在二维 Haar 小波中,输入数据分解为低频和高频分量的计算公式源自 Haar 小波的特性,以及对输入矩阵的行和列进行逐步分解的方式。
### Haar 小波变换的基本思想
Haar 小波是最简单的小波变换,它基于二进制分解。对于二维数据(如图像),通常先对行进行一维变换,然后对列进行一维变换,得到四个不同的子带:低频-低频 (LL)、低频-高频 (LH)、高频-低频 (HL) 和高频-高频 (HH)。
### 一维 Haar 小波变换
首先,我们回顾一下**一维** Haar 小波的基本运算。对于两个相邻的数据点 \( x_1 \) 和 \( x_2 \),Haar 小波变换的输出包括**低频分量**和**高频分量**,分别由以下公式计算:
\[
\text{Low} = \frac{x_1 + x_2}{2}
\]
\[
\text{High} = \frac{x_1 - x_2}{2}
\]
- **低频分量 (Low)** 代表平滑信息(信号的平均值)。
- **高频分量 (High)** 代表细节信息(相邻数据之间的差异)。
### 二维 Haar 小波变换
对于二维数据(如图像),我们可以看作是对矩阵进行变换,分为两步:
1. **对行进行一维 Haar 小波变换**。
2. **对列进行一维 Haar 小波变换**。
假设我们有一个 \( 2 \times 2 \) 的矩阵块:
\[
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{bmatrix}
\]
每个元素代表一个像素值。
### 第一步:对行进行一维 Haar 变换
先对矩阵的每一行进行一维 Haar 小波变换:
\[
\text{Row 1: } \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \frac{x_1 - x_2}{2}
\]
\[
\text{Row 2: } \frac{x_3 + x_4}{2} \quad \frac{x_3 - x_4}{2}
\]
结果是:
\[
\begin{bmatrix}
\frac{x_1 + x_2}{2} & \frac{x_1 - x_2}{2} \\
\frac{x_3 + x_4}{2} & \frac{x_3 - x_4}{2}
\end{bmatrix}
\]
### 第二步:对列进行一维 Haar 变换
现在对结果矩阵的列进行一维 Haar 变换:
1. 对第一列 \( \left[\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{x_3 + x_4}{2} \right] \) 进行变换:
\[
\frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
\]
\[
\frac{\frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_3 + x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 + x_2 - x_3 - x_4}{4}
\]
2. 对第二列 \( \left[\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{x_3 - x_4}{2} \right] \) 进行变换:
\[
\frac{\frac{x_1 - x_2}{2} + \frac{x_3 - x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 - x_2 + x_3 - x_4}{4}
\]
\[
\frac{\frac{x_1 - x_2}{2} - \frac{x_3 - x_4}{2}}{2} = \frac{x_1 - x_2 - x_3 + x_4}{4}
\]
### 最终结果
将上面的计算结果整理,我们可以得到 4 个分量:
1. **LL 分量**(低频-低频):表示整体的平均值(平滑信息):
\[
LL = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}
\]
2. **HL 分量**(高频-低频):表示行的高频分量,列的低频分量:
\[
HL = \frac{x_1 - x_2 + x_3 - x_4}{4}
\]
3. **LH 分量**(低频-高频):表示行的低频分量,列的高频分量:
\[
LH = \frac{x_1 + x_2 - x_3 - x_4}{4}
\]
4. **HH 分量**(高频-高频):表示行和列的高频分量(细节信息):
\[
HH = \frac{x_1 - x_2 - x_3 + x_4}{4}
\]
这些公式通过逐步对行和列进行一维 Haar 小波变换得出,表示图像块在不同频率下的分量,分别捕捉了不同方向上的细节信息。
### 总结
- **LL 分量**:反映了低频的平滑信息,是图像的整体轮廓。
- **HL 分量**:捕捉了水平方向的细节(高频)和垂直方向的平滑(低频)。
- **LH 分量**:捕捉了垂直方向的细节(高频)和水平方向的平滑(低频)。
- **HH 分量**:捕捉了水平和垂直方向的细节(高频),通常对应于图像中的边缘信息。
通过这些分量,二维 Haar 小波变换能够有效地分解图像的细节和整体结构,并为图像处理、压缩等任务提供了有用的信息。
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