【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】 ⌈ ⌈ ⌈Python机器学习 ⌋ ⌋ ⌋ 机器学习是一门人工智能的分支学科,通过算法和模型让计算机从数据中学习,进行模型训练和优化,做出预测、分类和决策支持。Python成为机器学习的首选语言,依赖于强大的开源库如Scikit-learn、TensorFlow和PyTorch。本专栏介绍机器学习的相关算法以及基于Python的算法实现。
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在上一篇文章聚类中,我们介绍了无监督学习的重要问题之一:聚类问题,并主要讲解了k均值算法。结尾处我们提到,在解决复杂聚类问题时,第一步通常不会直接使用k均值算法,而是会先用其他手段提取数据的有用特征。对于高维复杂数据来说,其不同维度代表的特征可能存在关联,还有可能存在无意义的噪声干扰。因此,无论后续任务是有监督学习还是无监督学习,我们都希望能先从中提取出具有代表性、能最大限度保留数据本身信息的几个特征,从而降低数据维度,简化之后的分析和计算。这一过程通常称为数据降维(dimensionality reduction),同样是无监督学习中的重要问题。本文就来介绍数据降维中最经典的算法——主成分分析(principal component analysis,PCA)。
一、降维
(一)维数灾难
维数灾难(Curse of Dimensionality)通常是指在涉及到向量的计算的问题中,随着维数的增加,计算量呈指数倍增长的一种现象。在很多机器学习问题中,训练集中的每条数据经常伴随着上千、甚至上万个特征。要处理这所有的特征的话,不仅会让训练非常缓慢,还会极大增加搜寻良好解决方案的困难。这个问题就是我们常说的维数灾难。
维数灾难涉及数字分析、抽样、组合、机器学习、数据挖掘和数据库等诸多领域。在机器学习的建模过程中,通常指的是随着特征数量的增多,计算量会变得很大,如特征达到上亿维的话,在进行计算的时候是算不出来的。有的时候,维度太大也会导致机器学习性能的下降,并不是特征维度越大越好,模型的性能会随着特征的增加先上升后下降。
(二)降维概述
1. 什么是降维?
降维(Dimensionality Reduction)是将训练数据中的样本(实例)从高维空间转换到低维空间,该过程与信息论中有损压缩概念密切相关。同时要明白的,不存在完全无损的降维。有很多种算法可以完成对原始数据的降维,在这些方法中,降维是通过对原始数据的线性变换实现的。
2. 为什么要降维
- 高维数据增加了运算的难度。
- 高维使得学习算法的泛化能力变弱(例如,在最近邻分类器中,样本复杂度随着维度成指数增长),维度越高,算法的搜索难度和成本就越大。
- 降维能够增加数据的可读性,利于发掘数据的有意义的结构。
3. 降维的主要作用
(1)减少冗余特征,降低数据维度
假设我们有两个特征: x 1 x_1 x1:长度用厘米表示的身高; x 2 x_2 x2:是用英寸表示的身高。这两个分开的特征 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2,实际上表示的内容相同,这样其实可以减少数据到一维,只有一个特征表示身高就够了。很多特征具有线性关系,具有线性关系的特征很多都是几余的特征,去掉冗余特征对机器学习的计算结果不会有影响。
(2)数据可视化
t-distributed Stochastic Neighbor Embedding(t-SNE)将数据点之间的相似度转换为概率。原始空间中的相似度由高斯联合概率表示,嵌入空间的相似度由“学生t分布”表示。虽然Isomap,LLE和variants等数据降维和可视化方法,更适合展开单个连续的低维的manifold。但如果要准确的可视化样本间的相似度关系,如对于下图所示的S曲线(不同颜色的图像表示不同类别的数据),t-SNE表现更好。因为t-SNE主要是关注数据的局部结构。
4. 降维的优缺点
降维的优点:
- 通过减少特征的维数,数据集存储所需的空间也相应减少,减少了特征维数所需的计算训练时间;
- 数据集特征的降维有助于快速可视化数据;
- 通过处理多重共线性消除冗余特征。
降维的缺点:
- 由于降维可能会丢失一些数据;
- 在主成分分析(PCA)降维技术中,有时需要考虑多少主成分是难以确定的,往往使用经验法则。
二、主成分与方差
顾名思义,PCA的含义是将高维数据中的主要成分找出来。设原始数据 D = { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } \mathcal D=\{\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots,\boldsymbol x_m\} D={x1,x2,⋯,xm},其中 x i ∈ R d \boldsymbol x_i\in\mathbb R^d xi∈Rd。我们的目标是通过某种变换 f : R d → R k f:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^k f:Rd→Rk,将数据的维度从 d d d减小到 k k k,且通常 k ≪ d k\ll d k≪d。变换后的数据不同维度之间线性无关,这些维度就称为主成分。也就是说,如果将变换后的数据排成矩阵 Z = ( z 1 , ⋯ , z m ) T \boldsymbol Z=(\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_m)^{\mathrm T} Z=(z1,⋯,zm)T,其中 z i = f ( x i ) \boldsymbol z_i=f(\boldsymbol x_i) zi=f(xi),那么 Z \boldsymbol Z Z的列向量是线性无关的。从矩阵的知识可以立即得到 k < m k<m k<m。
