数学知识-学科知识

1. 数的认识

• 自然数
• 整数
• 小数
• 分数
• 百分数

1. 数的运算

• 加法
• 减法
• 乘法
• 除法
• 四则混合运算

1. 量与计量

• 长度单位（米、厘米等）
• 面积单位（平方米、平方厘米等）
• 体积单位（立方米、立方厘米等）
• 质量单位（千克、克等）
• 时间单位（小时、分钟、秒等）

1. 几何初步

• 平面图形（三角形、四边形、圆等）
• 立体图形（立方体、圆柱体、球体等）
• 图形的属性（边、角、周长、面积、体积等）
• 图形的变换（平移、旋转、缩放等）

1. 比和比例

• 比的概念
• 比例的概念
• 比例的解法

1. 代数初步

• 用字母表示数
• 简易方程
• 列方程解应用题

1. 统计与概率

• 数据的收集与整理
• 统计表与统计图
• 概率的基本概念

1. 应用题

• 行程问题
• 工程问题
• 经济问题
• 其他实际问题的数学建模

小学数学知识归纳总结

第一章 数和数的运算

基本概念

整数

1. 整数的意义：

• 自然数和0都是整数。

1. 自然数：

• 用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
• 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

1. 计数单位：

• 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
• 其中“一”是计数的基本单位。
• 每相邻两个计数单位之间的进率都是10，称为十进制计数法。

1. 数位：

• 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

1. 整数的读法：

• 从高位到低位，一级一级地读。
• 读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
• 每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

1. 整数的写法：

• 从高位到低位，一级一级地写。
• 哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

1. 改写和近似数：

• 把较大的数改写成以“万”或“亿”为单位的数，称为准确数。
• 省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
• 四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。

1. 整数大小的比较：

• 位数多的那个数就大。
• 如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大。
• 最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

小数

1. 小数的意义：

• 把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
• 如1/10记作0.1, 7/100记作0.07。

1. 小数的组成：

• 由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
• 小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）。

1. 小数的计数单位：

• 小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。
• 小数部分有几个数位，就叫做几位小数。

1. 小数的进率：

• 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
• 小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。

小数

1. 小数的读法：

• 整数部分按照整数的读法读。
• 小数点读作“点”。
• 小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

1. 小数的写法：

• 整数部分按照整数的写法来写。
• 小数点写在个位右下角。
• 小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

1. 比较小数的大小：

• 先看整数部分，整数部分大的那个数就大。
• 整数部分相同，比较十分位，十分位大的数就大。
• 十分位相同，比较百分位，百分位大的数就大。

1. 小数的分类：

• 纯小数：整数部分是零的小数，如0.25、0.368。
• 带小数：整数部分不是零的小数，如3.25、5.26。
• 有限小数：小数部分数位有限，如41.7、25.3、0.23。
• 无限小数：小数部分数位无限，如4.33...、3.1415926。
• 无限不循环小数：小数部分数字排列无规律且位数无限。
• 循环小数：小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现，如3.555...、0.0333...、12.109109...
• 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始，如3.111、0.5656。
• 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始，如3.1222...、0.03333。

分数

1. 分数的意义：

• 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。

1. 分数的读法：

• 先读分母，再读“分之”，然后读分子。

1. 分数的写法：

• 先写分数线，再写分母，最后写分子。

1. 比较分数的大小：

• 分母相同，分子大的分数大。
• 分子相同，分母小的分数大。
• 分母和分子都不同，通常先通分再比较。
• 带分数先比较整数部分，再比较分数部分。

1. 分数的分类：

• 真分数：分子比分母小，小于1。
• 假分数：分子比分母大或相等，大于或等于1。
• 带分数：假分数写成整数与真分数合成的数。

1. 分数和除法的关系及分数的基本性质：

• 除法是一种运算，分数是一种数。
• 被除数相当于分子。

数学知识归纳总结

分数

1. 分数的基本性质：

• 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

1. 约分和通分：

• 最简分数：分子、分母是互质数的分数。
• 约分：把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数。
• 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。

1. 倒数：

• 乘积是1的两个数互为倒数。
• 求一个数（0除外）的倒数，只需将分子、分母调换位置。

百分数

1. 百分数的意义：

• 表示一个数是另一个数的百分之几的数，通常用"%"表示。

1. 百分数的读写：

• 读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数。
• 写百分数时，通常在分子后面加上百分号“%”。

1. 百分数与折数、成数的互化：

• 如三折是30%，七五折是75%，六成五是65%。

1. 纳税和利息：

• 税率：应纳税额与各种收入的比率。
• 利率：利息与本金的百分率，通常由银行规定。

1. 百分数与分数的区别：

• 意义不同：百分数表示倍数关系，分数表示具体数量。
• 应用范围不同：百分数用于统计分析，分数用于测量计算。
• 书写形式不同：百分数用百分号表示，分数用分数线表示。

