509_斐波那契数

【问题描述】

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

【算法设计思想】

本题可以看作是入门动态规划的经典第一题。

1. 定义状态：
   • 状态是指问题的一个特定阶段的状态。对于斐波那契数列，状态可以定义为 dp[i]，表示斐波那契数列的第 i 个数字。
2. 确定状态转移方程：
   • 状态转移方程描述了如何从一个或多个先前的状态转移到当前状态。对于斐波那契数列，状态转移方程为 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，表示第 i 个斐波那契数等于前两个斐波那契数之和。
3. 初始化：
   • 初始化一些基本情况，以便开始递推计算。对于斐波那契数列，初始化 dp[0] = 0 和 dp[1] = 1。
4. 确定计算顺序：
   • 确定状态的计算顺序，通常是从已知状态逐步推导到最终状态。对于斐波那契数列，计算顺序是从 dp[0] 和 dp[1] 开始，逐步计算到 dp[n]。
5. 返回结果：
   • 最后返回所需的最终结果。对于斐波那契数列，返回 dp[n]。

【算法描述】

C++：

class Solution {
public:
    // 计算斐波那契数列的第n个数字
    int fib(int n) {
        // 如果n为0，直接返回0，因为斐波那契数列的第一个数字是0
        if (n == 0)
            return 0;

        // 创建一个数组来存储斐波那契数列中的前n+1个数字
        int dp[n + 1];

        // 初始化斐波那契数列的前两个数字
        dp[0] = 0; // 第0个数字是0
        dp[1] = 1; // 第1个数字是1

        // 使用循环计算从第2个到第n个斐波那契数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 每个斐波那契数等于它前面两个斐波那契数之和
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        // 返回计算得到的第n个斐波那契数
        return dp[n];
    }
};

Java：

class Solution {
    // 定义一个公共方法fib，用于计算斐波那契数列的第n个数字
    public int fib(int n) {
        // 如果n为0，根据斐波那契数列的定义，返回0
        if (n == 0) return 0;

        // 创建一个长度为n+1的数组dp，用于存储斐波那契数列中从第0个到第n个数字
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 初始化斐波那契数列的前两个值
        dp[0] = 0; // 根据定义，斐波那契数列的第0个数字是0
        dp[1] = 1; // 根据定义，斐波那契数列的第1个数字是1

        // 从第2个数字开始，利用动态规划的思想计算每个斐波那契数
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 当前位置的斐波那契数等于前两个斐波那契数之和
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        // 返回斐波那契数列的第n个数字
        return dp[n];
    }
}

Python：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        # 如果n为0，根据斐波那契数列的定义，返回0
        if n == 0:
            return 0
        
        # 初始化dp列表，使用列表推导式来创建一个包含n+1个元素的列表，所有元素初始值都为0
        dp = [0] * (n + 1)

        # 根据斐波那契数列的定义，设置dp[0]和dp[1]的值
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 从第2个数字开始，使用动态规划计算斐波那契数列中的每一个数字
        for i in range(2, n + 1):
            # 当前位置的斐波那契数等于前两个斐波那契数之和
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

        # 返回斐波那契数列的第n个数字
        return dp[n]

C：

int fib(int n) {
    // 如果n为0，根据斐波那契数列的定义，返回0
    if(n == 0) return 0;

    // 创建一个大小为n+1的数组dp，用于存储斐波那契数列中从第0个到第n个数字
    int dp[n + 1];

    // 初始化斐波那契数列的前两个值
    dp[0] = 0; // 第0个数字是0
    dp[1] = 1; // 第1个数字是1

    // 从第2个数字开始，使用动态规划计算斐波那契数列中的每一个数字
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        // 当前位置的斐波那契数等于前两个斐波那契数之和
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    // 返回斐波那契数列的第n个数字
    return dp[n];
}