本章将介绍感知机 A
（perceptron）这一算法。感知机是由美国学者 Frank
Rosenblatt 在 1957 年提出来的。为何我们现在还要学习这一很久以前就有
的算法呢？因为感知机也是作为神经网络（深度学习）的起源的算法。因此，
学习感知机的构造也就是学习通向神经网络和深度学习的一种重要思想。
本章我们将简单介绍一下感知机，并用感知机解决一些简单的问题。希
望读者通过这个过程能熟悉感知机。
2.1 感知机是什么
感知机接收多个输入信号，输出一个信号。这里所说的“信号”可以想
象成电流或河流那样具备“流动性”的东西。像电流流过导线，向前方输送
电子一样，感知机的信号也会形成流，向前方输送信息。但是，和实际的电
流不同的是，感知机的信号只有“流 / 不流”（1/0）两种取值。在本书中，0
对应“不传递信号”，1 对应“传递信号”。
图 2-1 是一个接收两个输入信号的感知机的例子。x1、x2 是输入信号，
y 是 输 出 信 号，w1、w2 是 权 重（w 是 weight 的 首 字 母）。图 中 的 ○ 称 为“神
经元”或者“节点”。输入信号被送往神经元时，会被分别乘以固定的权重（w1x1、w2x2）。神经元会计算传送过来的信号的总和，只有当这个总和超过
了某个界限值时，才会输出 1。这也称为“神经元被激活”。这里将这个界
限值称为阈值，用符号 θ 表示
权重相当于电流里所说的电阻。电阻是决定电流流动难度的参数，
电阻越低，通过的电流就越大。而感知机的权重则是值越大，通过
的信号就越大。不管是电阻还是权重，在控制信号流动难度（或者流
动容易度）这一点上的作用都是一样的。
2.2 简单逻辑电路
2.2.1 与门
现在让我们考虑用感知机来解决简单的问题。这里首先以逻辑电路为题
材来思考一下与门（AND gate）。与门是有两个输入和一个输出的门电路。图 2-2
这种输入信号和输出信号的对应表称为“真值表”。如图 2-2 所示，与门仅在
两个输入均为 1 时输出 1，其他时候则输出 0。
下面考虑用感知机来表示这个与门。需要做的就是确定能满足图 2-2 的
真值表的 w1、w2、θ 的值。那么，设定什么样的值才能制作出满足图 2-2 的
条件的感知机呢？
实际上，满足图 2-2 的条件的参数的选择方法有无数多个。比如，当
(w1, w2, θ) = (0.5, 0.5, 0.7) 时，可 以 满 足 图 2-2 的 条 件。此 外，当 (w1, w2, θ)
为 (0.5, 0.5, 0.8) 或者 (1.0, 1.0, 1.0) 时，同样也满足与门的条件。设定这样的
参数后，仅当 x1 和 x2 同时为 1 时，信号的加权总和才会超过给定的阈值 θ。
2.2.2 与非门和或门
接着，我们再来考虑一下与非门（NAND gate）。NAND 是 Not AND 的意思，与非门就是颠倒了与门的输出。用真值表表示的话，如图 2-3 所示，
仅当 x1 和 x2 同时为 1 时输出 0，其他时候则输出 1。那么与非门的参数又可
以是什么样的组合呢？
要表示与非门，可以用 (w1, w2, θ) = (−0.5, −0.5, −0.7) 这样的组合（其
他的组合也是无限存在的）。实际上，只要把实现与门的参数值的符号取反，
就可以实现与非门。
接下来看一下图 2-4 所示的或门。或门是“只要有一个输入信号是 1，输
出就为 1”的逻辑电路。那么我们来思考一下，应该为这个或门设定什么样
的参数呢？
这里决定感知机参数的并不是计算机，而是我们人。我们看着真值
表这种“训练数据”，人工考虑（想到）了参数的值。而机器学习的课
题就是将这个决定参数值的工作交由计算机自动进行。学习是确定
合适的参数的过程，而人要做的是思考感知机的构造（模型），并把
训练数据交给计算机。
如上所示，我们已经知道使用感知机可以表示与门、与非门、或门的逻
辑电路。这里重要的一点是：与门、与非门、或门的感知机构造是一样的。
实际上，3 个门电路只有参数的值（权重和阈值）不同。也就是说，相同构造
的感知机，只需通过适当地调整参数的值，就可以像“变色龙演员”表演不
同的角色一样，变身为与门、与非门、或门。
2.3.2 导入权重和偏置
刚才的与门的实现比较直接、容易理解，但是考虑到以后的事情，我们
将其修改为另外一种实现形式。在此之前，首先把式（2.1）的 θ 换成 −b，于
是就可以用式（2.2）来表示感知机的行为。
式（2.1）和式（2.2）虽然有一个符号不同，但表达的内容是完全相同的。
此处，b 称为偏置，w1 和 w2 称为权重。如式（2.2）所示，感知机会计算输入
