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24.10.07

时间:2024-10-07 22:02:56浏览次数:6  
标签:le 07 int max 宠物 24.10 克制 转移

A

质朴的想法,每一行都放 ryxyryx...,然后因为有 \(40\) 列所以最后一列完全没用,所以把那一行竖着放进去,算一下有 \(2223\) 个。

然后枚举填多少行,如果数量多了就在最后一行选一个位置插入字符(这样后面就没有斜着的贡献了)。还多就从后往前覆盖 y。然后总可以构造出来。

B

5k 翻译版题面:

同学的策略形如 \(\{p_n\}\),其中 \(p_i\) 表示救 \(i\) 房间里的人的概率,而且显然有 \(0\le p_i\le 1,\sum p_i\le 1\)。
求最小的 \(m\),使得存在一种同学的策略,满足无论老师刀哪个房间的人,刀掉的期望人数都不超过 \(m\)。

学生选 \(i\) 的概率是 \(p_i\)。那么老师选 \(i\) 的期望人数是 \((1-p_i)a_i\)。

二分答案,学生要使老师选任何房间的期望都 \(\le mid\),如果 \(a_i > mid\),学生需要分配一个概率使 \((1-p_i)a_i\) 恰好等于 \(mid\)。最后合法的要求是 \(\sum_{i=1}^n p_i \le 1\)。

C

考虑给你一个排列 \(p\),如何快速计算所有的 \(F\)。可以将所有 \(p\) 按从大到小的顺序加入,那么假设加入了 \(\ge k\) 的 \(p\) 后最大连续段长度为 \(L\),我们令 \(F(L), F(L - 1),\dots F(1)\) 都对 \(k\) 进行 chkmax 即可。

反过来,如果有了 \(F\),那么相当于一些限制条件:加入了所有 \(\ge k\) 的 \(p\) 后,最大连续段长度恰好为 \(L\)。考虑逆向操作,即删除 \(< k\) 的 \(p\)(从小往大删除)。维护当前的连续段情况,每次即选择一条连续段裂开,长度减一。这样做的好处是连续段之间不作区分,可以排序,总状态数即为划分数。直接 DP 即可。

D

省集原神。

感觉省集题面亲民多了。

省集:

有 \(n\) 个宠物在进行宠物对战,每只宠物是水(\(A\))、火(\(B\))、佬(\(C\))、菜(\(D\))四种属性之一。宠物分别编号为 \(1\) 到 \(n\)。

属性克制关系如下:

- “水”和“火”互相克制

- “佬”分别克制“水”“火”“菜”三种属性

- “佬”“水”“火”三种属性都克制“菜”

- 其它上述没有提到的都不克制

很显然,这是个极度不平衡的游戏,所以大家两两对战若干场之后就再也没人玩了,只留下了一份比赛中克制关系的记录。

现在你拿到了这份残缺不全的记录,也就是 \(n\) 只宠物之间一部分对战场次的克制关系。你想要从中恢复这 \(n\) 只宠物各自的属性信息,不过因为符合条件的属性信息可能有多种,你只需要输出任意一种解即可。

第一行两个非负整数 \(n,m\) 依次表示宠物个数和已知的克制关系条数。

接下来 \(m\) 行每行三个整数 \(x,y,z\) 表示一条记录。其中 \(z=0\) 表示已知 \(x\) 号不克制 \(y\) 号,\(z=1\) 表示已知 \(x\) 号克制 \(y\) 号。


形式化题面:

给定一个 0/1 权有向图,给每个点赋权 ABCD 中的一个使每条有向边 \((u,v,w)\) 都满足 \(w=1 \Leftrightarrow (a_u, a_v) \in \{(A.B),(A,D), (B,A), (B,D), (C,A), (C,B),(C,D)\}\)。

发现佬和菜是很强的,如果一个点能填佬菜那么填上不会亏。

填完佬菜就是平凡染色问题了。

考虑怎么填佬菜。0 边的反图和 1 边的图是相似的,但是 1 边的图限制更强,0 边的反图可以相等,1 边图不行。

考虑 0 边的反图和 1 边的图,一个点可以填佬当且仅当在两个图里没有入度,但是 0 边可以相等,所以对 0 边反图缩点之后拓扑,对于当前没有入度的强连通分量,里面的每一个点在 1 边图都没有入度,那么这个连通分量都可以是佬。

菜是类似的,要求没有出度。


P6764

P6764 [APIO2020] 粉刷墙壁

观察数据范围:令 \(f(k)\) 表示喜欢第 \(k\) 种颜色的承包商数量,\(\sum f(k)^2\le400000\)。

小啊,很小啊(

设 \(f_{i, j}\) 表示在 \(i\) 让 \(j\) 承包商开始刷最远刷多远。那么 \(f_{i, j} = f_{i + 1,(j + 1)\bmod m} + 1\)。

