[lnsyoj2378/luoguAT_arc107_d]Number of Multisets

题意

给出两个正整数 \(N,K\)，求有多少有理数集满足以下所有条件

1. 集合有且只有 \(N\) 个元素，并且元素和为 \(K\);
2. 每个元素须可表示为 \(  \frac {1}{2^{i}}\)  $(i\in N) $.

sol

考虑 dp，容易想到记 \(f_{i,j}\) 表示选 \(i\) 个数恰好和为 \(j\)
考虑到会出现诸如 \(\dfrac{1}{2^k}\) 的情况，此时，可以将前缀整体除 \(2\)，由于无视顺序，因此操作等价
即 \(f_{i,j} = f_{i-1,j-1} + f_{i,2\cdot j}\)

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 5005, mod = 998244353;

int f[N][N];
int n, k;

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &k);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = i; j; j -- ) {
            f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1]) % mod;
            if (j * 2 <= i) f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j * 2]) % mod;
        }
    }

    printf("%d\n", f[n][k]);
    return 0;
}