\[\newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\s}{\mathsf} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \]
I. Vector Spaces
I.I. Introduction
向量加法满足 平行四边形法则(Parallelogram Law for Vector Addition)。
向量的长度可以被 标量乘法(scalar multiplication)修改。两非零向量平行，若 \(\b y=t\b x\)。
I.II. Vector Spaces
关于域 \(F\) 定义的 线性空间(Linear Space)/向量空间(Vector Space) \(\s V\) 是关于向量加法和标量乘法定义的代数结构，满足：
- 对于 \(\s V\) 中的两个元素 \(\b x,\b y\)，存在唯一元素 \(\b x+\b y\)。
- 对于 \(F\) 中元素 \(t\) 和 \(\s V\) 中元素 \(\b x\)，存在唯一元素 \(t\b x\)。
- 满足其它一堆交换律、结合律、分配律之类。
\(F\) 中的元素称作 标量(scalars)，而 \(\s V\) 中的元素称作 向量(vectors)。
\(F\) 上的一个 \(n\) 元组(\(n\)-tuple with entries from \(F\))是 \((a_1,a_2,\dots,a_n)\)，其中的每个 \(a_i\) 称作 \(n\) 元组的 项(entry)或 成分/元素(component)。
\(F\) 上全体 \(n\) 元组构成集合记作 \(\s F^n\)，则其是关于 \(F\) 定义的一个线性空间。\(\s F^n\) 中的元素往往被记作列向量
\[\bmat{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\in\s F^n \]特别地，一元组也可以被当成 \(F\) 中的单一元素，所以 \(\s F^1\) 常被直接写成 \(F\)。
\(m\times n\) 矩阵是 \(m\) 行 \(n\) 列矩阵，其中项被记作如 \(a_{ij}\) 形式。对角项(diagonal entry)称呼 \(i=j\) 的项。零矩阵被记作 \(O\)。
I.III. Subspaces
关于 \(F\) 定义的向量空间 \(\s V\) 拥有向量空间 \(\s W\) 作为 子空间(subspace)，若 \(\s W\) 是 \(\s V\) 的子集，且 \(\s W\) 关于 \(F\) 是向量空间。
验证子空间只需验证如下条款：
- 加法封闭。
- 标量乘法封闭。
- 存在零元。
矩阵 \(A\) 的 转置(transpose) 记作 \(A^t\)。对称矩阵(symmetric matrix)是转置等于自身的矩阵。易验证全体对称矩阵组成的空间是全体方阵空间的子空间。对角矩阵(diagonal matrix)是仅有对角线元素可能非零的矩阵。对角矩阵全体亦是子空间。零子空间(zero subspace)是仅含零元的子空间。
矩阵的 迹(trace)是全体对角线元素之和，记作 \(\tr(M)\)。所有零迹矩阵构成子空间。
子空间的交仍是子空间。
上三角(upper triangular)矩阵是对角线下方元素均为零的矩阵。上三角矩阵构成子空间。
斜对称矩阵/交错矩阵/反对称矩阵(skew symmetric matrix)是满足 \(A^T+A=0\) 的矩阵。斜对称矩阵全体构成子空间。
I.IV. Linear Combination and Systems of Linear Equations
令 \(S\) 是线性空间 \(\s V\) 的子集。\(\s V\) 中的元素 \(\b v\) 被称作 \(S\) 中元素的 线性组合(linear combination)如果存在标量 系数(coefficient) \(u_1,\dots,u_n\) 使得 \(\b v=\sum u_i\b s_i\)。
全体线性组合称作该集合的 生成集合(span)，记作 \(\span(S)\)。所有的生成集合都是子空间。且若子空间 \(\s U\) 包含 \(S\)，则其必然包含 \(\span(S)\)。
\(S\) 生成(generate/span)子空间 \(\s V\)，若 \(\span(S)=\s V\)。也可以说 \(S\) 中向量共同生成 \(\s V\)。
I.V. Linear Dependence and Linear Independence
一组集合称为 线性相关(adj.linearly dependent; n.linear dependence)的，若存在非零系数使其组合出 \(0\)；通过全零系数组合出零被称作 平凡表示(trivial representation)。反之，非线性相关即为 线性无关(adj.linearly independent; n.linear independence)。
线性无关集合的子集均为线性无关；反之，线性相关集合的超集均为线性相关。
对于线性无关的集合 \(S\) 和向量 \(\b v\)，\(S\cup\{\b v\}\) 线性无关当且仅当 \(\b v\notin\span(S)\)。
I.VI. Bases and Dimension
线性空间的 基(basis)是线性无关且生成之的集合。令基为 \(\beta=\{\b u_1,\dots,\b u_n\}\)，则此时线性空间中每个元素 \(\b v\) 均存在唯一系数 \(a_1,\dots,a_n\) 使得
\[\sum a_i\b u_i=\b v \]可以被有限集合生成的线性空间均可以找到该集合的子集作为一组基。换言之，有限生成集合(finite spanning set)可以被收缩为基。
取代定理(replacement theorem)：对含 \(n\) 个元素的集合 \(G\) 生成的线性空间 \(\s V\)，若 \(L\) 是 \(\s V\) 中的一个线性无关的 \(m\) 元子集，则 \(m\leq n\) 且可以从 \(G\) 中挑选 \(n-m\) 个向量组成 \(H\)，并使用 \(L\cup H\) 生成 \(\s V\)。
初始令 \(H=G\)，每次尝试引入 \(L\) 中一个元素，并开除 \(H\) 中一个元素。
考虑当前尝试引入 \(\b v\)。其在 \(H\) 和 \(L\) 的前半下共同展开为 \(\sum a_i\b u_i+\sum b_i\b w_i\)，其中 \(\b u_i\) 来自 \(H\)、\(\b w_i\) 来自 \(L\) 的前半。因为 \(L\) 线性无关，所以 \(a_i\) 不可能全非零，于是从中挑出任一一个非零元 \(a_i\b u_i\)，用 \(\b v\) 换掉 \(\b u_i\) 即可。
于是得到推论：任两组有限基含同数目元素。
一个线性空间是 有限维(finite-dimentional)的，若其任一组基含有限元素。该基的元素数目称作该线性空间的 维数(dimention)。非有限维即为 无限维(infinite-dimentional)
推论：对于 \(n\) 维线性空间 \(\s V\)：
- 其有限生成集含至少 \(n\) 元素；含恰 \(n\) 元素的有限生成集即为基。
- 线性无关集含至多 \(n\) 元素；含恰 \(n\) 元素的线性无关集即为基。
- 任一线性无关集可被扩充为基。
子空间的维数必然小于母空间的维数，且若二者等维则子空间等于母空间。
标签：太线,元素,矩阵,疑似,线性,空间,集合,代化,向量 From： https://www.cnblogs.com/Troverld/p/18410844