数的互化

1. 小数化成分数：

• 根据小数点后的位数确定分母，小数点后的数作为分子，进行约分。

1. 分数化成小数：

• 用分母去除分子，得到小数，通常保留三位小数。

分数与小数

1. 分数化成有限小数的条件：

• 如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，分数能化成有限小数。

1. 小数化成百分数：

• 把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

1. 百分数化成小数：

• 把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

1. 分数化成百分数：

• 先把分数化成小数，再把小数化成百分数。

1. 百分数化成分数：

• 先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

数的整除

1. 整除的意义：

• 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数。

1. 约数和倍数：

• 如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的约数。

1. 奇数和偶数：

• 能被2整除的数是偶数，不能被2整除的是奇数。

1. 整除的特征：

• 个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。
• 个位上是0或5的数能被5整除。
• 各位数之和能被3或9整除的数，该数也能被3或9整除。

1. 质数和合数：

• 只有1和它本身两个约数的数是质数。
• 除了1和它本身还有别的约数的数是合数。

1. 分解质因数：

• 合数可以写成几个质数相乘的形式，这些质数是该合数的质因数。

其他概念

• 数的整除特征：

• 末两位数能被4或25整除的数，该数能被4或25整除。
• 末三位数能被8或125整除的数，该数能被8或125整除。

• 奇数和偶数的运算性质：

• 相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
• 奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数。
• 奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数。
• 奇数x奇数=奇数，奇数x偶数=偶数，偶数x偶数=偶数。

分解质因数

• 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，称为分解质因数。
• 通常使用短除法来分解质因数，先用能整除该合数的质数去除，直到商是质数为止。
• 然后将除数和商写成连乘的形式。

公因数（约数）

• 几个数公有的因数称为这些数的公因数。
• 最大的公因数称为最大公约数。
• 公因数只有1的两个数称为互质数。
• 互质数的情况包括：与任何自然数互质、相邻自然数互质、合数与不是其倍数的质数互质、两个合数的公约数只有1时互质。
• 如果较小数是较大数的约数，那么较小数是这两个数的最大公约数。
• 如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1。

公倍数

• 几个数公有的倍数称为这些数的公倍数。
• 最大的公倍数称为最大公倍数。
• 求最大公约数的方法是：用这几个数的公约数连续去除，直到商只有公约数1，然后将所有除数连乘求积。
• 最小公倍数是几个数公有的最小倍数。
• 求最小公倍数的方法是：用这几个数的公约数去除，直到互质，然后将所有除数和商连乘求积。
• 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数是这两个数的最小公倍数。
• 如果两个数是互质数，那么它们的积是最小公倍数。
• 几个数的公约数个数有限，而公倍数个数无限。

性质和规律

1. 商不变的规律：

• 在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

1. 小数的性质：

• 在小数末尾添上零或去掉零，小数大小不变。

1. 小数点位置移动引起小数大小变化：

• 小数点右移一位，数扩大10倍；右移两位，扩大100倍；右移三位，扩大1000倍。
• 小数点左移一位，数缩小10倍；左移两位，缩小100倍；左移三位，缩小1000倍。
• 移动位数不够时，用“0”补足位。

1. 分数的基本性质：

• 分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（零除外），分数大小不变。

1. 分数与除法的关系：

• 被除数÷除数 = 被除数/除数。
• 分数的分母不能为零。
• 被除数相当于分子，除数相当于分母。

运算法则

• 整数四则运算的法则。

这是图片中包含的所有关于分解质因数、公因数、公倍数以及数的性质和规律的内容。

整数四则运算

1. 整数加法：

• 合并两个数成一个数的运算。
• 加数 + 加数 = 和。
• 一个加数 = 和 - 另一个加数。

1. 整数减法：

• 已知和与一个加数，求另一个加数的运算。
• 被减数 - 减数 = 差。
• 减法是加法的逆运算。

1. 整数乘法：

• 求几个相同加数和的简便运算。
• 因数 × 因数 = 积。
• 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数。
• 0乘以任何数得0，1乘以任何数得任何数。

1. 整数除法：

• 已知积与一个因数，求另一个因数的运算。
• 被除数 ÷ 除数 = 商。
• 除数 = 被除数 ÷ 商。
• 被除数 = 商 × 除数。
• 除法是乘法的逆运算。
• 0不能做除数。

