矩阵对策是一种研究两方对抗问题的数学工具，属于博弈论的分支。博弈论（Game Theory）是一门分析冲突和决策行为的学科，最早由美国数学家约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）与经济学家奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）在20世纪40年代发展而成。他们在1944年合著的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）一书中系统地构建了博弈论的基础框架。博弈论在经济学、政治学、军事战略等领域有着广泛的应用，而矩阵对策是其中一个非常经典且基础的类型，主要研究二人零和博弈中的决策过程。
| 通用矩阵 | 矩阵对策 |
|---|---|
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一、引入案例
二人零和博弈是博弈论中最基本、也是最经典的类型之一，它描述了两个参与者在相互竞争中的博弈情形，双方的利益完全对立，一个人赢得多少，另一个人就会失去多少，换句话说，双方的收益总和始终为零。因此，这类博弈被称为“零和博弈”。
一个典型的二人零和博弈的例子是“石头、剪刀、布”游戏。两位参与者同时选择“石头、剪刀”或“布”中的一种，每种选择都有特定的赢或输的规则：石头赢剪刀（石头击碎剪刀）；剪刀赢布（剪刀剪断布）；布赢石头（布包住石头）；如果双方选择相同，则平局。在这个游戏中，两个参与者的目标是尽可能选择让自己获胜的策略。由于这个游戏是零和博弈，一个参与者获胜时，另一个参与者一定输掉相同的分数（即使平局，双方收益也是零）。游戏的收益： 为了分析该博弈，可以构造一个收益矩阵，其中一个玩家的收益是另一个玩家损失的相同数额。假设A和B是两位玩家，A的收益矩阵如下表所示：
| B选择石头 | B选择剪刀 | B选择布 | |
|---|---|---|---|
| A选择石头 | 0 | 1 | -1 |
| A选择剪刀 | -1 | 0 | 1 |
| A选择布 | 1 | -1 | 0 |
在这个矩阵中，横行表示A的选择，纵列表示B的选择，矩阵中的数字表示A的收益。例如，当A选择“石头”而B选择“剪刀”时，A会赢得1分，而B输掉1分。相应地，当A选择“石头”而B选择“布”时，A会失去1分，而B赢得1分。如果双方选择相同的动作，收益为0，表示平局。
二、矩阵对策概述
矩阵对策作为一种高效的决策分析工具，能够帮助参与者更理性地面对对手的行为，并在各类竞争或对抗环境中，运用数学模型找到最优解决方案。
2.1 矩阵对策的三要素
矩阵对策的基本结构由三大要素构成：局中人、策略集和赢得函数。
- 局中人
局中人是博弈的参与者。在矩阵对策中，通常假设只有两个局中人，他们分别代表博弈的两个对抗方。局中人可以是个人、公司、国家、团队等，具体取决于问题的背景。博弈论中的局中人有时被称为“玩家”或“对手”，每个局中人都有自己明确的目标——即通过选择适当的策略，获得尽可能多的收益。
在矩阵对策中，局中人的数量限制为两人，这使得问题较为简单，符合零和博弈的框架。零和博弈意味着一方的收益就是另一方的损失，因此两方的目标彼此对立。 - 策略集
策略集是指局中人可以选择的策略的集合。在矩阵对策中，每个局中人都有一组可行的策略，且这些策略都是有限的。例如，在市场竞争中，一个公司可以选择不同的价格策略，而在军事对抗中，一方可能会选择不同的进攻或防守方式。
我们可以用一个矩阵来描述两方的策略选择与相应的收益关系。假设有两个局中人，分别为A和B。A的策略集记作$S_A = {A_1, A_2, \dots, A_m} $ ，B的策略集记作\(S_B = \{B_1, B_2, \dots, B_n\}\)，其中，\(A_i\)表示局中人A的第\(i\)个策略，\(B_j\) 表示局中人B的第j个策略。对于A和B的每一组策略组合，矩阵中的元素将记录其相应的收益。 - 赢得函数