PCA算法不仅希望变换后的数据特征线性无关,更要求这些特征之间相互独立,也即任意两个不同特征之间的协方差为零。因此,PCA算法在计算数据的主成分时,会从第一个主成分开始依次计算,并保证每个主成分与之前的所有主成分都是正交的,直到选取了预先设定的 k k k个主成分为止。关于主成分选取的规则,我们以一个平面上的二元高斯分布为例来具体说明。如图2(a)所示,数据点服从以 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)为中心、 x 1 x_1 x1方向方差为1.5、 x 2 x_2 x2方向方差为0.5、协方差为0.8的二元高斯分布。从图中可以明显看出,当前的 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2两个特征之间存在关联,并不是独立的。
图2(b)展示了数据分别向 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2方向投影的结果。由于 x 1 x_1 x1方向方差更大,数据在该方向的投影分布也更广。也就是说,数据向 x 1 x_1 x1方向的投影保留了更多信息, x 1 x_1 x1是一个比 x 2 x_2 x2更好的特征。如果我们不再把目光局限于 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2两个方向,而是考虑平面上的任意一个方向,那么如左图中红色虚线所示,沿直线 x 2 = 0.557 x 1 + 1.330 x_2=0.557x_1+1.330 x2=0.557x1+1.330 的方向数据的方差是最大的,我们应当将此方向作为数据的特征之一。既然PCA算法希望选出的主成分保留最多的信息,那么就应当不断选取数据方差最大的方向作为主成分。因此,PCA计算的过程就是依次寻找方差最大方向的过程。
为了方便计算,我们通常要先对数据进行中心化,把当前每个特征都变为均值为0的分布。用 x i ( j ) x_i^{(j)} xi(j)表示数据 x i \boldsymbol x_i xi的第 j j j个维度,那么均值 μ j \mu_j μj为 μ j = 1 m ∑ i = 1 m x i ( j ) , j = 1 , ⋯ , d \mu_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i^{(j)}, \quad j=1,\cdots,d μj=m1i=1∑mxi(j),j=1,⋯,d 将数据中心化,得到 x i ( j ) ← x i ( j ) − μ j , i = 1 , ⋯ , m x_i^{(j)}\leftarrow x_i^{(j)}-\mu_j, \quad i=1,\cdots,m xi(j)←xi(j)−μj,i=1,⋯,m
以图2(a)的高斯分布为例,变换后的图像如图3(b)所示,其中心点已经从 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)变为了 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)。接下来在讨论时,我们默认数据都已经被中心化。下面,我们就来具体讲解如何寻找数据中方差最大的方向。
三、利用特征分解进行PCA
为了找到方差最大的方向,我们先来计算样本在某个方向上的投影。设
u
\boldsymbol u
u为方向向量,满足
∥
u
∥
=
1
\Vert\boldsymbol u\Vert=1
∥u∥=1,向量
x
\boldsymbol x
x在方向
u
\boldsymbol u
u上的投影为
x
T
u
\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol u
xTu。于是所有样本在方向
u
\boldsymbol u
u上的方差为
σ
u
=
1
m
∑
i
=
1
m
(
x
i
T
u
)
2
=
1
m
∑
i
=
1
m
u
T
x
i
x
i
T
u
=
u
T
(
1
m
∑
i
=
1
m
x
i
x
i
T
)
u
=
u
T
Σ
u
\begin{aligned} \sigma_{\boldsymbol u} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u)^2 \\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \end{aligned}
