ADE和三角形 A B C ABC ABC相似。设 A D : A B = k AD:AB = k AD:AB=k（ 0 < k < 1 0\lt k\lt1 0<k<1），因为 D E ∥ B C DE\parallel BC DE∥BC，所以 ∠ A D E = ∠ A B C \angle ADE=\angle ABC ∠ADE=∠ABC， ∠ A E D = ∠ A C B \angle AED=\angle ACB ∠AED=∠ACB， △ A D E ∼ △ A B C \triangle ADE\sim\triangle ABC △ADE∼△ABC。根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，相似比为 A D : A B = k AD:AB = k AD:AB=k，所以 S △ A D E : S △ A B C = k 2 S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=k^{2} S△ADE​:S△ABC​=k2。又根据鸟头模型， S △ A D E : S △ A B C = ( A D × A E ) : ( A B × A C ) S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=(AD×AE):(AB×AC) S△ADE​:S△ABC​=(AD×AE):(AB×AC)，假设 A D = k A B AD = kAB AD=kAB， A E = k A C AE = kAC AE=kAC（由相似比可得），则 ( A D × A E ) : ( A B × A C ) = k 2 (AD×AE):(AB×AC)=k^{2} (AD×AE):(AB×AC)=k2，与相似比的平方结果一致。

五、沙漏模型

（一）定义

由两个相似三角形组成，形状类似于沙漏，其对应边成比例。

（二）证明思路

1. 因为两个三角形相似，所以对应角相等，对应边成比例。
2. 设两个相似三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A ′ B ′ C ′ \triangle A'B'C' △A′B′C′，相似比为 k = A B A ′ B ′ = B C B ′ C ′ = A C A ′ C ′ k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'} k=A′B′AB​=B′C′BC​=A′C′AC​。
3. 从 C C C和 C ′ C' C′分别向 A B AB AB和 A ′ B ′ A'B' A′B′作高 h h h和 h ′ h' h′。
4. 由于相似三角形对应角相等，所以 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A ′ B ′ C ′ \triangle A'B'C' △A′B′C′的高之比也为 k k k，即 h h ′ = k \frac{h}{h'}=k h′h​=k。
5. △ A B C \triangle ABC △ABC的面积 S = 1 2 A B × h S=\frac{1}{2}AB×h S=21​AB×h， △ A ′ B ′ C ′ \triangle A'B'C' △A′B′C′的面积 S ′ = 1 2 A ′ B ′ × h ′ S'=\frac{1}{2}A'B'×h' S′=21​A′B′×h′。
6. 所以 S S ′ = 1 2 A B × h 1 2 A ′ B ′ × h ′ = A B A ′ B ′ × h h ′ = k 2 \frac{S}{S'}=\frac{\frac{1}{2}AB×h}{\frac{1}{2}A'B'×h'}=\frac{AB}{A'B'}×\frac{h}{h'}=k^{2} S′S​=21​A′B′×h′21​AB×h​=A′B′AB​×h′h​=k2，即面积比是对应边之比的平方。