1. 乘方：

• 求几个相同因数积的运算。
• 例如：

小数四则运算

1. 小数加法：

• 意义与整数加法相同。

1. 小数减法：

• 意义与整数减法相同。

1. 小数乘法：

• 乘以整数的意义与整数乘法相同。
• 乘以纯小数的意义是求一个数的十分之几、百分之几、千分之几等。

1. 小数除法：

• 意义与整数除法相同。

分数四则运算

1. 分数加法：

• 意义与整数加法相同。

1. 分数减法：

• 意义与整数减法相同。

1. 分数乘法：

• 意义与整数乘法相同。

1. 分数除法：

• 意义与整数除法相同。

运算定律

1. 加法运算定律：

• 加法交换律：
• 加法结合律：

1. 乘法运算定律：

• 乘法交换律：
• 乘法结合律：
• 乘法分配律：
• 乘法分配律扩展：

1. 减法运算定律：

• 连续减去几个数，可以减去这些数的和：
• 连续减去两个数，可以改变减数的顺序：

1. 除法运算定律：

• 连续除以两个数，可以除以这两个数的积：
• 连续除以两个数，可以改变除数的顺序：

1. 其他运算性质：

1. 积的变化规律：

• 一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的倍数。

1. 商不变性质：

• 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

计算方法

1. 整数加法计算法则：

• 相同数位对齐，从低位加起，满十进一。

1. 整数减法计算法则：

• 相同数位对齐，从低位减起，不够减时从高位借一当十。

整数计算法则

1. 整数乘法：

• 用一个因数的每一位数去乘另一个因数的每一位数，对齐相应的位置，然后将得到的结果相加。

1. 整数除法：

• 从高位开始除，除数是几位数就看被除数的前几位。
• 如果某一位不够除，就多看一位，商写在相应的位置上。
• 每次除得的余数必须小于除数。

小数计算法则

1. 小数乘法：

• 先按整数乘法计算出积，然后根据因数中小数的位数确定小数点的位置。
• 如果小数位数不够，用“0”补足。

1. 小数除法：

• 除数是整数：按整数除法规则进行，商的小数点与被除数的小数点对齐。
• 除数是小数：将除数变为整数，被除数的小数点相应移动，然后按除数是整数的规则进行。

分数计算法则

1. 同分母分数加减：

• 分子相加减，分母不变。

1. 异分母分数加减：

• 先通分，再按照同分母分数加减法进行计算。

1. 带分数加减：

• 整数部分与分数部分分别相加减，再合并结果。

1. 分数乘法：

• 分数乘整数：分子乘以整数，分母不变。
• 分数乘分数：分子相乘，分母相乘。

1. 分数除法：

• 分数除以数（非零）等于分数乘以这个数的倒数。

运算顺序

1. 小数和分数的四则运算顺序：

• 与整数四则运算顺序相同。

1. 无括号混合运算：

• 同级从左至右，不同级先乘除后加减。

1. 有括号混合运算：

• 先小括号，再中括号，最后括号外。

1. 第一级运算：

• 加法和减法。

1. 第二级运算：

• 乘法和除法。

应用题解题步骤

1. 简单应用题：

• 只含一种基本数量关系，或只需一步运算的应用题。

1. 解题步骤：

• 审题理解：了解条件和问题，弄明白题意。
• 选择算法和列式计算：根据条件和问题，确定算法，进行解答，并标明单位。

C检验

• 根据应用题的条件和问题进行检查，确保所列算式和计算过程正确，符合题意。
• 如果发现错误，立即改正。

复合应用题

1. 定义：

• 包含两个或以上基本数量关系，需两步或以上运算解答的应用题。

1. 类型：

• 含有三个已知条件的两步计算应用题。
• 含有两个已知条件的两步计算应用题。
• 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
• 比较两数差与倍数关系的应用题。

1. 解题方法：

• 解答连乘连除应用题。
• 解答三步计算的应用题。
• 解答小数计算的应用题。

1. 答案：

• 根据计算结果，先口答，逐步过渡到笔答。

加法和减法应用题

1. 加法：

• 求总数：已知两个数，求它们的和。
• 求比一个数多几的数：已知一个数和它比另一个数多的量，求另一个数。

1. 减法：

• 求剩余：从已知数中去掉一部分，求剩余部分。
• 求两个数相差多少：已知两个数，求它们的差距。
• 求比一个数少几的数：已知一个数和它比另一个数少的量，求另一个数。

乘法和除法应用题

1. 乘法：

• 求相同加数和：已知相同加数和个数，求总数。
• 求一个数的几倍：已知一个数和它的倍数，求另一个数。

1. 除法：

• 求每份多少：已知一个数和平均分成的份数，求每份的数量。
• 求包含几个数：已知一个数和每份的数量，求可以分成的份数。
• 求一个数是另一个数的几倍：已知两个数，求较大数是较小数的几倍。
• 已知一个数的几倍是多少，求这个数。

