浮点数的运算步骤
浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断
所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为，当进行 $ M_{x} \times 2^{E_{x}}$与 $ M_{y} \times 2^ {E_{y}} $ 加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进行尾数的加减运算。对阶的具体方法是：首先求出两浮点数阶码的差，即 \(\Delta E = E_{x} - E_{y}\) ，将小阶码加上⊿E，使之与大阶码相等，同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。几点注意：
-
对阶的原则是小阶对大阶，之所以这样做是因为若大阶对小阶，则尾数的数值部分的高位需移出，而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更小。
-
若⊿E＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，无需再做对阶操作了。
-
采用补码表示的尾数右移时，符号位保持不变。
-
由于尾数右移时是将最低位移出，会损失一定的精度，为减少误差，可先保留若干移出的位，供以后舍入处理用。
尾数运算
尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。
结果规格化
在机器中，为保证浮点数表示的唯一性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。
规格化操作包括左规和右规两种情况。
左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。例如，浮点数0.0011·25是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.1100·22规格化形式了。
右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.0011·25右规一位后便成为1.00011·26的规格化形式了。
舍入处理
浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。
IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法：
-
就近舍入（round to nearest）这是标准列出的默认舍入方式，其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如，对于32位单精度浮点数来说，若超出可保存的23位的多余位大于等于100…01，则多余位的值超过了最低可表示位值的一半，这种情况下，舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1；若多余位小于等于011…11，则直接舍去；若多余位为100…00，此时再判断尾数的最低有效位的值，若为0则直接舍去，若为1则再加1。
-
朝+∞舍入（round toward +∞）对正数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1；对负数来说，则是简单地舍去。
-
朝-∞舍入（round toward -∞）与朝+∞舍入方法正好相反，对正数来说，只是简单地舍去；对负数来说，只要多余位不为全0，则向尾数最低有效位进1。
-
朝0舍入（round toward 0）即简单地截断舍去，而不管多余位是什么值。这种方法实现简单，但容易形成累积误差，且舍入处理后的值总是向下偏差。
溢出判断
与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。
要注意的是，浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的，定点数的表示范围是连续的，而浮点数的表示范围可能是不连续的。
例子
float a=0.3;b=1.6;
\(a=(0.3)_{10}=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)_{2}, S_{a}=0, E_{a}=011 1110 1, M_{a}=1.001 1001 1001 1001 1001 1010\)
\(b=(1.6)_{10}=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)_{2}, S_{b}=0 , E_{b}=011 1111 1 ,M_{b}=1.100 1100 1100 1100 1100 1101\)
a+b=?
第一步：对阶
∵ Ea<Eb Eb-Ea=2
∴ Ma要调整为 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10
E=011 1111 1
第二步：尾数运算
0.01001100110011001100110
+ 1.10011001100110011001101
1.11100110011001100110011
注意，这一步需要让隐含位参与运算。
第三步：规格化
1.11100110011001100110011已经是个规格化数据了
第四步：舍入处理
由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100
第五步：溢出判断
没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为
a+b=(0 01111111 11100110011001100110100)2=(0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100)2=(3FF33334)16
转为10进制
a+b=1.90000010
b-a=?
第一步：对阶
跟上面加法一样
第二步：尾数运算
1.10011001100110011001101
- 0.01001100110011001100110
1.01001100110011001100111
这里要让隐含位参与运算，按照原码的减法运算规则进行运算即可
第三步：规格化
1.01001100110011001100111已经是个规格化数据了
第四步：舍入处理
由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.01001100110011001100110
第五步：溢出判断
没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为
a-b=(0 01111111 01001100110011001100110)2=(0011 1111 1010 0110 0110 0110 0110 0110)2=(3FA66666)16
转为10进制
a-b=1.29999995
浮点运算加法器逻辑电路