（三）特点

1. 上下两个三角形相似。
2. 对应边的比例关系决定了面积的比例关系，面积比是对应边之比的平方。

（四）示例

在梯形 A B C D ABCD ABCD中，对角线 A C AC AC和 B D BD BD相交于点 O O O， △ A B O \triangle ABO △ABO和 △ C D O \triangle CDO △CDO相似。若 A B : C D = 2 : 3 AB:CD = 2:3 AB:CD=2:3，设 A B = 2 x AB = 2x AB=2x， C D = 3 x CD = 3x CD=3x。由相似三角形性质，可得 A O : C O = B O : D O = A B : C D = 2 : 3 AO:CO = BO:DO = AB:CD = 2:3 AO:CO=BO:DO=AB:CD=2:3。设 A O = 2 y AO = 2y AO=2y， C O = 3 y CO = 3y CO=3y。 △ A B O \triangle ABO △ABO的面积 S 1 = 1 2 × A B × h 1 S_1=\frac{1}{2}×AB×h_1 S1​=21​×AB×h1​（ h 1 h_1 h1​为 △ A B O \triangle ABO △ABO以 A B AB AB为底的高）， △ C D O \triangle CDO △CDO的面积 S 2 = 1 2 × C D × h 2 S_2=\frac{1}{2}×CD×h_2 S2​=21​×CD×h2​（ h 2 h_2 h2​为 △ C D O \triangle CDO △CDO以 C D CD CD为底的高）。因为 △ A B O ∼ △ C D O \triangle ABO\sim\triangle CDO △ABO∼△CDO，所以 h 1 h 2 = A B C D = 2 3 \frac{h_1}{h_2}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3} h2​h1​​=CDAB​=32​。 S 1 = 1 2 × 2 x × h 1 = x h 1 S_1=\frac{1}{2}×2x×h_1=xh_1 S1​=21​×2x×h1​=xh1​， S 2 = 1 2 × 3 x × h 2 = 3 2 x h 2 S_2=\frac{1}{2}×3x×h_2=\frac{3}{2}xh_2 S2​=21​×3x×h2​=23​xh2​。又因为 h 1 h 2 = 2 3 \frac{h_1}{h_2}=\frac{2}{3} h2​h1​​=32​，所以 S 1 : S 2 = 4 : 9 S_1:S_2 = 4:9 S1​:S2​=4:9，即对应边之比的平方。

六、燕尾模型

（一）定义

在一个三角形中，从一个顶点引出的三条分线，把三角形分成了六个部分，其中某些部分的面积之间存在特定的比例关系，类似燕尾的形状。

（二）证明思路（以 S △ A O B : S △ A O C = B D : D C S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOC}=BD:DC S△AOB​:S△AOC​=BD:DC为例）

1. 连接 D E DE DE。
2. 因为 △ B D E \triangle BDE △BDE和 △ C D E \triangle CDE △CDE等高（高为点 A A A到 B C BC BC的距离），且 B D : D C BD:DC BD:DC为它们底的比例关系。根据等高模型， S △ B D E : S △ C D E = B D : D C S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}=BD:DC S△BDE​:S△CDE​=BD:DC。
3. 又因为 △ A O B \triangle AOB △AOB和 △ A O C \triangle AOC △AOC分别减去 △ A O E \triangle AOE △AOE后得到 △ B D E \triangle BDE △BDE和 △ C D E \triangle CDE △CDE（即 S △ A O B − S △ A O E = S △ B D E S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AOE}=S_{\triangle BDE} S△AOB​−S△AOE​=S△BDE​， S △ A O C − S △ A O E = S △ C D E S_{\triangle AOC}-S_{\triangle AOE}=S_{\triangle CDE} S△AOC​−S△AOE​=S△CDE​）。
4. 同时 △ A O E \triangle AOE △AOE在 △ A O B \triangle AOB △AOB和 △ A O C \triangle AOC △AOC中所占比例相同（因为 △ A O E \triangle AOE △AOE和 △ A O B \triangle AOB △AOB、 △ A O C \triangle AOC △AOC共用高，底在 A E AE AE和 A C AC AC上，比例为 A E : A C AE:AC AE:AC）。
5. 所以 S △ A O B : S △ A O C = S △ B D E : S △ C D E = B D : D C S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOC}=S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}=BD:DC S△AOB​:S△AOC​=S△BDE​:S△CDE​=BD:DC。其他比例关系可类似证明。

（三）特点

1. 针对三角形内部的特定分割情况。
2. 面积比例关系较为复杂，与三角形各边的比例以及分线的位置有关。

（四）示例

在三角形 A B C ABC ABC中， A D AD AD、 B E BE BE、 C F CF CF是三条分线，交点为 O O O，有 S △ A O B : S △ A O C = B D : D C S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOC}=BD:DC S△AOB​:S△AOC​=BD:DC， S △ B O C : S △ A O B = C E : E A S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=CE:EA S△BOC​:S△AOB​=CE:EA， S △ A O C : S △ B O C = A F : F B S_{\triangle AOC}:S_{\triangle BOC}=AF:FB S△AOC​:S△BOC​=AF:FB等比例关系。