典型应用题

• 具有独特结构特征和特定解题规律的复合应用题。

1. 平均数问题：

• 平均数是等分除法的发展。
• 确定总数量和与之相对应的总份数。
• 算术平均数：
• 加权平均数：

1. 差额平均数：

• 把大于或小于标准数的部分之和均分到总份数，求标准数与各数的关系。

常见数量关系

• 总价 = 单价 × 数量
• 路程 = 速度 × 时间
• 工作总量 = 工作时间 × 工效
• 总产量 = 单产量 × 数量

平均数问题

• 定义：求两个或多个数的平均值。
• 解题关键：确定总数量和与之相对应的总份数。
• 数量关系式：

• 算术平均数：
• 最大数与各数之差的和 ÷ 总份数 = 最大数应得数
• 最大数与个数之差的和 ÷ 总份数 = 最小数应得数

• 例子：汽车以不同速度往返于两地，求平均速度。

归一问题

• 定义：已知两个相互关联的量，其中一个量改变，另一个量也随之改变。
• 分类：

• 一次归一问题：一步运算求出单一量。
• 两次归一问题：两步运算求出单一量。
• 正归一问题：求出单一量后用乘法计算结果。
• 反归一问题：求出单一量后用除法计算结果。

• 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
• 数量关系式：

• 单一量 × 份数 = 总数量（正归一）
• 总数量 ÷ 单一量 = 份数（反归一）

• 例子：织布工人在一定天数内织布，求织布6930米需要多少天。

归总问题

• 定义：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量，通过求总数量求得单位数量的个数。
• 特点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，但变化规律相反。
• 数量关系式：单位数量 × 单位个数 ÷ 另一个单位数量 = 另一个单位数量个数
• 例子：修水渠，原计划每天修800米，6天修完，实际4天修完，求每天修了多少米。

和差问题

• 定义：已知大小两个数的和及差，求这两个数各是多少。
• 解题关键：把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
• 解题规律：

• 例子：甲班和乙班共有工人94人，从乙班调46人到甲班后，乙班比甲班人数少12人，求原来各班人数。

和倍问题

• 定义：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少。
• 解题关键：找准标准数（即1倍数），求出倍数和之后，再求出标准的数量。
• 解题规律：

差倍问题

• 定义：已知两个数的差及倍数关系，求这两个数。
• 解题规律：

例子

• 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，剪去同样长度后，甲剩余长度是乙绳长的3倍。
• 分析：甲绳剩余长度比乙绳多2倍，以乙绳的长度为标准数。
• 列式：

行程问题

• 定义：关于走路、行车等计算路程、时间、速度的问题。
• 解题关键：理解速度、时间、路程、方向等概念及其关系。
• 解题规律：

• 相背而行：
• 相向而行：
• 同向而行（速度慢的在前）：

例子

• 甲在乙后28千米，同向而行，甲每小时16千米，乙每小时9千米，求甲追上乙的时间。
• 分析：甲每小时比乙多行7千米，即速度差。
• 列式：

流水问题

• 定义：研究船在流水中航行的问题，考虑水速对顺行和逆行的影响。
• 概念：船速、水速、顺水速度、逆水速度。
• 解题规律：

例子

• 轮船从甲地到乙地顺水28千米/小时，逆水返回多2小时，水速4千米/小时，求距离。
• 列式：顺水时间

还原问题

• 定义：已知某未知数经过四则运算后的结果，求未知数。
• 解题方法：逆向运算，从结果推算原始数值。

差倍问题

• 定义：已知两个数的差及倍数关系，求这两个数。
• 解题规律：

例子

• 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，剪去同样长度后，甲剩余长度是乙绳长的3倍。
• 分析：甲绳剩余长度比乙绳多2倍，以乙绳的长度为标准数。
• 列式：

行程问题

• 定义：关于走路、行车等计算路程、时间、速度的问题。
• 解题关键：理解速度、时间、路程、方向等概念及其关系。
• 解题规律：

• 相背而行：
• 相向而行：
• 同向而行（速度慢的在前）：

例子

• 甲在乙后28千米，同向而行，甲每小时16千米，乙每小时9千米，求甲追上乙的时间。
• 分析：甲每小时比乙多行7千米，即速度差。
• 列式：

流水问题

• 定义：研究船在流水中航行的问题，考虑水速对顺行和逆行的影响。
• 概念：船速、水速、顺水速度、逆水速度。
• 解题规律：

例子

• 轮船从甲地到乙地顺水28千米/小时，逆水多2小时，水速4千米/小时，求距离。
• 列式：

还原问题

• 定义：已知某未知数经过四则运算后的结果，求未知数。
• 解题方法：逆向运算，从结果推算原始数值。

还原问题

• 解题关键：弄清每一步变化与未知数的关系，采用逆运算推导出原数。
• 解题规律：从最后结果出发，逆向运算，逐步推导出原数。
• 例子：四个班级调整学生后人数相等，求各班原有学生数。
• 分析：以四班为例，调出3人，调入2人，原有人数通过逆运算求得。
• 列式：