σu=m1i=1∑m(xiTu)2=m1i=1∑muTxixiTu=uT(m1i=1∑mxixiT)u=uTΣu
矩阵 Σ = 1 m ∑ i = 1 m x i x i T ∈ R d × d \boldsymbol\Sigma=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T} \in \mathbb R^{d\times d} Σ=m1i=1∑mxixiT∈Rd×d 称为样本的协方差矩阵。由于 m m m是常数,简单起见,下面省略因子 1 m \frac{1}{m} m1。要令方差最大,就相当于求解下面的优化问题 max u u T Σ u s.t. ∥ u ∥ = 1 \max_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \quad \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1 umaxuTΣus.t.∥u∥=1
在求解该问题之前,我们先来介绍矩阵的特征值(eigenvalue)与特征分解(eigendecomposition)相关的知识。对于方阵
A
∈
R
n
×
n
\boldsymbol A\in\mathbb R^{n\times n}
A∈Rn×n,如果向量
ξ
∈
R
n
\boldsymbol\xi\in\mathbb R^n
ξ∈Rn 与实数
λ
\lambda
λ满足
A
ξ
=
λ
ξ
\boldsymbol A\boldsymbol\xi=\lambda\boldsymbol\xi
Aξ=λξ,就称
λ
\lambda
λ是矩阵
A
\boldsymbol A
A的特征值,
ξ
\boldsymbol\xi
ξ为矩阵的特征向量。特征向量
x
\boldsymbol x
x的任意非零实数倍
r
x
r\boldsymbol x
rx满足
A
(
r
x
)
=
r
(
A
x
)
=
r
(
λ
x
)
=
λ
(
r
x
)
\boldsymbol A(r\boldsymbol x)=r(\boldsymbol A\boldsymbol x)=r(\lambda\boldsymbol x)=\lambda(r\boldsymbol x)
A(rx)=r(Ax)=r(λx)=λ(rx) 因而
r
x
r\boldsymbol x
rx也还是特征向量。简单来说,矩阵
A
\boldsymbol A
A作用到其特征向量
x
\boldsymbol x
x上的结果等价于对该向量做伸缩变换,伸缩的倍数等于特征值
λ
\lambda
λ,但不改变向量所在的直线。从这个角度来看,
r
x
r\boldsymbol x
rx与
x
\boldsymbol x
x共线,
r
x
r\boldsymbol x
rx自然就是特征向量。因此,我们通常更关心单位特征向量,即长度为1的特征向量。例如,矩阵
A
=
(
2
1
0
1
)
\boldsymbol A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 &1\\ \end{pmatrix}
A=(2011) 的特征值及其对应的单位特征向量有两组,分别为
λ
1
=
1
\lambda_1=1
λ1=1,
ξ
1
=
(
−
1
,
1
)
T
\xi_1=(-1,1)^{\mathrm T}
ξ1=(−1,1)T 和
λ
2
=
2
\lambda_2=2
λ2=2,
ξ
2
=
(
1
,
0
)
T
\xi_2=(1,0)^{\mathrm T}
ξ2=(1,0)T,大家可以自行计算验证。显然,对角矩阵
diag
(
d
1
,
⋯
,
d
n
)
\text{diag}(d_1,\cdots,d_n)
diag(d1,⋯,dn)的特征值就等于其对角线上的元素
d
1
,
⋯
,
d
n
d_1,\cdots,d_n
d1,⋯,dn。特别地,
n
n
n阶单位阵
I
n
\boldsymbol I_n
In的特征值是1,且空间中的所有向量都是该特征值对应的特征向量。
我们可以从线性变换的角度来理解矩阵的特征值和特征向量。一个 n n n阶方阵 A \boldsymbol A A可以看作是 n n n维空间中的变换,将 n n n维向量 x \boldsymbol x x变为另一个 n n n维向量 A x \boldsymbol A\boldsymbol x Ax。由于 A ( x 1 + x 2 ) = A x 1 + A x 2 \boldsymbol A(\boldsymbol x_1+\boldsymbol x_2)=\boldsymbol A\boldsymbol x_1+\boldsymbol A\boldsymbol x_2 A(x1+x2)=Ax1+Ax2 以及 A ( r x 1 ) = r A x 1 \boldsymbol A(r\boldsymbol x_1)=r\boldsymbol A\boldsymbol x_1 A(rx1)=rAx1 对任意向量 x 1 \boldsymbol x_1 x1、 x 2 \boldsymbol x_2 x2和实数 r r r成立,该变换是一个线性变换。事实上,当坐标轴确定之后,线性变换与矩阵之间有一一对应关系。如果把向量都看作从原点指向向量所表示坐标的有向线段,可以证明,任意一个线性变换总可以分解成绕原点旋转和长度伸缩的组合。因此,矩阵与向量相乘 A x \boldsymbol A\boldsymbol x Ax可以理解为将向量 x \boldsymbol x x旋转某一角度,再将长度变为某一倍数。而矩阵的特征向量,就是在该变换作用下只伸缩不旋转的向量,并且其对应的特征值就是伸缩的倍数。当特征值 λ > 0 \lambda>0 λ>0 时,变换后的向量与原向量方向相同; λ < 0 \lambda<0 λ<0 时方向相反; λ = 0 \lambda=0 λ=0 则表示矩阵会把所有该直线上的向量压缩为零向量。