七、金字塔模型

（一）定义

与沙漏模型类似，由两个相似的三角形组成，一个三角形在上方类似塔尖，另一个在下方类似底座。

（二）证明思路

与沙漏模型的证明类似，因为两三角形相似，对应角相等，对应边成比例。对于面积比，根据相似三角形性质，面积比等于相似比的平方，证明过程同沙漏模型。

（三）特点

1. 上下两个三角形相似。
2. 对应边和对应高的比例关系影响面积比例。

（四）示例

在大三角形 △ A B C \triangle ABC △ABC内部有小三角形 △ A D E \triangle ADE △ADE， D E ∥ B C DE\parallel BC DE∥BC。若 A D : A B = 2 : 5 AD:AB = 2:5 AD:AB=2:5， △ A B C \triangle ABC △ABC的面积为 50 50 50。因为 △ A D E ∼ △ A B C \triangle ADE\sim\triangle ABC △ADE∼△ABC，相似比为 2 : 5 2:5 2:5。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得 S △ A D E : S △ A B C = 4 : 25 S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=4:25 S△ADE​:S△ABC​=4:25。设 S △ A D E = 4 x S_{\triangle ADE}=4x S△ADE​=4x，则 4 x : 50 = 4 : 25 4x:50 = 4:25 4x:50=4:25，解得 x = 2 x = 2 x=2，所以 S △ A D E = 8 S_{\triangle ADE}=8 S△ADE​=8。

八、拉窗帘模型

（一）定义

主要针对正方形，将正方形沿对角线切开分成两部分后，对其中一部分做平行线移动（类似拉窗帘动作），面积始终不变。

（二）证明思路

1. 正方形的对角线将正方形分成两个等腰直角三角形，这两个三角形等底等高，面积相等且都为正方形面积的一半。
2. 当对其中一个三角形进行沿对角线平行线移动时，新形成的图形可以通过等积变形证明其面积与原正方形一半面积相等。例如，设正方形边长为 a a a，对角线长为 2 a \sqrt{2}a 2 ​a。以对角线为底，从顶点向对角线作高，高为 2 2 a \frac{\sqrt{2}}{2}a 22 ​​a。则正方形面积为 a 2 a^{2} a2，一个等腰直角三角形面积为 1 2 × a × 2 2 a = 1 2 a 2 \frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{2}a^{2} 21​×a×22 ​​a=21​a2。当移动三角形时，根据平行四边形面积公式（移动后形成的部分可看作平行四边形）等知识可证明面积不变。

（三）特点

1. 利用正方形对角线平行的特性。
2. 强调图形移动过程中的面积不变性。

（四）示例

在正方形中，连接一条对角线，将正方形分成两个三角形。然后将其中一个三角形沿着对角线平行移动，移动过程中，这个三角形与另一个三角形组成的新图形面积始终与原来正方形的面积一半相等。

九、共边模型

（一）定义

如果两个三角形有一条公共边，那么这两个三角形就可以使用共边模型。共边模型主要利用三角形的等积变形来解决问题，在一定条件下可以通过公共边的比例关系来确定三角形面积的比例关系。

（二）证明思路

1. 当两个三角形同底，顶点在同一条与底边平行的直线上时，因为这两个三角形的高相等，根据三角形面积公式 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah（ a a a为底， h h h为高），所以它们的面积相等。
   • 设两个三角形为 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A B D \triangle ABD △ABD， B C BC BC和 B D BD BD为公共底边 a a a，由于顶点 A A A在与 B C BC BC平行的直线上，所以 A A A到 B C BC BC和 B D BD BD的高 h h h相等。那么 S △ A B C = 1 2 a h S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ah S△ABC​=21​ah， S △ A B D = 1 2 a h S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}ah S△ABD​=21​ah，即 S △ A B C = S △ A B D S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD} S△ABC​=S△ABD​。
2. 若两个三角形有一条公共边，且这条边上的高相等，设公共边为 A B AB AB，高为 h h h，两个三角形的底边分别为 C D 1 CD_1 CD1​和 C D 2 CD_2 CD2​，那么它们的面积 S 1 = 1 2 A B × h 1 S_1=\frac{1}{2}AB×h_1 S1​=21​AB×h1​， S 2 = 1 2 A B × h 2 S_2=\frac{1}{2}AB×h_2 S2​=21​AB×h2​（ h 1 = h 2 = h h_1 = h_2 = h h1​=h2​=h），所以 S 1 S 2 = C D 1 C D 2 \frac{S_1}{S_2}=\frac{CD_1}{CD_2} S2​S1​​=CD2​CD1​​，即面积比就等于它们对应底边的比。
   • 设 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A B D \triangle ABD △ABD有公共边 A B AB AB，高为 h h h， A C AC AC和 A D AD AD分别为 C D 1 CD_1 CD1​和 C D 2 CD_2 CD2​。 S △ A B C = 1 2 A B × h S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB×h S△ABC​=21​AB×h， S △ A B D = 1 2 A B × h S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB×h S△ABD​=21​AB×h，所以 S △ A B C S △ A B D = 1 2 A B × h 1 2 A B × h = C D 1 C D 2 \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{\frac{1}{2}AB×h}{\frac{1}{2}AB×h}=\frac{CD_1}{CD_2} S△ABD​S△ABC​​=21​AB×h21​AB×h​=CD2​CD1​​。

