插值方法笔记
插值法简介
插值法的目标是通过已知的离散数据点，构造一个连续函数来估计未知点的值。在实际应用中，随着数据点的增加或问题的复杂化，插值方法也逐步演进。
1. 泰勒插值（Taylor Interpolation）：局部展开的尝试
泰勒插值基于函数在某一点的导数信息进行展开，适合在该点附近做局部插值。
核心公式：
\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]优缺点：
- 优点：适合局部插值，尤其是函数在某一点附近的估值。
- 缺点：当远离展开点时，误差急剧增加。
泰勒插值的局限性在于它仅适用于局部插值。为了解决全局插值问题，引入了拉格朗日插值。
2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：全局插值的第一步
拉格朗日插值通过构造一个通过所有已知数据点的全局多项式，解决了泰勒插值只局部适用的问题。
核心公式：
\[P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x) \]其中，
\[L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]线性插值与抛物线插值
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线性插值（Linear Interpolation）：在只有两个已知点时，拉格朗日插值简化为线性插值，其形式为：
\[P(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \] -
抛物线插值（Parabolic Interpolation）：当有三个已知点时，插值多项式是二次的，插值曲线是一条抛物线。这个时候，拉格朗日插值的多项式形式为：
\[P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) \]其中，
\[L_0(x), L_1(x), L_2(x) \]是拉格朗日基函数。
优缺点：
- 优点：适用于全局插值，确保在每个已知点上精确取值。
- 缺点：随着数据点增加，计算复杂度增加，且可能出现数值不稳定（例如Runge现象）。
拉格朗日插值的复杂性和不稳定性使得我们需要更加灵活的方法，于是引入了牛顿插值。
3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：灵活且增量更新
牛顿插值通过差商（divided differences）来计算插值多项式的系数，并通过增量方式动态添加新数据点。
差商概念
差商是牛顿插值的核心概念，用来计算多项式中的系数。对于给定的一组已知点
\[(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n) \]其差商的定义如下：
- 一阶差商：\[f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \]
- 二阶差商：\[f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} \]
依此类推，可以计算更高阶的差商。
牛顿插值公式
牛顿插值有两种形式，分别是牛顿前插公式（forward interpolation formula）和牛顿后插公式（backward interpolation formula）。
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牛顿前插公式：
\[P(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \cdots \] -
牛顿后插公式：
\[P(x) = f(x_n) + f[x_{n-1}, x_n](x - x_n) + f[x_{n-2}, x_{n-1}, x_n](x - x_n)(x - x_{n-1}) + \cdots \]
优缺点：
- 优点：牛顿插值支持增量更新，适合动态数据的插值计算。
- 缺点：尽管灵活，但在面对高次多项式时仍可能引发数值不稳定性。
牛顿插值提供了灵活性和增量计算，但它仍然是基于多项式的形式。面对高阶插值，尤其是当导数信息已知时，可以引入埃尔米特插值（Hermite Interpolation）。
4. 埃尔米特插值（Hermite Interpolation）：引入导数信息
埃尔米特插值是一种可以利用函数值和其导数信息的插值方法。在某些实际场景中，除了已知点的函数值外，我们可能还知道这些点的导数值，这时埃尔米特插值可以通过同时使用函数值和导数值来构造插值多项式。
核心思想：
埃尔米特插值扩展了拉格朗日插值和牛顿插值的思想，除了插值点的函数值外，还引入了点的导数值，从而在插值点处不仅逼近函数值，还逼近其导数。
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