从这一角度继续,我们可以引入正定矩阵(positive definite)和半正定矩阵(positive semidefinite)的概念。如果对任意非零向量 x \boldsymbol x x,都有 x T A x ≥ 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x\ge0 xTAx≥0,就称 A \boldsymbol A A为半正定矩阵;如果严格有 x T A x > 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x>0 xTAx>0,就称 A \boldsymbol A A为正定矩阵。如果将 y = A x \boldsymbol y=\boldsymbol A\boldsymbol x y=Ax 看作变换后的向量,那么 x T y ≥ 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}y\ge0 xTy≥0 就表示 x \boldsymbol x x与 y \boldsymbol y y之间的夹角小于等于90°。由此,我们可以立即得到半正定矩阵的所有特征值都非负,否则负特征值会使特征向量在变换后反向,与原向量夹角为180°,产生矛盾。
为什么我们要引入半正定矩阵呢?在上面的优化问题中,我们得到的目标函数是 u T Σ u \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u uTΣu,其中 Σ \boldsymbol\Sigma Σ是协方差矩阵。事实上,该矩阵一定是半正定矩阵。设 y \boldsymbol y y是任一非零向量,那么 y T Σ y = y T ( ∑ i = 1 m x i x i T ) y = ∑ i = 1 m y T x i x i T y = ∑ i = 1 m ( x i T y ) 2 ≥ 0 \boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol y=\boldsymbol y^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m\boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y)^2 \ge 0 yTΣy=yT(i=1∑mxixiT)y=i=1∑myTxixiTy=i=1∑m(xiTy)2≥0
根据定义,
Σ
\boldsymbol\Sigma
Σ是半正定矩阵。因此,我们可以用半正定矩阵的一些性质来帮助我们求解该优化问题。这里,我们不加证明地给出一条重要性质:对于
d
d
d阶对称半正定矩阵
Σ
\boldsymbol\Sigma
Σ,总可以找到它的
d
d
d个单位特征向量
e
1
,
⋯
,
e
d
\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d
e1,⋯,ed,使得这些特征向量是两两正交的,也即对任意
1
≤
i
1\le i
1≤i,
j
≤
d
j\le d
j≤d,都有
∥
e
i
∥
=
1
,
e
i
T
e
j
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠
j
\Vert\boldsymbol e_i\Vert=1, \quad \boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\begin{cases}1, \quad i=j \\ 0, \quad i \ne j\end{cases}
∥ei∥=1,eiTej={1,i=j0,i=j 有兴趣的可以在线性代数的相关资料中找到该性质的证明。利用该性质,记
Q
=
(
e
1
,
⋯
,
e
d
)
∈
R
d
×
d
\boldsymbol Q=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\in\mathbb R^{d\times d}
Q=(e1,⋯,ed)∈Rd×d,有
(
Q
T
Q
)
i
j
=
e
i
T
e
j
=
I
(
i
=
j
)
(\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q)_{ij}=\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j)
(QTQ)ij=eiTej=I(i=j) 于是,