（三）特点

1. 关注有公共边的三角形。
2. 通过公共边的比例关系求解面积。

（四）示例

在 △ A B C \triangle ABC △ABC和 △ A B D \triangle ABD △ABD中， A B AB AB为公共边， D D D、 C C C两点在与 A B AB AB平行的直线上，那么 S △ A B C = S △ A B D S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD} S△ABC​=S△ABD​；若 E E E在 A C AC AC上， △ A B E \triangle ABE △ABE和 △ A B C \triangle ABC △ABC以 A B AB AB为公共边，且高之比为 A E : A C AE:AC AE:AC，那么 S △ A B E : S △ A B C = A E : A C S_{\triangle ABE}:S_{\triangle ABC}=AE:AC S△ABE​:S△ABC​=AE:AC。

十、等积变形模型

（一）定义

基于三角形、平行四边形等图形的面积公式进行推导，包括等底等高的三角形面积相等、三角形面积与底和高的比例关系、平行线间等积变形以及正方形与对角线、三角形与平行四边形面积关系等。

（二）证明思路

1. 对于等底等高的三角形，根据面积公式 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah（ a a a为底， h h h为高），底和高都相等时面积必然相等。
2. 当三角形高相等时，设高为 h h h，两三角形底分别为 a 1 a_1 a1​、 a 2 a_2 a2​，面积 S 1 = 1 2 a 1 h S_1=\frac{1}{2}a_1h S1​=21​a1​h， S 2 = 1 2 a 2 h S_2=\frac{1}{2}a_2h S2​=21​a2​h，所以 S 1 S 2 = a 1 a 2 \frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1}{a_2} S2​S1​​=a2​a1​​，即面积比等于底之比；同理可证底相等时，面积比等于高之比。
3. 对于夹在平行线间的三角形，因平行线间距离相等，等底时高相等，面积相等；若面积相等且底相等，根据面积公式可知高相等，可推出两直线平行。
4. 设正方形边长为 a a a，对角线长为 2 a \sqrt{2}a 2 ​a，根据三角形面积公式，以对角线为底和高计算正方形面积为 1 2 × 2 a × 2 a = a 2 \frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a = a^{2} 21​×2 ​a×2 ​a=a2，即正方形面积等于对角线长度平方的一半。
5. 当三角形与平行四边形等底等高时，平行四边形面积 S = a h S = ah S=ah，三角形面积 S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah，所以三角形面积是平行四边形面积的一半。

（三）特点

1. 利用各种图形的面积关系进行转化。
2. 强调等积变形的灵活性。

（四）示例

已知三角形 A B C ABC ABC，底 B C = 6 BC = 6 BC=6， D D D为 B C BC BC上一点， B D : D C = 1 : 2 BD:DC = 1:2 BD:DC=1:2， A A A到 B C BC BC的高为 4 4 4。求 △ A B D \triangle ABD △ABD与 △ A D C \triangle ADC △ADC的面积。