植树问题

• 解题关键：判断地形，分清是否封闭图形，确定植树类型，使用公式计算。
• 解题规律：

• 沿线段植树：
• 沿周长植树：

• 例子：沿公路埋电线杆，改装后电线杆数量变化，求新的间距。
• 列式：

盈亏问题

• 解题关键：求两次分配中每人所得物品数量的差，以及总差额，用总差额除以每人差额得人数。
• 解题规律：

• 总差额 ÷ 每人差额 = 人数。
• 总差额的求法根据具体情况而定。

• 例子：美术小组分色笔，不同人数下的盈亏情况。
• 分析：根据两次分配的盈亏情况，求得每人分得色笔数。
• 列式：

年龄问题

• 解题关键：利用年龄差不变的特性，解决与年龄相关的问题。
• 特点：随着时间变化，年龄增加，但两个人的年龄差保持不变。
• 例子：父亲和儿子的年龄，求几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
• 分析：利用年龄差不变，通过逆运算求得几年前的情况。

年龄问题

• 例子：父亲48岁，儿子21岁，求几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
• 分析：父子年龄差为27岁，倍数差为3倍。
• 列式：

鸡兔问题

• 定义：已知总头数和总腿数，求鸡和兔各多少只。
• 解题关键：采用假设法，假设全是鸡或全是兔，根据腿数差推算。
• 解题规律：

例子

• 鸡兔同笼共50个头，170条腿。
• 列式：

分数和百分数的应用

1. 分数加减法：

• 与整数加减法类似，涉及分数。

1. 分数乘法：

• 求一个数的几分之几。
• 解题关键：找准单位“1”的量和对应的分率。

1. 分数除法：

• 求一个数是另一个数的几分之几。
• 解题关键：确定标准量和比较量，使用除法。

1. 出勤率、发芽率、出粉率等：

工程问题

• 定义：探讨工作总量、工作效率和工作时间的关系。
• 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率为工作时间的倒数，根据具体情况灵活运用公式。

工程问题

• 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
• 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
• 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
• 合作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和

纳税

• 应纳税额 = 收入 × 税率

利息

• 利息 = 本金 × 利率 × 时间

常用数量关系式

1. 每份数 × 份数 = 总数
2. 总数 ÷ 每份数 = 份数
3. 总数 ÷ 份数 = 每份数
4. 1倍数 × 倍数 = 几倍数
5. 几倍数 ÷ 1倍数 = 倍数
6. 几倍数 ÷ 倍数 = 1倍数
7. 速度 × 时间 = 路程
8. 路程 ÷ 速度 = 时间
9. 路程 ÷ 时间 = 速度
10. 单价 × 数量 = 总价
11. 总价 ÷ 单价 = 数量
12. 总价 ÷ 数量 = 单价
13. 加数 + 加数 = 和
14. 和 - 一个加数 = 另一个加数
15. 被减数 - 减数 = 差
16. 被减数 - 差 = 减数
17. 差 + 减数 = 被减数
18. 因数 × 因数 = 积
19. 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
20. 被除数 ÷ 除数 = 商
21. 被除数 ÷ 商 = 除数
22. 商 × 除数 = 被除数
23. 总数 ÷ 总份数 = 平均数

和差问题公式

• (和 + 差) ÷ 2 = 大数
• (和 - 差) ÷ 2 = 小数

和倍问题

• 和 ÷ (倍数 - 1) = 小数
• 小数 × 倍数 = 大数

差倍问题

• 差 ÷ (倍数 - 1) = 小数
• 小数 × 倍数 = 大数
• (或) 小数 + 差 = 大数

相遇问题

• 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间
• 相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和
• 速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间

浓度问题

• 溶质重量 + 溶剂重量 = 溶液重量
• 溶质重量 ÷ 溶液重量 × 100% = 浓度
• 溶液重量 × 浓度 = 溶质重量
• 溶质重量 ÷ 浓度 = 溶液重量

利润与折扣问题

• 利润 = 售出价 - 成本
• 利润率 = (利润 ÷ 成本) × 100% = ((售出价 ÷ 成本) - 1) × 100%
• 涨跌金额 = 本金 × 涨跌百分比
• 利息 = 本金 × 利率 × 时间
• 税后利息 = 本金 × 利率 × 时间 × (1 - 20%)