赢得函数（Payoff Function）描述了局中人根据自己和对手所选策略所获得的收益。对于矩阵对策中的两方来说，赢得函数通常以一个赢得矩阵（Payoff Matrix）的形式呈现。假设局中人A有\(m\)个策略，局中人B有\(n\)个策略，赢得矩阵将是一个m×n的矩阵。矩阵中的元素\(a_{ij}\)表示当A选择策略\(A_i\)而B选择策略\(B_j\)时A的收益。由于是零和博弈，B的收益等于\(-a_{ij}\)，即一方的收益就是另一方的损失。赢得矩阵可以表示如下：
其中，矩阵元素\(a_{ij}\)表示局中人A选择策略\(A_i\) ，局中人B选择策略\(B_j\)时，A所获得的收益，B则损失相同的数额。
例1：在“石头、剪刀、布”这个二人零和博弈中，可以通过博弈论中的三个基本要素来详细描述矩阵对策：局中人、策略集、赢得矩阵。
- 局中人（Players）
局中人指参与博弈的双方。在这个例子中，有两个局中人，分别称为 A玩家 和 B玩家。这两位玩家在游戏中彼此对抗，他们的目标是通过选择合适的策略来赢得比赛。- A玩家：第一位参与者，负责选择石头、剪刀或布。
- B玩家：第二位参与者，负责同样的选择，即石头、剪刀或布。
这两位玩家的目标是相互制衡。由于这是一个零和博弈，一个人的胜利意味着另一个人的失败，双方的收益总和为零。因此，A和B是竞争关系。
- 策略集（Strategy Sets）
策略集是指局中人可以选择的行动或决策集合。在“石头、剪刀、布”游戏中，两个玩家的策略集完全相同，各自可以从以下三种动作中选择：- 石头 (Rock)
- 剪刀 (Scissors)
- 布 (Paper)
因此，A玩家和B玩家的策略集可以表示为：\(\text{策略集} = \{\text{石头 (R)}, \text{剪刀 (S)}, \text{布 (P)}\}\)
两位玩家在每一轮博弈中必须从这三个策略中选择一个。两位玩家的策略组合（即A玩家和B玩家分别选择的策略）会决定他们各自的收益或损失。
- 赢得矩阵（Payoff Matrix）
赢得矩阵是博弈的核心部分，它描述了不同策略组合下，局中人获得的收益或损失。在零和博弈中，一方的收益就是另一方的损失，因此A玩家的赢得矩阵可以直接表示B玩家的损失。
对于“石头、剪刀、布”游戏，赢得矩阵描述了A玩家在面对B玩家不同策略时的收益情况。假设A玩家选择横向的动作，B玩家选择纵向的动作。A玩家的赢得矩阵可以用如下方式表示：
| A选择\ B选择 | 石头 (R) | 剪刀 (S) | 布 (P) |
|---|---|---|---|
| 石头 (R) | 0 | 1 | -1 |
| 剪刀 (S) | -1 | 0 | 1 |
| 布 (P) | 1 | -1 | 0 |
每个位置的值表示A玩家的收益，如果是正值则意味着A获胜，负值则表示A输了。B玩家的赢得矩阵则是A的赢得矩阵取相反数，因为这是一个零和博弈，A的收益就是B的损失。
2.2 矩阵对策的数学模型
两人有限零和对策，又称为矩阵对策。其数学模型为：$$I = (I, II; S_1, S_2, A)\quad 或 I = [S_1, S_2; A] $$，其中策略集$$ S_1 = {\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m}，S_2 = {\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n}$$分别为局中人I和局中人II的策略集。由于假定对策的结果为零和，所以局中人II的赢得矩阵为-A，将上面要素集成就得到下面的矩阵对策模型结构，参看上面例1。
| I策略\II策略 | $$\beta_1$$ | $$\beta_2$$ | ... | $$\beta_n$$ |
|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\) | \(a_{11}\) | \(a_{12}\) | ... | \(a_{1n}\) |