1. 因为 B D : D C = 1 : 2 BD:DC = 1:2 BD:DC=1:2，所以设 B D = x BD = x BD=x，则 D C = 2 x DC = 2x DC=2x， B C = B D + D C = 3 x = 6 BC = BD + DC = 3x = 6 BC=BD+DC=3x=6，解得 x = 2 x = 2 x=2，即 B D = 2 BD = 2 BD=2， D C = 4 DC = 4 DC=4。
2. △ A B C \triangle ABC △ABC的面积 S △ A B C = 1 2 × B C × h = 1 2 × 6 × 4 = 12 S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×6×4 = 12 S△ABC​=21​×BC×h=21​×6×4=12。
3. △ A B D \triangle ABD △ABD的面积 S △ A B D = 1 2 × B D × h = 1 2 × 2 × 4 = 4 S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×BD×h=\frac{1}{2}×2×4 = 4 S△ABD​=21​×BD×h=21​×2×4=4。
4. △ A D C \triangle ADC △ADC的面积 S △ A D C = 1 2 × D C × h = 1 2 × 4 × 4 = 8 S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×DC×h=\frac{1}{2}×4×4 = 8 S△ADC​=21​×DC×h=21​×4×4=8。

十一、弦图模型

（一）定义

由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。

（二）证明思路

1. 设直角三角形的两条直角边分别为 a a a和 b b b（ a > b a>b a>b），斜边为 c c c。
2. 四个直角三角形的面积为 4 × 1 2 a b = 2 a b 4×\frac{1}{2}ab = 2ab 4×21​ab=2ab。
3. 大正方形的边长为 a + b a + b a+b，其面积为 ( a + b ) 2 (a + b)^{2} (a+b)2。
4. 中间小正方形的边长为 a − b a - b a−b，面积为 ( a − b ) 2 (a - b)^{2} (a−b)2。
5. 大正方形的面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和，即 ( a + b ) 2 = 2 a b + ( a − b ) 2 (a + b)^{2}=2ab+(a - b)^{2} (a+b)2=2ab+(a−b)2，可通过完全平方公式展开进行验证： ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} (a+b)2=a2+2ab+b2， ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a - b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} (a−b)2=a2−2ab+b2， 2 a b + ( a − b ) 2 = 2 a b + a 2 − 2 a b + b 2 = a 2 + b 2 2ab+(a - b)^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+b^{2} 2ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2=a2+b2，而根据勾股定理 c 2 = a 2 + b 2 c^{2}=a^{2}+b^{2} c2=a2+b2，这里大正方形边长 c = a + b c = a + b c=a+b，所以等式成立。

（三）特点

1. 适用于直角三角形和正方形的组合图形。
2. 可以通过弦图来推导边长和面积关系。

（四）示例

已知一个大正方形是由四个直角边分别为 3 3 3和 4 4 4的直角三角形拼成。

1. 先求斜边 c = 3 2 + 4 2 = 5 c=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5 c=32+42 ​=5。
2. 大正方形边长为 3 + 4 = 7 3 + 4 = 7 3+4=7，大正方形面积为 7 2 = 49 7^{2}=49 72=49。
3. 四个直角三角形面积为 4 × 1 2 × 3 × 4 = 24 4×\frac{1}{2}×3×4 = 24 4×21​×3×4=24。
4. 中间小正方形面积为 49 − 24 = 25 49 - 24 = 25 49−24=25。

十二、割补模型

（一）定义

将不规则图形通过切割、拼接等方式转化为规则的、易于计算面积或求解的图形。

（二）证明思路

1. 对于切割情况，将不规则多边形分割成三角形和矩形等。因为这些图形的面积公式已知，分别计算分割后图形面积再相加得到原多边形面积，这是基于面积的可加性。例如，将一个不规则五边形分割成三个三角形，分别计算三角形面积再相加就是五边形面积。
2. 对于拼接情况，如将缺角正方形补全成完整正方形。先算出完整正方形面积，再减去补的三角形面积得到原缺角正方形面积。这是利用图形的可变形性和面积的减法原理，即整体面积等于各部分面积之和（或差）。

