据说是个典，记录一下吧。
题意
给你 \(\{a_{2^n}\}\) 和 \(q\) 次操作，下标从 0 开始。操作如下：
1 x，表示查询 \(\sum_{y\operatorname{or} x=x}a_y\) 的值。2 x v，表示 \(a_x\leftarrow v\)
\(n\le 20,q\le 3\times10^5\)。
分析
令 \(y\) 为 \(x\) 的子集当且仅当 \(y\operatorname{or}x=x\)。
考虑一个经典的暴力：查询的时候暴力枚举所有子集的 \(a_i\) 并求和，修改 \(O(1)\)，查询 \(O(2^n)\)。
发现修改和查询复杂度极度不平衡，考虑另一个能快速查询的暴力：设 \(f_S\) 为 \(S\) 的所有子集的权值和。操作前把所有的 \(f_S\) 用高维前缀和 \(O(2^nn)\) 求出来（https://www.cnblogs.com/dcytrl/p/18406487 在线推销高维前缀和），修改时需要修改 \(S\) 的所有超集的 \(f\) 值，修改 \(O(2^n)\)，查询 \(O(1)\)。
考虑一下怎么结合这两个暴力？
考虑将 \(2^n\) 的前 \(B=\dfrac{n}{2}\) 位（低 \(B\) 位）和后 \(B\) 位（高 \(B\) 位）分别考虑，对于后 \(B\) 位维护 \(f_{S,T}\) 表示当后十位为 \(S\) 时前十位的高维前缀和。也就是说，对于后 \(B\) 位，采用第一种暴力；对于前 \(B\) 位，采用第二种暴力。
修改的话，由于我们要对前 \(10\) 位采用第二种暴力，所以直接枚举 \(S\) 的前 \(B\) 位的所有超集并更新它们的 \(f\)，单次复杂度 \(O(2^{B})\)。
查询的话，由于我们要对后 \(10\) 位采用第一种暴力，所以直接枚举 \(S\) 的后 \(B\) 位的所有子集，然后直接 \(O(1)\) 地取出对应的 \(S\) 的前 \(10\) 位的高维前缀和，单次复杂度 \(O(2^{B})\)。
时间复杂度 \(O(2^{n}B+q2^B)\)。实现时，为了方便直接令 \(B=10\)。
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(i64 x,char ch='\0'){
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
int y=0;char z[40];
while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1048576,maxm=1024,inf=0x3f3f3f3f,B=10,Ub=(1<<B)-1;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,Q;
int a[maxn];
i64 f[maxm][maxm];
inline void solve_the_problem(){
n=(1<<rd())-1,Q=rd();rep(i,0,n)a[i]=rd();
rep(i,0,Ub)rep(j,0,Ub)f[i][j]=a[(i<<B)|j];
rep(S,0,Ub){
rep(i,0,B-1)rep(T,0,Ub){
if(T&(1<<i))f[S][T]+=f[S][T^(1<<i)];
}
}
while(Q--){
int op=rd(),S=rd(),x,delta;
if(op==2){
x=rd(),delta=x-a[S],a[S]=x;
const int X=S>>B,S_=S&Ub,_S_=Ub^S_;
for(int T=_S_;;T=(T-1)&_S_){
f[X][T|S_]+=delta;
if(!T)break;
}
}else{
i64 ans=0;
const int S_=S>>B,Y=S&Ub;
for(int T=S_;;T=(T-1)&S_){
ans+=f[T][Y];
if(!T)break;
}
write(ans,10);
}
}
}
bool Med;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
// fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
int _=1;
while(_--)solve_the_problem();
}
/*
*/