tarjan
还记得寒假集训没好好学\(tarjan\)，一直就不咋会，所以趁着考前重新学了一下。
\(tarjan\) 的基本运用主要有：
\(1.\) 有向图中将若干点缩成一个点，建出一个 \(DAG\) ,搭配各类最短路写法或拓扑排序使用
\(code\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n,m;
int a[N];
struct Graph{
int head[N],tot,cnt,ntime,top,stk[N],low[N],dfn[N],bl[N],d[N],vis[N];
long long sum[N];
struct Node{int from,to,nest;}bian[N*10];
void add(int x,int y){bian[++tot]=(Node){x,y,head[x]};head[x]=tot;d[y]++;}
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++ntime;
vis[x]=1,stk[++top]=x;
for(int i=head[x];i;i=bian[i].nest){
int v=bian[i].to;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[x]=min(low[x],low[v]);
}
else if(vis[v])low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
if(dfn[x]==low[x]){
cnt++;
do{
vis[stk[top]]=0;
bl[stk[top]]=cnt;
sum[cnt]+=a[stk[top]];
}while(x!=stk[top--]);
}
}
}G1,G2;
void build(){
for(int i=1;i<=n;i++)if(!G1.dfn[i])G1.tarjan(i);
for(int i=1;i<=m;i++)if(G1.bl[G1.bian[i].from]!=G1.bl[G1.bian[i].to])G2.add(G1.bl[G1.bian[i].from],G1.bl[G1.bian[i].to]);
}
int q[N],l,r;
long long dis[N],ans;
void topsort(){
l=1,r=0;
for(int i=1;i<=G1.cnt;i++){
if(G2.d[i]==0)q[++r]=i,dis[i]=G1.sum[i],ans=max(ans,dis[i]);
}
while(l<=r){
int cc=q[l++];
for(int i=G2.head[cc];i;i=G2.bian[i].nest){
int v=G2.bian[i].to;
dis[v]=max(dis[v],dis[cc]+G1.sum[v]);
ans=max(ans,dis[v]);
G2.d[v]--;
if(G2.d[v]==0)q[++r]=v;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++){
int s1=0,s2=0;
scanf("%d%d",&s1,&s2);
G1.add(s1,s2);
}
build();
topsort();
return 0;
}
\(2.\) 无向图中求割点或割边（桥）。
\(3.\) 点双联通分量与边双联通分量
对于这两部分，我一直记不住，但理解一下就记得很深了。
对于割点的求法，有一句最关键的 \(low_v \ge dfn_u\),意味 \(v\) 不可能通过其他横叉边或返祖边到达 \(u\) 的祖先，意味 \(v\) 想到达 \(u\) 的祖先一定要经过 \(u\)，则 \(u\) 就是一个割点；对于一开始出发的点，他想要成为一个割点，那么他必然至少有 \(2\) 条边。
对于割边的求法，有一句最关键的是 \(low_v > dfn_u\),意味 \(v\) 不可能通过其他横叉边或返祖边到达 \(u\) 的祖先，意味 \(v\) 想到达 \(u\) 的祖先一定要经过边 \((u,v)\)，所以边 \((u,v)\) 为桥。
对于点双与边双，实质上就是求割点与割边的过程，我们可以通过一遍 \(tarjan\) 求出所有的割点或割边，再经过一遍 \(dfs\) ,不经过割点或割边求出相应的双联通分量。
对于点双，我们也可以通过一遍 \(tarjan\) 求出，具体与建圆方树的方法一致，下面的代码写的是这种做法。
对于边双，我们因为无法处理单点为双联通分量的情况，我们可以新建一个超级点，再跑 \(tarjan\)，也可以用一次 \(tarjan\) 求出边双
\(code\)
割点
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2e4+10;
int n,m;
struct Graph{
int head[N],low[N],dfn[N],ntime,tot,cnt,cut[N];
struct Node{int to,nest;}bian[N<<4];
void add(int x,int y){bian[++tot]=(Node){y,head[x]};head[x]=tot;}
void tarjan(int x,int fa){
dfn[x]=low[x]=++ntime;
int kid=0;
for(int i=head[x];i;i=bian[i].nest){
int v=bian[i].to;
if(!dfn[v]){
kid++;
tarjan(v,x);
low[x]=min(low[x],low[v]);
if(low[v]>=dfn[x])if(x!=fa&&!cut[x])cut[x]=1,cnt++;