（三）特点

1. 针对不规则图形进行处理。
2. 通过割补操作使问题简化。

（四）示例

求一个不规则四边形的面积，该四边形可分割为一个直角三角形和一个梯形。

1. 测量直角三角形的两条直角边分别为 3 3 3和 4 4 4，则其面积 S 1 = 1 2 × 3 × 4 = 6 S_1=\frac{1}{2}×3×4 = 6 S1​=21​×3×4=6。
2. 梯形上底为 2 2 2，下底为 5 5 5，高为 3 3 3，根据梯形面积公式 S 2 = ( 2 + 5 ) × 3 2 = 21 2 S_2=\frac{(2 + 5)×3}{2}=\frac{21}{2} S2​=2(2+5)×3​=221​。
3. 那么不规则四边形面积为 S = S 1 + S 2 = 6 + 21 2 = 33 2 S = S_1 + S_2 = 6+\frac{21}{2}=\frac{33}{2} S=S1​+S2​=6+221​=233​。

十三、旋转模型

（一）定义

将图形中的某部分绕一个点旋转一定角度，使图形位置或形状变化以解决问题。

（二）证明思路

1. 在旋转过程中，图形的形状和大小不变，只是位置发生改变。例如等腰三角形绕顶点旋转，旋转前后的三角形全等，边长和角度等几何性质不变。这是基于旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
2. 对于求阴影部分面积问题，通过旋转图形使阴影部分组合成规则图形，因为旋转不改变图形面积。如将两个部分阴影旋转后拼接成一个矩形或三角形，根据已知条件计算其面积。例如，一个由两个扇形和一个直角三角形组成的图形，通过将其中一个扇形绕直角顶点旋转，使两个扇形和直角三角形组成一个半圆，可根据半圆面积公式计算阴影部分面积。

（三）特点

1. 改变图形的位置和形状。
2. 常用于解决复杂的几何问题。

（四）示例

在一个半径为 4 4 4的圆中，有一个等腰直角三角形 A B C ABC ABC， ∠ C = 9 0 ∘ \angle C = 90^{\circ} ∠C=90∘， A C = B C AC = BC AC=BC，将三角形 A B C ABC ABC绕点 C C C顺时针旋转 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘。求旋转过程中阴影部分面积的变化。

1. 未旋转时，三角形 A B C ABC ABC的面积为 1 2 × 4 × 4 = 8 \frac{1}{2}×4×4 = 8 21​×4×4=8，圆的面积为 π × 4 2 = 16 π \pi×4^{2}=16\pi π×42=16π，阴影部分面积为圆面积减去三角形面积，即 16 π − 8 16\pi - 8 16π−8。
2. 旋转 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘后，阴影部分形成一个扇形，其圆心角为 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘，半径为 4 4 4。根据扇形面积公式 S = n 360 π r 2 S=\frac{n}{360}\pi r^{2} S=360n​πr2（ n n n为圆心角， r r r为半径），扇形面积为 45 360 × 16 π = 2 π \frac{45}{360}×16\pi = 2\pi 36045​×16π=2π。
3. 阴影部分面积变化为 2 π − ( 16 π − 8 ) = 8 − 14 π 2\pi-(16\pi - 8)=8 - 14\pi 2π−(16π−8)=8−14π。

十四、拼接模型

（一）定义

将多个小图形拼接成新图形，或将一个图形拆分成多个小图形后再拼接，以研究图形关系和规律。

（二）证明思路

1. 当拼接小图形时，如将几个相同的小正方形拼接成大长方形。大长方形的长是小正方形边长的倍数，宽也是小正方形边长的倍数，根据小正方形边长可计算大长方形的长、宽，进而利用长方形面积公式求出面积和周长。这是基于图形的组合和尺寸关系。
2. 对于拆分后再拼接的情况，例如将一个平行四边形拆分成两个三角形和一个矩形，然后重新拼接成一个新图形。通过分析拼接前后图形的边长、高、角度等关系，利用相应图形公式求解问题。如计算拼接后图形的面积是否与原平行四边形面积相等，可根据三角形和平行四边形面积公式进行验证。

（三）特点

1. 强调图形的组合和拆分。
2. 用于求解组合图形的问题。

（四）示例

有 3 3 3个边长为 2 2 2的正方形，将它们拼接成一个长方形。

1. 长方形的长为 2 × 3 = 6 2×3 = 6 2×3=6，宽为 2 2 2。
2. 长方形的面积为 6 × 2 = 12 6×2 = 12 6×2=12，周长为 ( 6 + 2 ) × 2 = 16 (6 + 2)×2 = 16 (6+2)×2=16。