Q
T
Q
\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q
QTQ对角线上的元素全部为1,其他元素全部为0,恰好是单位矩阵
I
d
\boldsymbol I_d
Id。因此,
Q
\boldsymbol Q
Q的逆矩阵就是其转置,
Q
−
1
=
Q
T
\boldsymbol Q^{-1}=\boldsymbol Q^{\mathrm T}
Q−1=QT。因为组成该矩阵的向量是相互正交的,我们将这样的矩阵称为正交矩阵(orthogonal matrix)。根据逆矩阵的性质,我们有
I
d
=
Q
T
Q
=
Q
Q
T
=
(
e
1
,
⋯
,
e
d
)
(
e
1
T
⋮
e
d
T
)
=
∑
i
=
1
d
e
i
e
i
T
\boldsymbol I_d=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q=\boldsymbol Q\boldsymbol Q^{\mathrm T}=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\left(\begin{matrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{matrix}\right)=\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}
Id=QTQ=QQT=(e1,⋯,ed)
e1T⋮edT
=i=1∑deieiT 设特征向量
e
i
\boldsymbol e_i
ei对应的特征值是
λ
i
\lambda_i
λi,那么矩阵
Σ
\boldsymbol\Sigma
Σ可以写为
Σ
=
Σ
I
d
=
Σ
∑
i
=
1
d
e
i
e
i
T
=
∑
i
=
1
d
(
Σ
e
i
)
e
i
T
=
∑
i
=
1
d
λ
i
e
i
e
i
T
=
(
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
d
)
(
λ
1
0
⋯
0
0
λ
2
⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
λ
d
)
(
e
1
T
e
2
T
⋮
e
d
T
)
=
Q
Λ
Q
T
\begin{aligned} \boldsymbol\Sigma &= \boldsymbol\Sigma\boldsymbol I_d = \boldsymbol\Sigma\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d(\boldsymbol\Sigma\boldsymbol e_i)\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d\lambda_i\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} \\[3ex] &= (\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\cdots,\boldsymbol e_d)\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \boldsymbol e_2^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{pmatrix} \\[2ex] &= \boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T} \end{aligned}
Σ=ΣId=Σi=1∑deieiT=i=1∑d(Σei)eiT=i=1∑dλieieiT=(e1,e2,⋯,ed)
λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λd
e1Te2T⋮edT
=QΛQT 其中,
Λ
=
diag
(
λ
1
,
⋯
,
λ
d
)
\boldsymbol\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_d)
Λ=diag(λ1,⋯,λd) 是由特征向量所对应的特征值依次排列而成的对角矩阵。上式表明,一个半正定矩阵可以分解成3个矩阵的乘积,其中
Q
\boldsymbol Q
Q是其正交的特征向量构成的正交矩阵,
Λ
\boldsymbol\Lambda
Λ是其特征值构成的对角矩阵,这样的分解就称为矩阵的特征分解。
利用特征分解,我们可以很容易地计算
u
T
Σ
u
\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u
uTΣu的值。首先,由于
e
1
,
⋯
,
e
d
\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d
e1,⋯,ed是维空间中的个正交向量,
u
\boldsymbol u
u一定可以唯一表示成这些向量的线性组合,即
u
=
∑
i