一、概述

1. 量的定义：事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等可测定的客观特征。
2. 计量：将待测的量与标准的量进行比较。
3. 计量单位：作为计量标准的量。
4. 名数：数加上单位名称，如5小时，3千克。

• 单名数：只带有一个单位名称，例如5小时，3千克。
• 复名数：带有两个或以上单位名称，例如5小时6分，3千克500克。
• 名数转化：

• 单名数转化为单名数，例如56平方分米 = 0.56平方米。
• 单名数转化为复名数，例如560平方分米 = 5平方米60平方分米。

二、长度

1. 定义：一维空间的度量。
2. 常用单位：公里(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(μm)。
3. 单位换算：

• 1毫米 = 1000微米
• 1厘米 = 10毫米
• 1分米 = 10厘米
• 1米 = 1000毫米
• 1千米 = 1000米

三、面积

1. 定义：物体所占平面的大小，立体物体表面的大小称为表面积。
2. 常用单位：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。
3. 单位换算：

• 1平方厘米 = 100平方毫米
• 1平方分米 = 100平方厘米
• 1平方米 = 100平方分米
• 1公顷 = 10000平方米
• 1平方公里 = 100公顷

四、体积和容积

1. 定义：

• 体积：物体所占空间的大小。
• 容积：容器所能容纳物体的体积。

1. 常用单位：

• 体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。
• 容积单位：升、毫升。

1. 单位换算：

• 体积单位：

• 1立方米 = 1000立方分米
• 1立方分米 = 1000立方厘米

• 容积单位：

• 1升 = 1000毫升
• 1升 = 1立方米
• 1毫升 = 1立方厘米

五、质量

1. 定义：表示物体的重量。
2. 常用单位：吨(t)、千克(kg)、克(g)。

五、质量（续）

• 常用换算：

• 1吨 = 1000千克
• 1千克 = 1000克

六、时间

1. 定义：指有起点和终点的一段时间。
2. 常用单位：世纪、年、月、日、时、分、秒。
3. 单位换算：

• 1世纪 = 100年。
• 平年一年365天，闰年一年366天。
• 1年12个月，大月有31天，小月有30天，平年2月28天，闰年2月29天。
• 闰年判定：年份是4的倍数，整百年份须是400的倍数。
• 1天 = 24小时，1小时 = 60分，1分 = 60秒。

七、货币

1. 定义：充当商品等价物的特殊商品，可购买任何别的商品。
2. 常用单位：元、角、分。
3. 单位换算：

• 1元 = 10角
• 1角 = 10分

常用单位换算

1. 长度单位换算

• 1千米 = 1000米
• 1米 = 10分米
• 1分米 = 10厘米
• 1米 = 100厘米
• 1厘米 = 10毫米

2. 面积单位换算

• 1平方千米 = 100公顷
• 1公顷 = 10000平方米
• 1平方米 = 100平方分米
• 1平方分米 = 100平方厘米
• 1平方厘米 = 100平方毫米

3. 体积和容积单位换算

• 1立方米 = 1000立方分米
• 1立方分米 = 1000立方厘米
• 1立方分米 = 1升
• 1立方厘米 = 1毫升
• 1立方米 = 1000升

4. 重量单位换算

• 1吨 = 1000千克
• 1千克 = 1000克
• 1千克 = 1公斤

5. 人民币单位换算

• 1元 = 10角
• 1角 = 10分
• 1元 = 100分

6. 时间单位换算

• 1世纪 = 100年
• 1年 = 12个月，大月31天，小月30天
• 平年2月28天，闰年2月29天
• 平年全年365天，闰年全年366天
• 1日 = 24小时
• 1时 = 60分
• 1分 = 60秒
• 1时 = 3600秒

第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

1. 意义和作用：简化数量关系的表达，表示运算结果，体现代数的基本特点。
2. 表示常见数量关系：

• 路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：

第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

1. 数量关系表示

• 总价 

(2) 运算定律和性质

• 加法交换律：
• 加法结合律：
• 乘法交换律：
• 乘法结合律：
• 乘法分配律：
• 减法的性质：

(3) 用字母表示几何形体的公式

1. 长方形：

• 长 

1. 正方形：

• 边长 

1. 平行四边形：

• 底 

1. 三角形：

• 底 

1. 梯形：

• 上底 

1. 圆：

• 半径 

1. 扇形：

• 半径 

1. 长方体：

• 长 

1. 正方体：

• 棱长 

1. 圆柱：

• 高 

1. 圆锥：

• 高 

三、用字母表示数的写法

1. 乘号可记作“.”，或省略。
2. “1”与任何字母相乘时，“1”省略。
3. 数字写在字母前面。
4. 同一字母表示同一量，不同量用不同字母。

四、简易方程

1. 等式：表示相等关系的式子。
2. 方程：含有未知数的等式。

定义与概念

1. 方程：含有未知数的等式。
2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
3. 解方程：求方程的解的过程。

