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10.10学习笔记

时间：2024-10-10 19:48:12浏览次数：9  
标签：概率 试验 发生 笔记 学习 互斥 样本空间 事件 10.10

事件概率

1.事件

事件是指在某个试验或观察中可能发生的结果或结果的集合。是样本空间的一个子集，可以包含一个或多个样本点，也可以是整个样本空间。事件用大写字母，如 A，B，C 等表示。

1.1 概念

1.1.1基本事件

基本事件是指试验中不可再分的最简单的事件。每个基本事件代表一个单一的可能结果。

例子：

  • 抛一枚硬币：基本事件是“正面”和“反面”。

  • 掷一个六面骰子：基本事件是“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。

1.1.2 复合事件

复合事件是由多个基本事件组合而成的事件。复合事件代表多个可能结果的集合。

例子：

  • 抛两枚硬币：复合事件可以是“至少一个正面”，这个事件包含“正面-正面”、“正面-反面”和“反面-正面”三个基本事件。

  • 掷一个六面骰子：复合事件可以是“点数大于3”，这个事件包含“4点”、“5点”和“6点”三个基本事件。

1.1.3 必然事件

必然事件是指在试验中一定会发生的事件。必然事件的概率为1。在样本空间中，必然事件包括了样本空间中的所有样本点。

例子：

  • 掷一个六面骰子：“点数在1到6之间”是一个必然事件。

1.1.4 不可能事件

不可能事件是指在试验中绝对不会发生的事件。不可能事件的概率为0。通常用∅表示。

例子：

  • 掷一个六面骰子：“点数大于6”是一个不可能事件。

1.1.5 样本空间

样本空间是指试验中所有可能结果的集合。样本空间通常用大写字母 Ω 表示。

例子：

  • 抛一枚硬币：样本空间 Ω={正面,反面}。

  • 掷一个六面骰子：样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6}。

1.1.6 样本点

样本点是指样本空间中的每一个元素，即每一个可能的结果。样本点通常用小写字母ω表示。

例子：

  • 抛一枚硬币：样本点是“正面”和“反面”。

  • 掷一个六面骰子：样本点是“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。

注：必然事件和样本空间可以被视为等价的，但理论上它们是不同的概念。必然事件是事件的一个实例，而样本空间是定义这些事件的基础集合。

1.2 事件间的关系

1.2.1 包含关系

包含关系是指一个事件是另一个事件的子集。如果事件 A 包含在事件 B 中，那么 A 发生时，B 必然发生，即：A⊆B

1.2.2 并集

并事件是指两个或多个事件中至少有一个事件发生的情况。事件 A 和事件 B 的并事件记作 A∪B或A+B，表示 A 或 B 发生。

1.2.3 交集

交事件是指两个或多个事件同时发生的情况。事件A 和事件 B 的交事件记作 A∩B或AB，表示 A 和 B 同时发生。

1.2.4 差集

如果事件 A 发生而事件 B 不发生，则表示这些事件的差集发生了。即将事件A中的A和B的公共部分去掉。事件 A 和 B 的差集表示为 A−B

A-B=A-A\cap B

1.2.5 互斥事件

互斥事件是指两个事件不能同时发生。如果事件A 和事件 B 是互斥事件，那么 A 和 B 的交集为空集，即：A\cap B= \varnothing

例子：

  • 抛一枚硬币：事件“正面”和事件“反面”是互斥事件。

  • 掷一个六面骰子：事件“点数为1”和事件“点数为2”是互斥事件。

1.2.6 对立事件

对立事件是指两个事件互为对立，即一个事件发生时，另一个事件必然不发生。如果事件 A 和事件 B 是对立事件，那么 A 和 B 的并集是样本空间，且 A 和 B 的交集为空集，即：

A+B=\Omega  且  AB=\varnothing

通常，事件 A 的对立事件记作 A^{c}  或  \bar{A}

例子：

  • 抛一枚硬币：事件“正面”和事件“反面”是对立事件。

  • 掷一个六面骰子：事件“点数为1”和事件“点数不为1”是对立事件。

互斥和对立事件的区别：

1.两个事件对立，则一定是互斥事件

2.互斥事件适用于多个事件，对立适用于两个事件

3.互斥事件，A和B不能同时发生，也可以都不发生；对立事件有且只有一个发生。

1.2.7 完备事件组

是一组事件，它们满足以下两个条件：

  1. 互斥性：完备事件组中的任意两个事件不能同时发生。也就是说，这些事件两两互斥。

  2. 完备性：完备事件组中的事件涵盖了样本空间中所有可能的结果，并且至少有一个事件必然发生。换句话说，这些事件的并集是整个样本空间，且它们的并集是必然事件。

用数学术语来说，如果有一个样本空间 Ω 和一个事件集合 {A1,A2,...,An}，那么这个事件集合是完备的。

  • 互斥性:   A_{i}\cap A_{j}=\varnothing\: \: (i \neq j)

