集合基本概念

集合

1、集合与元素

集合：由一个或多个确定的元素所构成的整体，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。

元素：构成集合的这些对象则称为该集合的元素。

例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。

例如，{1,3,5}是一个集合，3是该集合的元素。

2、空集

有一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集，记为∅。

3、全集

一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

4、集合中元素的特性

(1)确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

(2)互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

(3)无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。

5、元素与集合的关系

(1)属于

如果元素a在集合A中，就说a属于A，记作a∈A。例如：3∈{1,3,5}。

(2)不属于

如果元素a不在集合A中，就说a不属于A，记作a∉A。例如：2∉{1,3,5}。

6、集合间的基本关系

(1)子集与真子集

设S，T是两个集合，如果S的所有元素都属于T ，即x∈S ⇒x∈T，则称S是T的子集，记为 S⊆T（读作S含于T)。

显然，对任何集合S，都有S⊆S,∅⊆S。 其中，符号⊆读作包含于，表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素。

如果S是T的一个子集，即S⊆T ，但在T中存在一个元素x不属于S ，则称S是T的一个真子集。

空集∅是任意一个非空集合的真子集，空集是任何一个集合的子集。

(2)交集

交集由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

例如：A={1,3,5},B={2,3,6},则A∩B = {3}。

(3)并集

并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

例如：A={1,3,5},B={2,3,6},则A∪B = {1,2,3,5,6}。

(4) 补集

补集又可分为相对补集和绝对补集。

相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B}。