}
else if(v!=fa)low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
if(x==fa&&kid>=2&&!cut[x])cut[x]=1,cnt++;
}
}G;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int s1=0,s2=0;
scanf("%d%d",&s1,&s2);
G.add(s1,s2),G.add(s2,s1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!G.dfn[i])G.tarjan(i,i);
printf("%d\n",G.cnt);
for(int i=1;i<=n;i++)if(G.cut[i])printf("%d ",i);
return 0;
}
割边（因为下面边双有写，我就不再写了）
点双
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m;
struct Graph{
int head[N],tot,ntime,cnt,dfn[N],low[N],stk[N],top;
vector<int>vDCC[N];
struct Node{int to,nest;}bian[N<<3];
void add(int x,int y){bian[++tot]=(Node){y,head[x]};head[x]=tot;}
void tarjan(int x,int fa){
int son=0;
dfn[x]=low[x]=++ntime;
stk[++top]=x;
for(int i=head[x];i;i=bian[i].nest){
int v=bian[i].to;
if(!dfn[v]){
son++;
tarjan(v,x);
low[x]=min(low[x],low[v]);
if(low[v]>=dfn[x]){
cnt++;
do{vDCC[cnt].push_back(stk[top]);}while(v!=stk[top--]);
vDCC[cnt].push_back(x);
}
}
else if(v!=fa)low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
if(!son&&!fa)++cnt,vDCC[cnt].push_back(x);
}
}G;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int s1=0,s2=0;
scanf("%d%d",&s1,&s2);
G.add(s1,s2),G.add(s2,s1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!G.dfn[i])G.tarjan(i,0);
printf("%d\n",G.cnt);
for(int i=1;i<=G.cnt;i++,putchar('\n')){
printf("%u ",G.vDCC[i].size());
for(auto v : G.vDCC[i])printf("%d ",v);
}
return 0;
}
边双
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int n,m;
struct Graph{
int head[N],cnt,tot,ntime,dfn[N],low[N],vis[N],is_bridge[N<<3];
vector<int>eDCC[N];
Graph(){tot=1;}
struct Node{int to,nest;}bian[N<<3];
void add(int x,int y){bian[++tot]=(Node){y,head[x]};head[x]=tot;}
void tarjan(int x,int fa){
dfn[x]=low[x]=++ntime;
for(int i=head[x];i;i=bian[i].nest){
int v=bian[i].to;
if(!dfn[v]){
tarjan(v,x);
low[x]=min(low[x],low[v]);
if(low[v]>dfn[x]){
is_bridge[i]=1;
is_bridge[i^1]=1;
}
}
else if(v!=fa)low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
}
void dfs(int x){
vis[x]=1;
eDCC[cnt].push_back(x);
for(int i=head[x];i;i=bian[i].nest){
if(is_bridge[i])continue;
int v=bian[i].to;
if(vis[v])continue;
dfs(v);
}
}
void get(){
for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])cnt++,dfs(i);
}
}G;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int s1=0,s2=0;
scanf("%d%d",&s1,&s2);
G.add(s1,s2),G.add(s2,s1);
}
G.get();
printf("%d\n",G.cnt);
for(int i=1;i<=G.cnt;i++,putchar('\n')){
printf("%u ",G.eDCC[i].size());
for(auto j:G.eDCC[i])printf("%d ",j);
}
return 0;
}