=
1
d
α
i
e
i
\boldsymbol u=\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i
u=i=1∑dαiei,其中系数
α
i
\alpha_i
αi等于向量
u
\boldsymbol u
u在
e
i
\boldsymbol e_i
ei方向上的投影长度。我们可以将这组向量想象成相互垂直的坐标轴,而
(
α
1
,
⋯
,
α
d
)
(\alpha_1,\cdots,\alpha_d)
(α1,⋯,αd)就相当于
u
\boldsymbol u
u在这组坐标轴下的坐标。这样,
Q
T
u
\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u
QTu可以化为
Q
T
u
=
Q
T
∑
i
=
1
d
α
i
e
i
=
(
∑
i
=
1
d
α
i
e
1
T
e
i
⋮
∑
i
=
1
d
α
i
e
d
T
e
i
)
=
(
α
1
,
⋯
,
α
d
)
=
α
\begin{aligned} \boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\sum_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i = \begin{pmatrix}\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_1^{\mathrm T}\boldsymbol e_i \\ \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_d^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\end{pmatrix} = (\alpha_1,\cdots,\alpha_d)=\boldsymbol\alpha \end{aligned}
QTu=QTi=1∑dαiei=
i=1∑dαie1Tei⋮i=1∑dαiedTei
=(α1,⋯,αd)=α 这里,我们用到了
e
i
T
e
j
=
I
(
i
=
j
)
\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j)
eiTej=I(i=j) 的性质,把求和中
e
i
T
e
j
\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j
eiTej都消去了。接下来,
u
T
Σ
u
\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u
uTΣu可以计算得:
u
T
u
=
u
T
Q
Λ
Q
T
u
=
α
T
Λ
α
=
∑
i
=
1
d
λ
i
α
i
2
\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol\alpha^{\mathrm T}\boldsymbol\Lambda\boldsymbol\alpha=\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2
uTu=uTQΛQTu=αTΛα=i=1∑dλiαi2
在上面的优化问题
max
u
u
T
Σ
u
s.t.
∥
u
∥
=
1
\max\limits_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \ \ \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1
umaxuTΣu s.t.∥u∥=1 中,我们还要求
u
\boldsymbol u
u是方向向量,即
∥
u
∥
=
1
\Vert\boldsymbol u\Vert=1
∥u∥=1。这一要求给系数
α
i
\alpha_i
αi添加了限定条件:
∑
i
=
1
d
α
i
2
=
∑
i
=
1
d
(
u
T
e
i
)
2
=
∑
i
=
1
d
u
T
e
i
e
i
T
u
=
u
T
(
∑
i
=
1
d
e
i
e
i
T
)
u
=
u
T
I
d
u
=
u
T
u
=
∥
u
∥
2
=
1
\begin{aligned} \sum_{i=1}^d\alpha_i^2 &= \sum_{i=1}^d(\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i)^2=\sum_{i=1}^d\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol I_d\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u = \Vert\boldsymbol u\Vert^2=1 \end{aligned}
i=1∑dαi2=i=1∑d(uTei)2=i=1∑duTeieiTu=uT(i=1∑deieiT)u=uTIdu=uTu=∥u∥2=1 因此,原优化问题等价于
max
u
∑
i
=
1
d
λ
i
α
i
2
,
s.t.