十五、母子模型

（一）定义

有一个大图形（母图形）包含一个小图形（子图形），通过研究两者关系解决问题。

（二）证明思路

1. 对于圆和扇形，设圆的半径为 r r r，圆心角为 n ∘ n^{\circ} n∘的扇形。根据圆的面积公式 S = π r 2 S = \pi r^{2} S=πr2，扇形面积公式 S 扇 = n 360 π r 2 S_{扇}=\frac{n}{360}\pi r^{2} S扇​=360n​πr2，所以扇形面积与圆面积之比为 n 360 \frac{n}{360} 360n​。通过已知的圆的半径或面积等信息，可利用比例关系求解扇形的相关信息，如已知圆面积求扇形面积。
2. 在大三角形包含小三角形的情况，如果两个三角形相似，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方。通过大三角形的边长、面积等条件，利用相似比可求解小三角形的边长、角度或面积等。例如，大三角形面积为 20 20 20，与小三角形相似比为 3 : 2 3:2 3:2，则小三角形面积为 20 × ( 2 2 ) 3 2 = 80 9 \frac{20×(2^{2})}{3^{2}}=\frac{80}{9} 3220×(22)​=980​。

（三）特点

1. 关注图形的包含关系。
2. 利用比例关系求解问题。

（四）示例

在一个半径为 5 5 5的圆中，有一个圆心角为 12 0 ∘ 120^{\circ} 120∘的扇形。

1. 圆的面积为 π × 5 2 = 25 π \pi×5^{2}=25\pi π×52=25π。
2. 扇形面积为 120 360 × 25 π = 25 3 π \frac{120}{360}×25\pi=\frac{25}{3}\pi 360120​×25π=325​π。

十六、割补拓展模型

（一）定义

在原割补模型基础上，通过更复杂的割补方式发现图形性质和规律，适用于复杂几何图形。

（二）证明思路

1. 对于复杂多边形，通过添加多条辅助线将其割补成多个复杂图形（如三角形、矩形、梯形等），然后利用这些图形的面积公式和已知条件建立等式来求解原多边形的面积、周长等问题。例如，对于一个不规则六边形，可通过连接对角线将其分割成四个三角形和一个梯形，分别计算这些图形的面积并根据它们之间的关系求出六边形面积。
2. 对于立体图形，通过切割或填补的方式研究其体积、表面积等性质。如将一个不规则的三棱柱切割成一个长方体和两个三棱锥，分别计算它们的体积后相加得到三棱柱的体积；对于求不规则立体图形的表面积，可通过将其表面展开并分割成若干个规则图形（如矩形、三角形等），计算这些图形的面积后相加得到表面积。

（三）特点

1. 比普通割补模型更复杂。
2. 适用于复杂几何图形的求解。

（四）示例

求一个不规则五面体的体积，可将其分割成一个三棱柱和两个四棱锥。

1. 测量三棱柱的底面积 S 1 S_1 S1​和高 h 1 h_1 h1​，根据三棱柱体积公式 V 1 = S 1 h 1 V_1 = S_1h_1 V1​=S1​h1​计算其体积。
2. 测量四棱锥的底面积 S 2 S_2 S2​和高 h 2 h_2 h2​，根据四棱锥体积公式 V 2 = 1 3 S 2 h 2 V_2=\frac{1}{3}S_2h_2 V2​=31​S2​h2​计算其体积，设两个四棱锥体积分别为 V 21 V_{21} V21​和 V 22 V_{22} V22​。
3. 则不规则五面体体积 V = V 1 + V 21 + V 22 V = V_1 + V_{21}+V_{22} V=V1​+V21​+V22​。
   又如求一个不规则几何体的表面积，将其表面展开后，得到若干个矩形和三角形。分别测量矩形的长和宽、三角形的底和高，根据矩形面积公式 S 矩 = 长 × 宽 S_{矩}=长×宽 S矩​=长×宽，三角形面积公式 S 三 = 1 2 底 × 高 S_{三}=\frac{1}{2}底×高 S三​=21​底×高，计算出各个图形的面积，然后相加得到该几何体的表面积。

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