| \(\alpha_2\) | \(a_{21}\) | \(a_{22}\) | ... | \(a_{2n}\) |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| \(\alpha_n\) | \(a_{m1}\) | \(a_{m2}\) | ... | \(a_{mn}\) |
例2：田忌赛马：故事源自古代中国，讲述了齐国的国君齐王与田忌之间的一场赛马比赛。田忌是齐王的臣子，也是一位赛马爱好者。在一次赛马比赛中，田忌的马匹在速度上不如齐王的马匹。然而，田忌并没有直接放弃比赛，而是采取了一种巧妙的策略。田忌的策略是利用自己马匹的相对优势。他将自己的马分为上、中、下三等，然后与齐王的马进行比赛。在第一场比赛中，他用自己的下等马对抗齐王的上等马，结果自然是输了。但在第二场比赛中，他用自己的上等马对抗齐王的中等马，轻松获胜。最后一场比赛，他用中等马对抗齐王的下等马，再次获胜。通过这种策略，田忌最终以两胜一负的成绩赢得了比赛。这个故事体现了智慧和策略的重要性，即使在资源不如对手的情况下，通过巧妙的安排和策略，也有可能取得胜利。
田忌赛马的矩阵对策模型
在田忌赛马的例子中，可以用矩阵对策中的三要素来构建数学模型，即局中人、策略集和赢得矩阵。下面将详细描述这些三要素并解释整个建模过程。
- 局中人（Players）
田忌赛马问题中的局中人是 齐王 和 对手，他们分别为博弈的参与者。齐王和对手各自都有三匹马，按不同的速度分为上、中、下三等。在比赛中，双方的目标都是让自己的马赢得尽可能多的胜利。- 局中人1（S1）：齐王
- 局中人2（S2）：对手
在博弈中，双方的目标是通过合理选择比赛顺序，使自己获胜的机会最大化，同时使对方的收益最小化。
-
策略集（Strategy Sets）
策略集是指局中人可选择的策略或行动方案。齐王和对手的策略集是他们如何选择将三匹马（上等马、中等马和下等马）排列出赛跑顺序。
假设两位局中人都可以选择将三匹马按照六种不同的顺序进行比赛，每一个排列组合都可以作为一个策略。两人的策略集可以表示为：- 齐王的策略集 S1（α集合）： S1 = {α1, α2, α3, α4, α5, α6} 每个 αi 代表一种赛马的排列组合。
- 对手的策略集 S2（β集合）： S2 = {β1, β2, β3, β4, β5, β6} 每个 βi 也代表一种赛马的排列组合。
对于齐王和对手，赛马顺序可以有以下六种组合： - 上、中、下 (U, M, L)
- 上、下、中 (U, L, M)
- 中、上、下 (M, U, L)
- 中、下、上 (M, L, U)
- 下、上、中 (L, U, M)
- 下、中、上 (L, M, U)
-
赢得矩阵（Payoff Matrix）
赢得矩阵是对策中双方收益的量化表示。它表明当双方选定某种策略组合后，齐王和对手的得分或胜负情况。齐王赛马问题的赢得矩阵 A 已经给出，参看下表：
| β1 (U, M, L) | β2 (U, L, M) | β3 (M, U, L) | β4 (M, L, U) | β5 (L, U, M) | β6 (L, M, U) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| α1 (U, M, L) | 3 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 |
| α2 (U, L, M) | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| α3 (M, U, L) | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 1 |
| α4 (M, L, U) | -1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| α5 (L, U, M) | 1 | 1 | 1 | -1 | 3 | 1 |
