01-函数、极限、连续性、导数

为了加深在人工智能、深度学习领域的学习，接下来会推出数学基础系列博客，加深自己在这领域的基础知识。

一、函数

1、函数的定义

函数表示量与量之间的关系如：A=πr2A=πr2。更普遍的是用y=f(x)y=f(x)表示，其中x表示自变量，y表示因变量。函数在x₀处取得的函数值y0=y∣x=x0=f(x0)y0=y∣x=x0=f(x0)。值得一提的是，符号只是一种表示，也可以用其他符号来表示，比如：y=g(x)y=g(x)、y=φ(x)y=φ(x)、y=ψ(x)y=ψ(x)等。

2、常用函数形式

分段函数：f(x)={√x,x⩾0−x,x<0f(x)={x,x⩾0−x,x<0

反函数：h=12gt2→h=h(t)→t=√2hg→t=t(h)h=12gt2→h=h(t)→t=2hg→t=t(h)

显函数：y=x2+1y=x2+1

隐函数：F(x,y)=0F(x,y)=0，3x+y−4=03x+y−4=0

3、函数特点

奇函数：相对于原点对称的函数f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)，如f(x)=x3f(x)=x3，代入计算可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)。

偶函数：相当于Y轴对称的函数f(−x)=f(x)f(−x)=f(x)，如f(x)=x2f(x)=x2，代入计算可得f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(−x)=(−x)2=x2=f(x)。

周期函数：经过一个周期T的变化函数值仍相等f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)，如常见的三角函数等。

单调性：分为单调递增函数和单调递减函数。

二、极限

1、数列

通俗的讲就是一列有序的数：u1,u2,...,un,...u1,u2,...,un,...，其中unun叫做通项。对于数列{un}{un}，如果当n无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限或称数列收敛于A，否则称数列为发散。limn→∞un=Alimn→∞un=A，或un→A(n→∞)un→A(n→∞)，limn→∞13n=0limn→∞13n=0，limn→∞nn+1=1limn→∞nn+1=1，limn→∞2nlimn→∞2n不存在。

2、极限

符号表示：

x→∞x→∞表示“当|x|无限增大时” ，

x→+∞x→+∞表示“当x无限增大时” ，

x→−∞x→−∞表示“当x无限减少时” ，

x→x0x→x0表示“当x从x₀的左右两侧无限接近于x₀时” ，

x→x+0x→x0+表示“当x从x₀的右侧无限接近于x₀时” ，

x→x−0x→x0−表示“当x从x₀的左侧无限接近于x₀时” ，

下面用几个示例图形象地表示极限

3、定义

函数在x₀的邻域内有定义，有limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A，或f(x)→A(x−x0)f(x)→A(x−x0)。例如limx→1x2−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)x−1=2limx→1x2−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)x−1=2

4、左右极限

函数在左半邻域/右半邻域内有定义(x0,x0+δ),(x0−δ,x0)(x0,x0+δ),(x0−δ,x0)，有

limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A的充要条件是limx→x−0f(x)=limx→x+0f(x)=Alimx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A

有以下例题，求f(x)f(x)的极限

f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x−1x<00x=0x+1x>0f(x)={x−1x<00x=0x+1x>0

求解可得，当x->0时，f(x)的极限limx→x+0f(x)=limx→x+0(x+1)=1limx→x0+f(x)=limx→x0+(x+1)=1，limx→x−0f(x)=limx→x−0(x−1)=−1limx→x0−f(x)=limx→x0−(x−1)=−1。左右极限存在但不相等，所以f(x)在x->0时极限不存在。

5、极限性质

无穷小：以零为极限，如函数limx→∞1x=0limx→∞1x=0，1x1x是x→∞x→∞时的无穷小。limx→2(3x−6)=0limx→2(3x−6)=0，3x−63x−6是x→2x→2时的无穷小。

基本性质：

1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

2.有限个无穷小的积仍是无穷小。

3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小。

4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

5.无穷小的商不一定是无穷小。limx→0x2x=12,limx→0x22x=0,limx→02xx2=∞limx→0x2x=12,limx→0x22x=0,limx→02xx2=∞

6.极限有无限小的关系：limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A的充要条件是f(x)=A+α(x)f(x)=A+α(x)，其中α(x)α(x)是x→x0x→x0时的无穷小。

7.无穷大：并不是一个很大的数，是相对于变换过程来说。limx→x0f(x)=∞limx→x0f(x)=∞或f(x)→∞(x→x0)f(x)→∞(x→x0)。

8.无穷小和无穷大的关系：在自变量的变换的同一过程中，如果f(x)为无穷大，那么1f(x)1f(x)为无穷小。

9.无穷小的比较：α=α(x),β=β(x)α=α(x),β=β(x)都是无穷小，limx→x0α(x)=0,limx→x0β(x)=0limx→x0α(x)=0,limx→x0β(x)=0。有如下比较。

三、连续性

1、函数的连续性

设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量ΔxΔx趋近于0时，相应函数的改变量ΔyΔy也趋近于0，则称y=f(x)在点x₀处连续。

函数的连续性，函数f(x)在点x₀处连续，需要满足的条件：1、函数在该点有定义。2、函数在该点极限limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在。3、极限值等于函数值f(x₀)

例题，函数f(x)={x+1x⩽0sinxxx>0f(x)={x+1x⩽0sin⁡xxx>0在x=0处的连续性？

解：判断左右界限是否存在且先等。如下图所示

2、函数的间断点

函数f(x)在点x=x₀处不连续，则称其为函数的间断点。一共三种情况为间断点：1、函数f(x)在点x₀处没有定义。2、函数在该点极限limx→x0f(x)limx→x0f(x)不存在。3、满足前两点，但是limx→x0f(x)≠f(x)limx→x0f(x)≠f(x)。

当x->x₀时，f(x)的左右极限存在，则称x₀为f(x)的第一类间断点，第一类间断点分为跳跃间断点和可去间断点，否则为第二类间断点。

跳跃间断点：limx→0−f(x)limx→0−f(x)与limx→0−f(x)limx→0−f(x)均存在，但不相等。

可去间断点：limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在但不等于f(x0)f(x0)。

3、例题

函数f(x)=x2−1x2−3x+2f(x)=x2−1x2−3x+2的连续性？ 

四、导数

平均速度很好表示，如v=s/t，但是如何表示瞬时速度呢？

瞬时经过路程：Δs=s(t0+Δt)−s(t0)Δs=s(t0+Δt)−s(t0)

这一小段的平均路程：¯v=ΔsΔt=s(t0+Δt)−s(t0)Δtv¯=ΔsΔt=s(t0+Δt)−s(t0)Δt

当Δt→0Δt→0时也就是瞬时速度了，v(t0)=limΔt→0¯v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s(t0+Δt)−s(t0)Δtv(t0)=limΔt→0v¯=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s(t0+Δt)−s(t0)Δt。

导数：如果平均变化率的极限存在， limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)ΔxlimΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx，则称此极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)。y′∣x=x0,dydx∣x=x0y′∣x=x0,dydx∣x=x0或df(x)dx∣x=x0df(x)dx∣x=x0。

下面列出常见函数的导数。

下面列出导数的运算法则（最后一条不经常用）：

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