CF1612E(概率，独立贡献计算+枚举)

Problem - 1612E - Codeforces

题目

Monocarp 是 \(n\) 个学生的导师。现在有很多条消息，Monocarp 希望第 \(i\) 个学生阅读编号为 \(m_i\) 的消息。他需要把一些消息置顶，因为学生只会阅读置顶的消息。

学生 \(i\) 有一个属性 \(k_i\)。如果你置顶了 \(t\) 条消息，若 \(t\le k_i\)， 该学生会阅读所有置顶消息；否则，该学生会从置顶的 \(t\) 条消息中随机选 \(k_i\) 条阅读。

你需要求出在使得第 \(i\) 名学生阅读到第 \(k_i\) 条消息的 \(i\) 的数量的期望值最大时，你应该置顶哪些消息。如果有多个答案，输出任意一种。

\(k_i \le 20\)

思路

由于 \(k_i\) 非常小，可以猜测总的置顶数应该也不大，也就是可以枚举的。于是记 \(tot\) 为总的置顶数。

对每个信息考虑，可以写出每个信息 \(m\) 的贡献是 \(\sum_i^n \frac{min(k[i], tot)}{tot},where~~ \exist c_j,c_j=m\) 这里 \(c_j\) 是答案序列中的某一项。

可以发现，它只和自己有关，不同信息之间彼此独立。

于是我们就可以分别计算每个信息的单点贡献，之后取最大的作为答案。

最后，试着证明一下总置顶数不会太大的正确性。我们设 \(w\) 为 \(tot=20\) 时每个人的贡献序列。\(w_i = \frac{min(k[i],tot)}{tot}=\frac{k[i]}{tot}\) 。所以当 \(tot > 20\) 时, \(w\) 不再发生变化。

我们设 \(ans_{20}\) 是 \(tot = 20\) 时的答案，并让 \(w\) 按降序排序，考虑 \(ans_{21}\)。有

\(ans_{20} = \sum_{i=1}^{20}w_i/20\)

\(ans_{21}=\sum_{i=1}^{21}w_i/21\)

作差后易得， \(ans_{20} \ge ans_{21}\)。同理可证其他 \(tot > 20\) 的情况。

#include<iostream>
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#include<cassert>
#include<functional>
#include<iomanip>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll
#define endl '\n'
#define ll long long
// #define int long long
#define SZ(x) (int)x.size()
#define rep(i,a,n) for(int i = (a);i <= (n);i++)
#define dec(i,n,a) for(int i = (n);i >= (a);i--)
using namespace std;
using PII = pair<int,int>;
mt19937 mrand(random_device{}());
int rnd(int x) { return mrand() % x;}
const int N =10 + 2e5 ,mod=1e9 + 7;
const int MAX = 2e5;
int k[N], m[N], n;
PII w[N];
void solve()
{    
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> m[i] >> k[i];

    double mx = 0;
    vector<int> Ans;
    for(int tot = 1;tot <= min(20, n);tot ++) {
        memset(w, 0, sizeof w);
        for(int i = 1;i <= n;i ++) {
            w[m[i]].first += min(k[i], tot);
            w[m[i]].second = m[i];
        }
        
        nth_element(w + 1, w + tot, w + MAX + 1, greater<PII>());

        int res = 0;
        vector<int> ans;
        for(int i = 1;i <= tot;i ++) {
            res += w[i].first;
            ans.emplace_back(w[i].second);
        }

        if(1. * res / tot > mx) {
            mx = 1. * res / tot;
            Ans = ans;
        }
    }

    cout << SZ(Ans) << endl;
    for(auto x : Ans) cout << x << " ";
    cout << endl;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

    //int T;cin>>T;
    //while(T--)
        solve();

    return 0;
}