| α6 (L, M, U) | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 3 |
矩阵的行表示齐王的策略，列表示对手的策略。矩阵中的元素表示在对应的策略组合下，齐王的收益。例如：
-
如果齐王选择策略 α1 （上、中、下）而对手选择策略 β1 （上、中、下），则齐王的收益为3。
-
如果齐王选择策略 α1 而对手选择策略 β5 （下、上、中），则齐王的收益为-1。
-
数学模型的建立
齐王赛马问题可以表示为一个零和博弈。两名局中人在六种策略中选择一个进行对抗，构成了一个 6×6 的赢得矩阵。齐王的目标是通过选择最优的赛马顺序来使自己的总收益最大化，而对手的目标则是最小化齐王的收益。定义矩阵对策为 Γ = {S1, S2; A}，其中：- S1 = {α1, α2, α3, α4, α5, α6} 是齐王的策略集。
- S2 = {β1, β2, β3, β4, β5, β6} 是对手的策略集。
- A 是齐王的赢得矩阵（如上所示）。
博弈双方会选择自己的策略来最大化（齐王）或最小化（对手）自己的收益。在零和博弈中，赢得矩阵A中的每个元素表示齐王的收益，对手的损失就是齐王的收益的相反数，因此只需要求出齐王的最优策略就可以得到田忌的最优策略。
三、矩阵对策的求解方法
矩阵对策的求解方法主要是针对双方局中人（玩家）如何在对抗中找到自己的最优策略。在零和博弈中，双方的目标是一个对立关系，赢者的得分就是输者的损失，因此对策求解往往围绕最大化或最小化自己的收益展开。以下将详细讨论几种常见的矩阵对策求解方法，包括极大极小原理、线性规划法、图解法等。
3.1 极大极小原理
极大极小原理是零和博弈中最基础的求解方法。其核心思想是局中人选择自己的策略时，假设对方会采取对自己最不利的策略，因此局中人要保证在最坏的情况下收益尽可能大。在博弈中，局中人A的目标是选择一个策略\(A_i\)，使得在所有可能情况下，他的最小收益最大化。这可以用以下公式表示：$$\max_i \min_j a_{ij}$$
其中\(a_{ij}\)表示局中人A选择策略\(A_i\)时，对手B选择策略\(B_j\)时的收益。同样，对手B希望选择策略\(B_j\)，使得A的最大收益最小化，表示为：$$\min_j \max_i a_{ij}$$
如果这两个值相等，即：
则称该博弈存在鞍点，此时双方的最优策略都是纯策略。鞍点的存在意味着双方可以通过固定的策略组合，确保各自的收益不会因为对方策略的变化而降低。然而，并不是所有的博弈都存在鞍点。当鞍点不存在时，需要引入混合策略等其他求解方法。
3.2 混合策略
当一个博弈没有鞍点时，即没有纯策略可以保证最优收益，这时需要采用混合策略。混合策略是指局中人以一定的概率分布随机选择策略集中的策略。这种随机化的策略组合可以使局中人的收益期望达到最大化。在混合策略中，局中人A选择策略的概率可以表示为\(p = (p_1, p_2, ..., p_n)\)，其中\(p_i\) 表示选择策略\(A_i\)的概率。同样，对手B的混合策略可以用概率向量\(q = (q_1, q_2, ..., q_m)\)表示。混合策略的收益期望值为：
\[E(A, B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m p_i a_{ij} q_j \]局中人的目标是找到最优的概率分布\(p\)和\(q\)，使得其收益期望最大化或最小化。
混合策略的求解通常依赖于线性规划或纳什均衡的相关理论。混合策略保证了在零和博弈中，双方总是能找到一个均衡点，虽然这个均衡点不是通过固定的纯策略实现的，而是通过概率分布。
3.3 线性规划法
线性规划法是解决矩阵对策的重要方法之一，尤其是在处理混合策略时。它将矩阵对策中的最优策略问题转化为线性规划问题，通过线性规划工具来求解最优的混合策略。对于局中人A来说，其目标是最大化其收益期望值，记为\(v\)。为了确保无论对手B采取何种策略，A的收益至少为 \(v\)，我们需要保证：