信号和权重的乘积，然后加上偏置，如果这个值大于 0 则输出 1，否则输出 0。
下面，我们使用 NumPy，按式（2.2）的方式实现感知机。在这个过程中，我
们用 Python 的解释器逐一确认结果。
这里把 − θ 命名为偏置 b，但是请注意，偏置和权重 w1、w2 的作用是不
一样的。具体地说，w1 和 w2 是控制输入信号的重要性的参数，而偏置是调
整神经元被激活的容易程度（输出信号为 1 的程度）的参数。比如，若 b 为
−0.1，则只要输入信号的加权总和超过 0.1，神经元就会被激活。但是如果 b
为 −20.0，则输入信号的加权总和必须超过 20.0，神经元才会被激活。像这样，
偏置的值决定了神经元被激活的容易程度。另外，这里我们将 w1 和 w2 称为权重，
将 b 称为偏置，但是根据上下文，有时也会将 b、w1、w2 这些参数统称为权重。
偏置这个术语，有“穿木屐”A 的效果，即在没有任何输入时（输入为
0 时），给输出穿上多高的木屐（加上多大的值）的意思。实际上，在
式 (2.2) 的 b + w1x1 + w2x2 的计算中，当输入 x1 和 x2 为 0 时，只输出
偏置的值。
我们在 2.2 节介绍过，与门、与非门、或门是具有相同构造的感知机，
区别只在于权重参数的值。因此，在与非门和或门的实现中，仅设置权重和
偏置的值这一点和与门的实现不同。
2.4 感知机的局限性
感知机的局限性
到这里我们已经知道，使用感知机可以实现与门、与非门、或门三种逻
辑电路。现在我们来考虑一下异或门（XOR gate）。
2.4.1 异或门
异或门也被称为逻辑异或电路。如图 2-5 所示，仅当 x1 或 x2 中的一方为
1 时，才会输出 1（“异或”是拒绝其他的意思）。那么，要用感知机实现这个
异或门的话，应该设定什么样的权重参数呢？
实际上，用前面介绍的感知机是无法实现这个异或门的。为什么用感知
机可以实现与门、或门，却无法实现异或门呢？下面我们尝试通过画图来思
考其中的原因。
首先，我们试着将或门的动作形象化。或门的情况下，当权重参数
(b, w1, w2 ) = (−0.5, 1.0, 1.0) 时，可满足图 2-4 的真值表条件。此时，感知机
可用下面的式（2.3）表示。
式（2.3）表示的感知机会生成由直线 −0.5 + x1 + x2 = 0 分割开的两个空
间。其中一个空间输出 1，另一个空间输出 0，如图 2-6 所示。
图 2-6 感知机的可视化：灰色区域是感知机输出 0 的区域，这个区域与或门的性质一致
或门在 (x1, x2) = (0, 0) 时输出 0，在 (x1, x2) 为 (0, 1)、(1, 0)、(1, 1) 时输
出 1。图 2-6 中，○表示 0，△表示 1。如果想制作或门，需要用直线将图 2-6
这个地方就会去暴露这个这个感知机的局限性
当我们去执行这个异或XOF的时候，这个感知机中的这个公式不管是进行怎么样子的变化，都是无法去执行这个相应的图像的
2.4.2 线性和非线性
图 2-7 中的○和△无法用一条直线分开，但是如果将“直线”这个限制条
件去掉，就可以实现了。比如，我们可以像图 2-8 那样，作出分开○和△的空间。
感知机的局限性就在于它只能表示由一条直线分割的空间。图2-8 这样弯
曲的曲线无法用感知机表示。另外，由图 2-8 这样的曲线分割而成的空间称为
非线性空间，由直线分割而成的空间称为线性空间。线性、非线性这两个术
语在机器学习领域很常见，可以将其想象成图 2-6和图2-8所示的直线和曲线
2.5 多层感知机
感知机不能表示异或门让人深感遗憾，但也无需悲观。实际上，感知机
的绝妙之处在于它可以“叠加层”（通过叠加层来表示异或门是本节的要点）。
这里，我们暂且不考虑叠加层具体是指什么，先从其他视角来思考一下异或
门的问题。
2.5.1 已有门电路的组合
异或门的制作方法有很多，其中之一就是组合我们前面做好的与门、与
非门、或门进行配置。这里，与门、与非门、或门用图 2-9 中的符号表示。另外，
图 2-9 中与非门前端的○表示反转输出的意思。
那么，请思考一下，要实现异或门的话，需要如何配置与门、与非门和
或门呢？这里给大家一个提示，用与门、与非门、或门代替图 2-10 中的各个
“？”，就可以实现异或门。
这个地方，我们由原本的感知机对于非线性的相关的条件是无法进行相应的实现的
所以我们由一层感知机不能实现而受到启发
采用多层感知机去进行实现
2.4 节讲到的感知机的局限性，严格地讲，应该是“单层感知机无法
表示异或门”或者“单层感知机无法分离非线性空间”。接下来，我