然后枚举对每个 \(i\) 只枚举喜欢 \(C_i\) 的承包商,然后用滚动数组优化。根据数据范围时间复杂度可以接受。

然后对于每个 \(i\),如果存在一个 \(j\) 使得 \(f_{i, j} \ge m\) 那么这个起点就是合法的。

知道哪些起点合法就是简单贪心了。

P3354

P3354 [IOI2005] Riv 河流

根据树形 dp 经典讨论,肯定有一维是 \(x\),有一维表示子树内建了 \(k\) 个厂,0/1 表示根是否建厂。

但是这些状态不太能算花费,如果在 \(x\) 建厂时结算。把运费放状态里更是扯淡。

所以考虑在出发时就把终点定好。

设 \(f_{x, u, i, 0/1}\) 表示考虑到 \(x\) 点子树内最近的建厂祖先是 \(u\),子树内一共建了 \(i\) 个厂,\(x\) 是否建厂的最小花费。

由于转移时和最后求答案都不关注根节点的建厂情况,所以可以在处理完 \(x\) 后把 \(1\) 状态统一并入 \(0\) 状态简化转移时的讨论。

现在对于子节点 \(f_{y, u, i, 0}\) 表示子树内最近的目标是 \(u\),建了 \(i\) 个厂的最小花费。

for (int u = x; ~u; u = fa[u]) {
    per(j, k, 0) {
        f[x][u][j][0] += f[y][u][0][0];
        f[x][u][j][1] += f[y][x][0][0];
        rep(l, 0, j) {
            chkmin(f[x][u][j][0], f[x][u][j - l][0] + f[y][u][l][0]);
            chkmin(f[x][u][j][1], f[x][u][j - l][1] + f[y][x][l][0]);
        }
    }
}

最后将 \(1\) 状态并入 \(0\) 状态,注意上面算的时候没有把建在 \(x\) 的厂统计进状态。

for (int u = x; ~u; u = fa[u])
    rep(j, 0, k) {
        f[x][u][j][0] += w[x] * (dis[x] - dis[u]);
        if (j >= 1) chkmin(f[x][u][j][0], f[x][u][j - 1][1]);
	}

P3647

P3647 [APIO2014] 连珠线

换根 dp。

如果指定起始珠子(指定根节点),那么合法蓝线一定是跨 \(fa_x -x-son_x\)。

设 \(f_{x, 0/1}\) 表示 \(x\) 是否是蓝线中点的最大得分。

转移时 \(0\) 的转移平凡,\(1\) 的转移枚举选那个儿子转移最大。

\[f_{x, 0} \gets f_{x, 0} + \max(f_{y, 0}, f_{y, 1} + w(x, y))\\ f_{x, 1} \gets f_{x, 0} + \max(f_{y, 0} + w(x, y) - \max(f_{y, 0}, f_{y, 1} + w(x, y))) \]

现在不指定根,考虑换根,在 \(x\) 成为 \(y\) 的儿子时,首先失去了 \(y\) 子树的贡献,其次如果 \(x\) 有父亲的话还有从父亲转移过来。

\(y\) 减少的贡献一是对 \(f_{x, 0}\) 的贡献,二是如果 \(f_{x, 1}\) 从 \(y\) 转移也不能用了,所以还需记录 \(1\) 的转移的次大值。

在转移时注意 \(1\) 的转移还要和 \(fa_x\) 的贡献取 \(\max\)。

学到一种新的写法,在第一遍 dfs 是处理出 \(x\) 对于每个儿子的 dp 数组和最大值,第二遍 dfs 时可以直接拿来用了。

P3554

P3554 [POI2013] LUK-Triumphal arch

原题面的故事挺有趣的。最坏情况确实可以等价于 B 采取最优决策博弈。

答案显然满足可二分性。考虑如何判断一个 \(k\) 是否合法。

B 采取最优决策显然不会走回头路,那么是一路从根走到叶子。

A 输了也就是 B 在 \(x\) 时 A 未将 \(x\) 的所有儿子染黑。

那么 \(x\) 的儿子数 \(> k\) 时就需要祖先救一下,设 \(f_x\) 表示 \(x\) 子树内需要祖先提前染多少点。

那么 \(f_x = \max(0, soncnt_x - k + \sum f_y)\)。

如果最后 \(f_1 = 0\) 那么 \(k\) 合法,不然不合法。

这套题单里代码最好写的紫,但是想不到。

弦化

经典 subtask 随便绑导致随机部分分。

考到衡中一年前的原题然后被一年前的 int_R5k 踩爆了/kk

考试时一道题开了两个链式前向星四个 vector 吓得我下午在 DP 题里完成了存图的缺省源/jk

namespace GRAPH {
	const int N = 3e5 + 10, M = 3e5 + 10;
	struct Edge {int y, nxt; long long w;};
	struct Graph {
		Edge e[M << 1]; int ly[N], ltp;
		void add(int x, int y, long long w = 0) {e[++ltp] = {y, ly[x], w}; ly[x] = ltp;}

		Edge &operator[](int x) {return e[x];}
	};
}
using GRAPH::Graph;
#define redg(i, e, x, y) for (int i = e.ly[x], y; y = e[i].y, i; i = e[i].nxt)
Graph e;

说到弦化其实我觉得小画家不戴眼镜比戴眼镜好看。

标签:le,07,int,max,宠物,24.10,克制,转移
From: https://www.cnblogs.com/KinNa-Sky/p/18450734

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