题解 QOJ1869【Power Station of Art】/ SS241006B【结论题】
Petrozavodsk Summer 2021. Day 6. XJTU Contest, GP of XJTU
XXII Open Cup named after E.V. Pankratiev, Grand Prix of Xi'an
题目描述
给出一个无向图，每个点有点权 \(a\) 和颜色 \(c\) ，其中颜色只会有红蓝两种。
可以进行若干次操作，每次可以选择一条边 \((u,v)\) 并进行以下操作：
-
交换 \(a_u,a_v\) 。
-
若 \(c_u=c_v\)，则将 \(c_u,c_v\) 同时改变，即若原来是红色则变成蓝色，反之亦然。
给出初始的点权和颜色，以及目标的点权和颜色。
你需要判断能否通过若干次操作使每个点都达到目标。
对于所有数据，\(1 \le \sum n,\sum m\le 10^{5}\) ，点权在 \(1\) 到 \(10^6\) 之间，不包含自环，可能有重边，不保证图连通。
solution
观察到操作等价于：交换 \(a_u, a_v\)，交换 \(c_u, c_v\)，分别翻转 \(c_u, c_v\)。证明从略。至此，本题结束，可以在 \(O(n+m)\) 的时间复杂度内解决。
若原图为二分图，则一个权值要从一部点到另一部点一定伴随着其附带颜色的改变。由于操作可逆，对每个连通块，我们使原图和目标图的所有点全都迁移至左部点，如果此时它们的颜色、权值都对应相同，则可以完成。
若原图不为二分图，则存在奇环，意味着一个权值附带的颜色可以通过控制其是否经过奇环来随意改变。因此只需要对每个连通块，判断原图和目标图的权值集合是否相同即可。
注意需要对每个连通块特判原图红色点个数是否在模 \(2\) 意义下与目标图红色点个数相等。
code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) (void)fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) (void)0
#endif
using LL = long long;
int n, m, w1[1000010], w2[1000010], col[1000010];
char col1[1000010], col2[1000010];
vector<int> g[1000010], V;
bool ef;
void ffl(int u) {
V.push_back(u);
for (int v : g[u]) if (!col[v]) col[v] = 3 - col[u], ffl(v); else if (col[u] != 3 - col[v]) ef = false;
}
int mian() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) g[i].clear(), col[i] = 0;
for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) cin >> u >> v, g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w1[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> col1[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w2[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> col2[i];
for (int rt = 1; rt <= n; rt++) if (!col[rt]) {
col[rt] = 1, ef = true, V.clear(), ffl(rt);
if (ef) {
vector<int> lhs, rhs;
for (int i : V) {
lhs.push_back(w1[i] << 1 | ((col[i] == 1) ^ (col1[i] == 'R')));
rhs.push_back(w2[i] << 1 | ((col[i] == 1) ^ (col2[i] == 'R')));
}
sort(lhs.begin(), lhs.end());
sort(rhs.begin(), rhs.end());
if (lhs != rhs) return 0;
} else {
vector<int> lhs, rhs;
int cnt = 0;
for (int i : V) {
lhs.push_back(w1[i]);
if (col1[i] == 'R') cnt ^= 1;
rhs.push_back(w2[i]);
if (col2[i] == 'R') cnt ^= 1;
}
sort(lhs.begin(), lhs.end());
sort(rhs.begin(), rhs.end());
if (lhs != rhs || cnt) return 0;
}
}
return 1;
}
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifdef NF
freopen("graph.in", "r", stdin);
freopen("graph.out", "w", stdout);
#endif
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endif
int t;
cin >> t;
while (t--) cout << (mian() ? "YES" : "NO") << endl;
return 0;
}