\[\sum_{i=1}^n p_i a_{ij} \geq v \quad \forall j \]同时，混合策略的概率向量\(p\)满足\(p_i \geq 0\)且\(\sum_{i=1}^n p_i = 1\)。
这样，问题可以转化为一个线性规划问题：
\[ \text{max } v\\ \text{s.t. } \sum_{i=1}^n p_i a_{ij} \geq v \quad \forall j \\ p_i \geq 0, \quad \sum_{i=1}^n p_i = 1\]对手B的目标是最小化A的最大收益，因此同样可以通过线性规划来求解其最优混合策略。线性规划法的优势在于可以通过现有的优化算法高效求解，适用于大规模的博弈问题。然而，在求解较小规模问题时，图解法等更直观的方法也可以应用。
3.4 图解法
图解法是一种用于求解二维矩阵对策（即每个局中人只有两个策略）的可视化方法。这种方法利用坐标图形的方式，直观地展示局中人收益随策略变化的关系，从而找到最优策略。在二维矩阵对策中，局中人A的两个策略为\(A_1\)和\(A_2\)，对手B的两个策略为\(B_\)和\(B_2\)。我们可以分别计算出A在不同概率选择\(A_1\)和\(A_2\)时的收益，并在图上绘制其收益曲线。同样，我们也可以绘制B的收益曲线。通过观察曲线的交点，我们可以找到双方的混合策略均衡点。这个交点对应的概率值就是双方的最优混合策略。图解法的优点在于直观易懂，适用于简单的二维博弈问题。
3.5 拉普拉斯法
拉普拉斯法是另一种求解矩阵对策的技巧，尤其适用于具有较多负值的赢得矩阵。其基本思想是通过对矩阵中的所有元素进行变换，使其全部为正值，然后再进行标准的极大极小分析。具体来说，拉普拉斯法通过将矩阵中的每个元素加上一个足够大的常数\(C\)，使得矩阵中的所有元素都大于零。这个过程并不会改变博弈的本质，但可以简化计算，尤其是在处理极大极小值时更加方便。
例如，如果原赢得矩阵中有负值元素，令矩阵中的每个元素都加上常数\(C\)，使得变换后的矩阵中的最小元素为正数。然后，可以根据新的赢得矩阵找到最优策略。
3.6 数值方法
对于复杂的大规模矩阵对策，直接的解析解可能比较困难，此时可以借助数值计算方法。例如，采用蒙特卡洛模拟法或其他数值优化算法来逼近最优解。随着计算机技术的发展，数值方法在解决复杂博弈问题中的应用越来越广泛。
例3：甲台有 4 个节目（A、B、C、D），乙台有 3 个节目（节目1、节目2、节目3），他们的收视率如下表所示。这个矩阵是甲台的收益矩阵，对应的是甲台选定一个节目，乙台选定一个节目的情况下，甲台的收视率。
| 甲台\乙台节目 | 节目1 | 节目2 | 节目3 |
|---|---|---|---|
| 节目A | 70 | 45 | 35 |
| 节目B | 45 | 40 | 50 |
| 节目C | 55 | 50 | 55 |
| 节目D | 60 | 45 | 50 |
总结
矩阵对策作为博弈论中的重要工具，提供了系统化的方法来分析和解决两方对抗问题。在实际应用中，矩阵对策将复杂的决策过程简化为一个可计算的矩阵，明确展示了每个局中人的策略选择及其相应的收益。通过赢得函数的形式化表达，研究者能够计算并预测最优策略，从而帮助参与者在竞争或对抗中获得最佳结果。
在经济领域，矩阵对策广泛用于企业竞争策略的制定。例如，企业在定价、广告投放或市场进入策略上，通常面对竞争对手的不同决策，矩阵对策模型可以帮助企业找到在激烈市场竞争中的平衡点，降低不必要的损失并提升市场份额。与此同时，军事领域的应用也非常广泛，国家在制定军事战略时，常常面临潜在对手的不确定行动，通过矩阵对策，军事决策者能够制定最优的战术或防御措施。在政治和国际关系中，矩阵对策为各国在谈判与冲突中提供了理性选择的框架。各国在国际事务中的决策不仅关乎自身利益，也牵涉到复杂的对抗与合作问题。矩阵对策通过对每个国家策略的理性推演，帮助各国找到有利的博弈策略，从而避免冲突升级，促进稳定和合作。
