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1. 从变量引出随机变量
首先，让我们考虑这样一个问题：什么是变量？
变量表示一个不确定的值，例如变量\(x\)，我们不知道 \(x\)的值可以取多少，\(x\)有可能是\(1\)，有可能是\(2\)，有可能是\(0.5\)，总之，\(x\)可以是任意一个值。它的值是不确定的，因此，我们叫它变量。
但是，变量往往是满足一些约束的，我们可以通过这些约束，来反推出变量的值。例如，假设有一个变量\(x\)，它满足这样一个约束：\(x+2= 3\)，由此，我们可以推出\(x=1\)。对于这样的\(x\)，当约束确定的时候，就可以明确的得出\(x\)的值，我们说这样的\(x\)是确定的。
但是在很多时候，即使约束确定下来，我们也不能明确的知道\(x\)的取值。
例如，我们可以抛一次硬币，并且规定：当硬币正面朝上的时候，\(X=1\)；当硬币背面朝上的时候，\(X=0\)。
在抛硬币之前，我们不可能明确知道\(X\)的取值，我们只能说，\(X\)以0.5的概率取到1，以0.5的概率取到0。
对于第一个例子，当约束确定时，\(x\)的取值也就确定了，这样的\(x\)叫变量；
对于第二个例子，当约束确定时，\(X\)依然有多种可能的取值（\(X\)可能为1，可能为0），并且每个取值都对应着一个概率（\(X=1\)的概率是0.5，\(X=0\)的概率是0.5），这样的\(X\)叫做随机变量。
并且，为了避免与传统变量混淆。我们常常把随机变量记作大写的\(X\)。
再来看几个例子：
- 掷一次骰子，如果\(X\)表示骰子的点数，那么在掷骰子之前，\(X\)的取值不能确定，\(X\)以\(\frac 16\)的概率取到\(1,2,.\cdots 6\)中的任何一个值，因此\(X\)是随机变量。
- 对于一个长为1米的绳子，随便切一刀，将绳子分成两段，如果\(X\)表示左边一段的长度，那么在切绳子之前，\(X\)的取值不确定，\(X\)以等可能的概率取到\([0,1]\)之间的任何一个实数，因此\(X\)是随机变量。
- 在街上随机选十个路人，\(X\)表示十个路人中男性的人数，那么在选十个路人之前，\(X\)的取值不确定，可以以一定的概率取到\(0\sim10\)中的任意一个数，因此\(X\)是随机变量。
2. 随机变量的本质
前面，我们把随机变量看作是一种特殊的变量，这种说法其实是不严谨的，严格来说，随机变量是一个函数。它把随机实验（例如抛硬币，掷骰子等）中的每一个可能的结果都映射到一个数值上，这样我们就可以用数字来分析这些结果了。
举个例子：
还是抛一次硬币，我们可以预料到，抛硬币会有两个可能的结果：正面朝上和反面朝上。现在，我们定义一个随机变量\(X\)，使得
\[X(\text{正面朝上})=1\\ X(\text{反面朝上}) =0 \]这样，我们把抛硬币中的两个可能的结果，分别映射到数值1和0上，可以大大方便我们后续的计算。
再举个例子：
我们掷一次骰子，掷骰子会有六个可能的结果：点数为1，点数为2，...，点数为6。现在，我们定义一个随机变量\(X\)，使得
\[X(\text{点数为1}) = 1\\ X(\text{点数为2}) = 2\\ X(\text{点数为3}) = 3\\ X(\text{点数为4}) = 4\\ X(\text{点数为5}) = 5\\ X(\text{点数为6}) = 6\\ \]同样的，我们把掷骰子中的六种可能的结果映射到数字上，方便后续计算。
3. 总结
既然随机变量的本质是函数，为什么最一开始的时候把随机变量当作是一种特殊的变量呢？
这是因为，在后续的学习中，我们会对随机变量做很多的操作，例如求期望，求方差，求分布等。这时候，如果将随机变量看成是一种函数，那么理解的难度会大大提高，但如果将随机变量看成是一种变量，那么就会很容易理解。
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