电通量（electric flux）和高斯定律（Gauss‘s law）

电通量（electric flux）

图示：

公式：

d ϕ = E ⃗ ⋅ n ^ d A d\phi = \vec{E} \cdot \hat{n} dA dϕ=E ⋅n^dA

也可以写作

d ϕ = E ⃗ ⋅ d A ⃗ d\phi = \vec{E} \cdot \vec{dA} dϕ=E ⋅dA

还可以写作

d ϕ = E d A c o s ( θ ) d\phi = EdAcos(\theta) dϕ=EdAcos(θ)

其中：

• d ϕ d\phi dϕ 是图中灰色小块面积通过的电通量
• E ⃗ \vec{E} E 是灰色小块面积处的电场
• n ^ \hat{n} n^ 是灰色小块面积处的法向量
• d A dA dA 是灰色小块面积
• d A ⃗ \vec{dA} dA 是灰色小块面积和法向量的乘积，方向为法向量的方向，大小为 d A dA dA
• θ \theta θ 是电场 E ⃗ \vec{E} E 与法向量 n ^ \hat{n} n^ 的夹角

解释

假设电场中有一块任意形状的面（可以想象成一块手帕），将面细分成很多个面积为 d A dA dA 的小块，每个小块上的法向量为 n ^ \hat{n} n^，电场向量为 E ⃗ \vec{E} E ，那么通过这个小块的电通量就是电场在法向量方向的投影与面积的乘积，可以用点积的形式表达，即为 $d\phi = \vec{E} \cdot \hat{n} dA $，在这个形状面上进行积分，就得到了整块形状的电通量。

高斯定律（Gauss’s law）

通过一个闭合曲面的电通量等于被曲面包围的所有电荷之和除以真空介电常数。

这个袋子状的封闭曲面的形状无论多么怪异，无论里面的电荷如何分布，这个结论都成立。

图示：

公式：

ϕ = ∮ c l o s e d    s u r f a c e E ⃗ ⋅ d A ⃗ = ∑ Q i n s ϵ 0 \begin{aligned} \phi & = \oint\limits_{closed\; surface} \vec{E}\cdot \vec{dA}\\ &= \frac{\sum Q_{ins}}{\epsilon_0} \end{aligned} ϕ​=closedsurface∮​E ⋅dA =ϵ0​∑Qins​​​

其中：

• ϕ \phi ϕ 封闭曲面的电通量
• ∮ c l o s e d    s u r f a c e \oint\limits_{closed\; surface} closedsurface∮​封闭曲面的积分
• E ⃗ \vec{E} E 微元面积处的电场
• d A ⃗ \vec{dA} dA 微元面积向量，方向为球心的径向方向，大小为 d A dA dA
• ∑ Q i n s \sum Q_{ins} ∑Qins​ 在曲面内部（inside）的电荷量的总和
• ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0​ 是真空介电常数， 1 4 π ϵ 0 = 9 ∗ 1 0 9 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 * 10^9 4πϵ0​1​=9∗109

解释

假设球面的半径为 R，球的中心有一个正电荷，电荷量为 +Q，因为球心正电荷在球面上的电场方向与球面处的法向量平行，且各个位置处均是这样，所以可知整个球面的电通量为

ϕ = 4 π R 2 E \phi = 4\pi R^2 E ϕ=4πR2E

之前的文章介绍过点电荷的电场 E ⃗ \vec{E} E 的计算公式

E ⃗ = Q r ^ 4 π ϵ 0 R 2 \vec{E} = \frac{Q\hat{r}}{4\pi\epsilon_0R^2} E =4πϵ0​R2Qr^​

因此，电通量为

ϕ = Q ϵ 0 \phi = \frac{Q}{\epsilon_0} ϕ=ϵ0​Q​

可以看到，电通量与球体的半径无关，只与球体中心的电荷量的多少有关，此外，无论这个封闭曲面是不是球面，这个结论都成立，这个曲面可以是任何奇形怪状的形状，只要中间包裹住这个点电荷就行。此外，由于电场的可叠加性，所以这个封闭曲面中如果有多个点电荷这个结论也是成立的。

参考

【麻省理工公开课：电和磁】 https://www.bilibili.com/video/BV1rW41147od/?p=3