们将看到通过组合感知机（叠加层）就可以实现异或门。
异或门可以通过图 2-11 所示的配置来实现。这里，x1 和 x2 表示输入信号，
y 表示输出信号。x1 和 x2 是与非门和或门的输入，而与非门和或门的输出则
是与门的输入。
现在，我们来确认一下图 2-11 的配置是否真正实现了异或门。这里，把
s1 作为与非门的输出，把 s2 作为或门的输出，填入真值表中。结果如图 2-12
所示，观察 x1、x2、y，可以发现确实符合异或门的输出
我们由在原来三个的相关的基础上
就去实现这个XOR
这样，异或门的实现就完成了。下面我们试着用感知机的表示方法（明
确地显示神经元）来表示这个异或门，结果如图 2-13 所示。
如图 2-13 所示，异或门是一种多层结构的神经网络。这里，将最左边的
一列称为第 0 层，中间的一列称为第 1 层，最右边的一列称为第 2 层。
图 2-13 所示的感知机与前面介绍的与门、或门的感知机（图 2-1）形状不
同。实际上，与门、或门是单层感知机，而异或门是 2 层感知机。叠加了多
层的感知机也称为多层感知机（multi-layered perceptron）。
感知机总共由 3 层构成，但是因为拥有权重的层实质
上只有 2 层（第 0 层和第 1 层之间，第 1 层和第 2 层之间），所以称
为“2 层感知机”。不过，有的文献认为图 2-13 的感知机是由 3 层
构成的，因而将其称为“3 层感知机”。
在图 2-13 所示的 2 层感知机中，先在第 0 层和第 1 层的神经元之间进行
信号的传送和接收，然后在第 1 层和第 2 层之间进行信号的传送和接收，具
体如下所示。
1. 第 0 层的两个神经元接收输入信号，并将信号发送至第 1 层的神经元。
2. 第 1 层的神经元将信号发送至第 2 层的神经元，第 2 层的神经元输出 y。
这种 2 层感知机的运行过程可以比作流水线的组装作业。第 1 段（第 1 层）
的工人对传送过来的零件进行加工，完成后再传送给第 2 段（第 2 层）的工人。
第 2 层的工人对第 1 层的工人传过来的零件进行加工，完成这个零件后出货
（输出）。
像这样，在异或门的感知机中，工人之间不断进行零件的传送。通过这
样的结构（2 层结构），感知机得以实现异或门。这可以解释为“单层感知机
无法表示的东西，通过增加一层就可以解决”。也就是说，通过叠加层（加深
层），感知机能进行更加灵活的表示。
2.6 从与非门到计算机
多层感知机可以实现比之前见到的电路更复杂的电路。比如，进行加法
运算的加法器也可以用感知机实现。此外，将二进制转换为十进制的编码器、
满足某些条件就输出 1 的电路（用于等价检验的电路）等也可以用感知机表示。
实际上，使用感知机甚至可以表示计算机！
计算机是处理信息的机器。向计算机中输入一些信息后，它会按照某种
既定的方法进行处理，然后输出结果。所谓“按照某种既定的方法进行处理”
是指，计算机和感知机一样，也有输入和输出，会按照某个既定的规则进行
计算。
人们一般会认为计算机内部进行的处理非常复杂，而令人惊讶的是，实
际上只需要通过与非门的组合，就能再现计算机进行的处理。这一令人吃惊
的事实说明了什么呢？说明使用感知机也可以表示计算机。前面也介绍了，
与非门可以使用感知机实现。也就是说，如果通过组合与非门可以实现计算
机的话，那么通过组合感知机也可以表示计算机（感知机的组合可以通过叠
加了多层的单层感知机来表示）。
说到仅通过与非门的组合就能实现计算机，大家也许一下子很难相信。
建议有兴趣的读者看一下《计算机系统要素：从零开始构建现代计
算机》。这本书以深入理解计算机为主题，论述了通过 NAND 构建可
运行俄罗斯方块的计算机的过程。此书能让读者真实体会到，通过
简单的 NAND 元件就可以实现计算机这样复杂的系统。
综上，多层感知机能够进行复杂的表示，甚至可以构建计算机。那么，
什么构造的感知机才能表示计算机呢？层级多深才可以构建计算机呢？
理论上可以说 2 层感知机就能构建计算机。这是因为，已有研究证明，
2 层感知机（严格地说是激活函数使用了非线性的 sigmoid 函数的感知机，具
体请参照下一章）可以表示任意函数。但是，使用 2 层感知机的构造，通过
设定合适的权重来构建计算机是一件非常累人的事情。实际上，在用与非门
等低层的元件构建计算机的情况下，分阶段地制作所需的零件（模块）会比
较自然，即先实现与门和或门，然后实现半加器和全加器，接着实现算数逻
辑单元（ALU），然后实现 CPU。因此，通过感知机表示计算机时，使用叠
加了多层的构造来实现是比较自然的流程。