  • 完备性: \bigcup _{i=1}^{n} A_i=\Omega

例子：

假设我们掷一个公平的六面骰子，样本空间是 Ω={1,2,3,4,5,6}。

  • {1,2,3,4,5,6}是一个完备事件组。

  • 这些事件两两互斥，并且它们的并集包含了所有可能的结果，即整个样本空间。

1.3 运算律

1.3.1 交换律

交换律是指事件的并集和交集运算满足交换性，即运算的顺序不影响结果。

  • 并集的交换律：

    A\cup B=B\cup A

  • 交集的交换律：

    A\cap B=B\cap A

1.3.2 结合律

结合律是指事件的并集和交集运算满足结合性，即多个事件的运算顺序不影响结果。

  • 并集的结合律：

    (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)

  • 交集的结合律：

    (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)

1.3.3 分配律

分配律是指事件的并集和交集运算满足分配性，即一个运算对另一个运算的分配关系。

  • 并集对交集的分配律：

    A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

  • 交集对并集的分配律：

    A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

1.4.4 对偶律

对偶律是指事件的补集运算的对偶关系，即并集的补集和交集的补集之间的关系。

  • 第一对偶律：

    \overline{(A \cup B)}=\overline{A}\cap \overline{B}

  • 第二对偶律：

    \overline{(A \cap B)}=\overline{A}\cup \overline{B}

2.概率

2.1 定义

对于一个事件 A，其概率 P(A) 定义为：

2.2 古典模型

古典概率模型，也称为古典模型或等可能模型，是一种概率论中用于计算随机事件发生概率的方法。它基于以下假设：

  1. 有限性：样本空间是有限的，即所有可能的结果可以被列举出来。

  2. 等可能性：样本空间中的每个基本事件（样本点）出现的可能性是相等的。

在古典模型中，一个事件的概率可以通过以下公式计算：

古典模型的步骤：

  1. 确定样本空间：列出随机试验所有可能的结果。

  2. 计数：计算样本空间中基本事件的总数。

  3. 识别事件：确定事件 A 包含的基本事件数。

  4. 计算概率：使用上述公式计算事件 A 的概率。

2.3 排列

排列的定义

给定一个包含 n 个元素的集合，从中选择 r 个不同元素（r≤n）进行排列，意味着这 r 个元素的顺序是重要的。

排列的符号

排列通常用 P(n,r) 表示。

排列的公式

排列数的计算公式是：

P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

2.4 组合

组合的定义

给定一个包含 n 个元素的集合，从中选择 r 个不同元素 (r\leqslant n) 进行组合，意味着这 r 个元素的顺序并不重要。

组合的符号

组合通常用C(n,r)或\binom{n}{r}表示。

组合的公式

组合数的计算公式是：

C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}

组合的性质

  • 对称性：C(n,r)=C(n,n-r)

  • 边界条件：C(n,0)=C(n,n)=1

2.5 几何概型

几何概型是概率论中的一个基本概念，它用于处理那些结果可以被表示为几何区域（如线段、平面区域、立体区域等）的随机试验的概率问题。几何概型的基本思想是将概率问题转化为几何区域上的面积、体积或长度等几何量的比值。

几何概型的计算：

几何概型的概率可以通过以下步骤计算：

  1. 确定样本空间：首先确定样本空间的几何区域，比如长度、面积或体积。

  2. 度量样本空间：计算样本空间的度量，比如长度、面积或体积。

  3. 确定事件区域：确定事件对应的几何区域，并计算其度量。

  4. 计算概率：事件的概率等于事件区域的度量除以样本空间的度量。

几何概型的公式：

如果事件 A 对应的几何区域的度量为 m(A)，样本空间 Ω 的度量为 m(Ω)，则 A 的概率 P(A)为：

P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}

2.6 频率

  1. 定义：频率是一个经验概念，它通过实际观察或实验来确定。频率是某个事件在一系列重复实验中发生的次数与总实验次数之比。

  2. 性质：频率的值可以是任何非负实数，包括0（事件一次也没发生）和任意正数（事件多次发生）。

  3. 计算：频率是通过实际计数得到的，例如，如果一个事件发生了 m 次，在 n次独立的重复实验中，其频率为 mn。

  4. 不确定性：频率是随机的，它随着实验次数的增加而波动，但根据大数定律，当实验次数足够多时，频率会趋近于概率。

概率与频率的关系

  • 大数定律：随着实验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。

  • 长期稳定性：在大量重复实验中，频率的稳定性可以作为概率的一个估计。

  • 经验估计：在没有理论模型的情况下，可以通过频率来估计概率。

2.7 基本性质

  • 非负性：对于任意事件 A，有 P(A)\geq 0。

  • 规范性：必然事件的概率为1，即   P(\Omega )=1。

  • 可加性：对于互斥事件 A 和 B，有  P(A+B)=P(A)+P(B)。

性质1：

P(\varnothing )=0

性质2：

P(\overline{A})=1-P(A)

性质3：

P(A-B)=P(A)-P(AB)

性质4：

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

2.8 条件概率

条件概率用于描述在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。条件概率通常表示为 P(A∣B)，读作“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率”。