解方程的方法

1. 直接运用四则运算中各部分之间的关系。
2. 先把含有未知数的项看作一个数，然后再解。
3. 按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。
4. 利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。

列方程解应用题

1. 意义：用方程式解答应用题，求未知量的方法。
2. 步骤：

• 弄清题意，确定未知数并用字母表示。
• 找出题中的数量之间的相等关系。
• 列方程，解方程。
• 检查或验算，写出答案。

1. 方法：

• 综合法：从部分到整体，从已知到未知。
• 分析法：从整体到部分，从未知到已知。

1. 应用范围：

• 一般应用题。
• 和倍、差倍问题。
• 几何形体的周长、面积、体积计算。
• 分数、百分数应用题。
• 比和比例应用题。

比和比例

1. 比的意义和性质

• 比是表示两个数相除的关系。
• 比的前项相当于被除数，后项相当于除数。

2. 比例

• 表示两个比相等的式子。

3. 比例的性质

• 比例的基本性质：在比例中，两外项的积等于两内项的积。

比的意义和性质

1. 比的定义：两个数相除的关系称为比。
2. 比值：比的前项除以后项得到的商。
3. 比值表示：通常用分数表示，也可以用小数或整数。
4. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

求比值和化简比

1. 求比值方法：用比的前项除以后项。
2. 化简比：根据比的基本性质，化成最简单的整数比，前、后项互质。

比例尺

1. 定义：图上距离与实际距离的比。
2. 应用：求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
3. 线段比例尺：图上附有注有数目的线段，表示实际距离。

按比例分配

1. 定义：把一个数量按一定比例进行分配。
2. 方法：先求出各部分占总量的比例，再求出总数的相应比例。

比例的意义和性质

1. 比例的定义：表示两个比相等的式子。
2. 比例的项：组成比例的四个数，两端的两项为外项，中间的两项为内项。
3. 比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。

解比例

1. 定义：根据比例的基本性质，求出比例中的未知项。

正比例和反比例

1. 正比例：两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量成正比例关系。
2. 反比例：两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量成反比例关系。

比和比例应用题

1. 按比例分配：在生产和生活中，按一定比例分配数量。
2. 解题策略：找准分配总量和分配比，转化为分数或份数进行解答。
3. 正、反比例应用题：审题，找出相关联的两个量，判断比例关系，解题。

比例的解题步骤

1. 设未知数：设定比例中的未知数。
2. 列比例式：根据题意列出比例式。
3. 解比例式：通过计算求解比例式。
4. 检验：验证求解结果的正确性。
5. 写答语：根据解题结果写出答案。

第四章 几何的初步知识

一、线和角

1. 线

• 直线：没有端点，长度无限，过两点只能画一条直线。
• 射线：只有一个端点，长度无限。
• 线段：有两个端点，长度有限，两点间最短连线。
• 平行线：在同一平面内不相交的两条直线。
• 垂线：两条直线相交成直角时，一条直线是另一条的垂线。

2. 角

• 角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形。
• 角的分类：

• 锐角：小于90°的角。
• 直角：等于90°的角。
• 钝角：大于90°而小于180°的角。
• 平角：角的两边成一条直线，角度为180°。
• 周角：角的一边旋转一周与另一边重合，角度为360°。

二、平面图形

1. 三角形

• 特征：由三条线段围成，内角和为180度，具有稳定性。
• 计算公式：
• 分类：

• 按角分：

• 锐角三角形：三个角都是锐角。
• 直角三角形：有一个角是直角。
• 钝角三角形：有一个角是钝角。

• 按边分：

• 不等边三角形：三条边长度不相等。
• 等腰三角形：有两条边长度相等。
• 等边三角形：三条边长度都相等，三个内角都是60度。

2. 四边形

• 特征：由四条线段围成的图形。

第四章 几何的初步知识

二、平面图形（续）

1. 四边形

• 任意四边形的内角和：360度。
• 梯形：只有一组对边平行的四边形。
• 平行四边形：两组对边分别平行的四边形，包括长方形、正方形。

• 长方形：

• 特征：对边相等，四个角都是直角。
• 计算公式：周长 

• 正方形：

• 特征：四条边都相等，四个角都是直角。
• 计算公式：周长 

• 平行四边形：

• 特征：对边平行且相等，对角相等。
• 计算公式：面积 

• 梯形：

• 特征：只有一组对边平行。
• 计算公式：面积 

2. 圆

• 圆心：圆中心的一点，通常用字母 
• 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用 
• 直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，通常用 
• 特征：圆的大小由半径决定，圆有无数条对称轴。
• 画法：使用圆规，定好半径，固定圆心，旋转一周。
• 周长（圆周率）：围成圆的曲线的长度，用 
• 面积：圆所占平面的大小。