∑
i
=
1
d
α
i
2
=
1
\max_{\boldsymbol u}\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^d\alpha_i^2=1
umaxi=1∑dλiαi2,s.t.i=1∑dαi2=1
由于 Σ \boldsymbol\Sigma Σ是半正定矩阵,其特征值 λ i \lambda_i λi必定非负,该问题的解就是 Σ \boldsymbol\Sigma Σ的最大特征值 λ max \lambda_{\max} λmax,不妨设其为 λ u \lambda_u λu。为了使上式取到最大值,应当有 α u = u T e u = 1 \alpha_{\boldsymbol u}=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_{\boldsymbol u}=1 αu=uTeu=1,且其他的 α i \alpha_i αi全部为零。因此,使方差最大的方向就是该特征值 λ u \lambda_{\boldsymbol u} λu对应的特征向量 e u \boldsymbol e_{\boldsymbol u} eu的方向。
上面的计算结果表面,用PCA寻找第一个主成分的过程就是求解PCA最大特征值及其对应特征向量的过程。事实上,由于协方差矩阵 Σ \boldsymbol\Sigma Σ半正定,其所有特征向量正交,恰好也满足我们最开始“每个主成分都与之前的所有主成分正交”的要求。如果排除掉第一主成分,第二主成分就对应 Σ \boldsymbol\Sigma Σ第二大特征值的特征向量,依次类推。因此,如果我们要把 d d d维的数据降到 k k k维,只需要计算 Σ \boldsymbol\Sigma Σ最大的 k k k个特征值对应的特征向量即可。设这 k k k个特征向量依次为 e 1 , ⋯ , e k \boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k e1,⋯,ek,矩阵 W = ( e 1 , ⋯ , e k ) ∈ R d × d \boldsymbol W=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k)\in\mathbb R^{d\times d} W=(e1,⋯,ek)∈Rd×d,原数据矩阵 X = ( x 1 ⋯ , x m ) T ∈ R d × d \boldsymbol X=(\boldsymbol x_1\cdots,\boldsymbol x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb R^{d\times d} X=(x1⋯,xm)T∈Rd×d,那么降维后的数据为 PCA ( X ) = X W \text{PCA}(\boldsymbol X)=\boldsymbol X\boldsymbol W PCA(X)=XW
四、动手实现PCA算法
下面,我们在NumPy库中线性代数工具的帮助下实现PCA算法。首先,我们导入数据集PCA_dataset.csv
并将其可视化。数据集的每一行包含两个数
x
1
x_1
x1与
x
2
x_2
x2,代表平面上点的坐标
(
x
1
,
x
2
)
(x_1,x_2)
(x1,x2)。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 导入数据集
data = np.loadtxt('PCA_dataset.csv', delimiter=',')
print('数据集大小:', len(data))
# 可视化
plt.figure()
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-2, 8)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()
接下来,我们按上面讲解的方式实现PCA算法。numpy.linalg
中提供了许多线性代数相关的工具,可以帮助我们计算矩阵的特征值与特征向量。
def pca(X, k):
d, m = X.shape
if d < k:
print('k应该小于特征数')
return X, None
# 中心化
X = X - np.mean(X, axis=0)
# 计算协方差矩阵
cov = X.T @ X
# 计算特征值和特征向量
eig_values, eig_vectors = np.linalg.eig(cov)
# 获取最大的k个特征值的下标
idx = np.argsort(-eig_values)[:k]
# 对应的特征向量
W = eig_vectors[:, idx]
# 降维
X = X @ W
return X, W
最后,我们在数据集上测试该PCA函数的效果,并将变换后的数据绘制出来。由于原始数据只有二维,为了演示PCA的效果,我们仍然设置 k = 2 k=2 k=2,不进行降维。但是,从结果中仍然可以看出PCA计算的主成分方向。相比于原始数据,变换后的数据最“长”的方向变成了横轴的方向。
X, W = pca(data, 2)
print('变换矩阵:\n', W)
# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()
五、用sklearn实现PCA算法
Sklearn库中同样提供了实现好的PCA算法,我们可以直接调用它来完成PCA变换。可以看出,虽然结果图像与我们上面直接实现的版本有180°的旋转,变换矩阵的元素也互为相反数,但PCA本质上只需要找到主成分的方向,因此两者得到的结果是等价的。