定义

设Ω为样本空间， A和 B 是两个事件，且 P(B)>0。事件 A 在事件 B 发生的条件下的条件概率 P(A∣B) 定义为：

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

乘法公式

P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)

2.9 全概率公式

假设事件 A1,A2,...,An 是样本空间 Ω 的一个完备事件组，即这些事件两两互斥，并且它们的并集是整个样本空间。如果我们想计算事件 B 的概率，可以使用全概率公式：

P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+...+P(B|A_n)P(A_n)

即

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)

计算某一事件的总概率，通过将其分解为多个互斥事件的条件概率之和。

2.10 贝叶斯公式

贝叶斯公式描述了在已知其他条件概率的情况下，一个条件概率的计算方法。贝叶斯公式是逆概率理论的核心，它允许我们根据已知的某些概率来更新我们对另一个概率的信念。

例如：感冒、肺炎、白血病的症状都是发烧，在已知病人发烧的情况下，来推理病人发病的原因。可以把感冒、肺炎、白血病理解为原因，发烧是导致的结果，由已知结果推理原因的方法就是贝叶斯公式的核心理论。

定义

如果事件 B1,B2,...,Bn是样本空间 Ω 的一个完备事件组，即这些事件两两互斥且它们的并集是整个样本空间，那么对于任意事件 A，贝叶斯公式可以表示为：

P(B_i|A)=\frac{P(B_i|A)P(B_i)}{P(A)}=\frac{P(AB_i)}{P(A)}

其中：

  • P(Bi∣A) 是在事件 A 发生的条件下事件 Bi发生的条件概率(后验概率)。

  • P(A∣Bi)是在事件 Bi发生的条件下事件 A 发生的条件概率(似然度)。

  • P(Bi)是事件 Bi发生的边缘概率(先验概率)。

  • P(A)是事件 A 发生的边缘概率(先验概率)，可以通过全概率公式计算得出：

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)

2.11 事件独立性

如果两个事件是独立的，那么一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。

条件概率与独立性

如果事件 A 和事件 B 是独立的，那么事件 A 在事件 B 发生的条件下的条件概率 P(A∣B)等于事件 A 的先验概率 P(A)：

P(A|B)=P(A)

同理

P(B|A)=P(B)

由条件概率公式可知：

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=P(A)\, \Rightarrow\, P(AB)=P(A)P(B)

定义

设 A和 B 是两个事件。如果满足以下条件，则称事件 A 和事件 B 是独立的：

P(AB)=P(A)P(B)

独立性的性质

  1. 对称性：如果 A 和 B 独立，那么 B 和 A 也独立。

  2. 传递性：如果 A 与 B 独立，且 B 与 C 独立，那么 A 与 C 独立（仅当这些事件的联合概率分布是乘性的）。

  3. 零概率事件：任何事件与零概率事件(P(A)=0)总是独立的。

  4. 对立事件：如果 A 与 B 独立，那么 A 与其对立事件 \overline{B} 也独立。

A、B独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)

2.12伯努利模型

伯努利模型是一种基础的概率模型，它描述了一个随机试验只有两种可能结果的情况：成功或失败。在伯努利模型中，每次试验只有两个

可能的结果，通常称为成功和失败。这些结果用事件S和事件F来表示，其中S表示成功，F表示失败。伯努利模型的关键特点是每次试验的

结果是相互独立的，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，并且这些概率对于

每次试验都保持不变。

伯努利模型在概率论、统计学和随机过程等领域中都有重要的应用。例如，在统计学中，可以使用伯努利模型来建立二元数据的模型，比

如用户是否购买产品、是否点击广告等。在风险分析中，伯努利模型可以用来描述某种事件的发生与否，比如是否发生事故、是否发生自

然灾害等。在金融数学中，伯努利模型可以用来模拟股票价格的上涨和下跌情况。

前置概念

  1. 伯努利试验：

    • 伯努利试验是一种特殊类型的随机试验，其结果只有两种可能：成功或失败。

    • 伯努利试验的结果是二元的，通常用1表示成功，用0表示失败。

  2. n重伯努利试验：

    • n重伯努利试验是指伯努利试验重复进行n次，每次试验都是独立的。

    • 在n重伯努利试验中，每次试验的成功概率相同，通常用p表示，失败概率为1-p。

定义

设试验成功的概率为 p(0<p<1)，失败的概率为 1−p，如果在n重伯努利实验中，成功k次的概率参数为 p 的伯努利分布。

伯努利分布的概率质量函数（PMF）为：

P_n(k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}

其中，k 是成功的次数， C_{n}^{k} 是组合数，表示从n次试验中选择k次成功的不同方式。

上述公式也叫做二项概率公式。

该公式可以用于二项式的展开公式，如：

(a+b)^n

如果用二项概率公式展开：

(a+b)^n=C_n^na^n+C_n^{n-1}a^{n-1}b+C_n^{n-2}a^{n-2}b^2+...+C_n^0b^n

标签：概率,试验,发生,笔记,学习,互斥,样本空间,事件,10.10
From： https://blog.csdn.net/Aurora_Cruiser/article/details/142814718

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