计算公式：

• 直径 
• 半径 
• 周长 
• 面积 

3. 扇形

• 定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
• 特征：顶点在圆心的角叫做圆心角，扇形有一条对称轴。
• 计算公式：面积 

4. 环形

• 定义：由两个半径不同的同心圆所围成的图形。

环形

• 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
• 计算公式：面积 

轴对称图形

• 特征：

• 如果一个图形沿一条直线对折，两侧图形能完全重合，则该图形是轴对称图形。
• 折痕所在的直线是对称轴。

• 常见图形的对称轴条数：

• 正方形：4条
• 长方形：2条
• 等腰三角形：2条
• 等边三角形：3条
• 等腰梯形：1条
• 圆：无数条
• 菱形：4条
• 扇形：1条

三、立体图形

(一) 长方体

• 特征：

• 六个面都是长方形，有时相对的面是正方形。
• 相对的面相等，12条棱中相对的4条棱长度相等。
• 8个顶点。
• 长、宽、高是相交于一个顶点的三条棱的长度。

• 计算公式：

• 表面积 
• 体积 

(二) 正方体

• 特征：

• 六个面都是相等的正方形。
• 12条棱的长度都相等。
• 8个顶点。
• 可看作特殊的长方体。

• 计算公式：

• 表面积 
• 体积 

(三) 圆柱

• 特征：

• 两个底面是圆。
• 侧面是曲面。
• 高是两个底面之间的距离。

• 计算公式：

• 侧面积 
• 表面积 
• 体积 

(四) 圆锥

• 特征：

• 底面是圆。
• 侧面是曲面。
• 从顶点到底面圆心的距离是高。

• 计算公式：

• 体积 

圆锥

• 特征：侧面展开是一个扇形。
• 计算公式：体积 

球

• 特征：

• 球的表面是一个曲面，称为球面。
• 球心用 
• 半径 
• 直径 

• 计算公式：直径 

四、周长和面积

1. 周长：平面图形一周的长度。
2. 面积：平面图形或物体表面的大小。

小学数学图形计算公式

1. 正方形：

• 周长 
• 面积 

1. 正方体：

• 表面积 
• 体积 

1. 长方形：

• 周长 
• 面积 

1. 长方体：

• 表面积 
• 体积 

1. 三角形：

• 面积 

1. 平行四边形：

• 面积 

1. 梯形：

• 面积 

1. 圆形：

• 周长 
• 面积 

1. 圆柱体：

• 侧面积 
• 表面积 
• 体积 

1. 圆锥体：

• 体积 

第五章 简单的统计

一、统计表

(一) 意义

• 统计表是把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题。

(二) 组成部分

• 表格外部分：包括标题名称、单位说明和制表日期。
• 表格内部：包括表头、横标目、纵标目和数据。

(三) 种类

• 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
• 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
• 百分数统计表：表明各统计项目的具体数量及相对于标准量的百分比。

(四) 制作步骤

1. 搜集数据
2. 整理数据：根据制表目的和内容，对数据进行分类。
3. 设计草表：设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏的格数和长度。
4. 正式制表：填入核对过的数据，写上统计表的名称和制表日期。

二、统计图

(一) 意义

• 统计图是用点、线、面积等图形元素表示相关量之间的数量关系的图形。

(二) 分类

1. 条形统计图

• 用一个单位长度表示一定的数量，画成长短不同的直条，然后按一定顺序排列。
• 优点：容易看出各种数量的多少。
• 注意：直条宽窄必须相同，单位长度表示的数量根据具体情况确定。
• 制作步骤：

1. 画出两条互相垂直的射线。
2. 在水平射线上分配条形位置，确定宽度和间隔。
3. 在垂直射线上确定单位长度表示的数量。
4. 按数据大小画出直条，并注明数量。

1. 折线统计图

• 用一个单位长度表示一定的数量，描出各点，然后将各点用线段顺次连接。
• 优点：可以表示数量的多少，也能清楚地表示数量增减变化的情况。

制作折线统计图的一般步骤：

1. 画射线：根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
2. 分配位置：在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
3. 确定单位长度：在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示的数量。
4. 描点连线：按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
5. 注意事项：当横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

扇形统计图

• 定义：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
• 优点：清楚地表示出各部分与总数之间的关系。
• 制作步骤：

1. 计算比例：先算出各部分数量占总量的百分比。
2. 计算圆心角度数：再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
3. 画圆画扇形：取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
4. 标注：在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。