使用scikit-learn库中decomposition
模块的PCA
类可以创建PCA模型,其基本语法格式和参数说明如下。
sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', n_oversamples=10, power_iteration_normalizer='auto', random_state=None)
参数名称 | 参数说明 |
---|---|
n_components | 接收int或str。表示所要保留的主成分个数n,即保留下来的特征个数n,赋值为int时,表示降维的维度,如n_components=1,将把原始数据降到一个维度。赋值为str时,表示降维的模式,如取值为’mle’时,将自动选取特征个数n,使得满足所要求的方差百分比。默认为None。 |
copy | 接收bool。表示是否在运行算法时,将原始训练数据复制一份。若为True,则运行后,原始训练数据的值不会有任何改变,因为是在原始数据的副本上进行运算;若为False,则运行后,原始训练数据的值会发生改变。默认为True。 |
whiten | 接收bool。表示是否白化,使得每个特征具有相同的方差。默认为False。 |
svd_solver | 接收{‘auto’, ‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’},用于奇异值分解的算法。‘auto’会根据输入数据选择最佳的求解器。默认为’auto’。 |
tol | 接收float。奇异值的容忍度。在使用’arpack’求解器时使用。默认为0.0。 |
iterated_power | 接收int或’auto’。在使用’randomized’求解器时,幂法迭代的次数。默认为’auto’。 |
n_oversamples | 接收int。随机SVD的过采样数量。默认值为10。 |
power_iteration_normalizer | 接收{‘auto’, ‘LU’, ‘none’}。在幂迭代中使用的归一化方法。默认为’auto’。 |
random_state | 接收int、RandomState实例或None。控制估计器的随机性。如果设置为固定整数,则可以确保结果的可重复性。默认为None。 |
from sklearn.decomposition import PCA
# 中心化
X = data - np.mean(data, axis=0)
pca_res = PCA(n_components=2).fit(X)
W = pca_res.components_.T
print ('sklearn计算的变换矩阵:\n', W)
X_pca = X @ W
# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()
六、拓展:奇异值分解
本文介绍了数据降维的常用算法之一:PCA算法。数据降维是无监督学习的重要问题,在机器学习中有广泛的应用。由于从现实生活中采集的数据往往非常复杂,包含大量的冗余信息,通常我们必须对其进行降维,选出有用的特征供给后续模型使用。此外,有时我们还希望将高维数据可视化,也需要从数据中挑选2到3个最有价值的维度,将数据投影后绘制出来。除了PCA之外,现在常用的降维算法还有线性判别分析(linear discriminant analysis,LDA)、一致流形逼近与投影(uniform manifold approximation and projection,UMAP)、t分布随机近邻嵌入(t-distributed stochastic neighbor embedding,t-SNE)等。这些算法的特点各不相同,也有不同的适用场景。
关于PCA的计算方式,由于计算协方差矩阵 Σ = X X T \boldsymbol\Sigma=\boldsymbol X\boldsymbol X^{\mathrm T} Σ=XXT 和特征分解的时间复杂度较高,实践中通常会采用矩阵的奇异值分解(singular value decomposition,SVD)来代替特征分解。上面我们用到的sklearn库中的PCA算法就是以奇异值分解为基础的实现的。相比于特征分解,奇异值分解不需要实际计算出 Σ \boldsymbol\Sigma Σ,并且存在更高效的迭代求解方法。感兴趣的可以查阅相关资料,了解特征分解和奇异值分解的异同。
1. 奇异值分解的构造
2. 奇异值分解用于数据压缩
3. 奇异值分解的几何解释
4. 奇异值分解——SVD与PCA的关系
实际上,如果将矩阵 A m × n \boldsymbol A_{m\times n} Am×n看作是一个样本集合,其中的行看作特征随机变量,列看作每一个样本。当对数据集进行规范化后,矩阵 A T A \boldsymbol A^{\mathrm T}\boldsymbol A ATA就是样本集合的协方差矩阵。这样,SVD分解后的右奇异矩阵就是PCA分析中的特征向量组成的矩阵。
最后,大家可以在SETOSA网站的PCA算法动态展示平台上观察PCA的结果随数据分布的变化,加深对算法的理解。
标签:机器,特征向量,boldsymbol,矩阵,学习,降维,PCA,mathrm From: https://blog.csdn.net/Morse_Chen/article/details/142647797附:以上文中的数据集及相关资源下载地址:
链接:https://pan.quark.cn/s/15d427a80558
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