为了研究的便利，本文对Vienna整流器的数学模型进行了理想化处理，并作出了以下假设：①三相输入电压为理想且平衡的正弦波；②电路中的所有器件皆为理想器件；③交流侧电感不会饱和；④开关频率远大于电网频率；⑤三个交流侧电感和两个直流侧电容参数分别相同。接下来分别讨论Vienna整流器在abc坐标系和dq坐标系下的数学模型。
1. abc坐标系下的数学模型
建立Vienna整流器数学模型的关键是对每相桥臂交流侧电压进行数学处理，而每相桥臂交流侧电压与双向开关的工作状态和输入电流方向有关。首先引入开关函数的概念，定义第i相的开关函数为Si：
式中，i=a, b, c； ii为第i相的电流。
根据Vienna整流器的工作原理，将双向开关等效为一个单刀三掷开关，如图3-1所示。从而开关函数Si可以用Sip、Sio、Sin三个基本状态表示，当基本状态导通时的值为1，断开时为0。则开关函数Si进一步表示为：
图 3-1 Vienna整流器等效电路
同时，Sip、Sio、Sin三个基本开关状态满足以下关系：
式中，i=a, b, c；j=p, o, n。
根据状态平均法可以得到每相桥臂交流侧对直流侧中点M的电压：
式中，VC1、VC2分别为直流侧电容C1和C2的电压。
整流器的三相回路方程为：
式中，va、vb、vc分别为三相输入电压；L1、L2、L3分别为交流侧电感值；ia、ib、ic分别为三相输入电流；R为交流侧等效电阻；vaN、vbN、vcN分别为桥臂交流输入端对电网中性点N的电压，可以表示为：
式中，vMN为直流侧中点M对电网中性点N的电压。
在三相平衡时， 可得：
则直流侧中点M对电网中性点N的电压为：
进一步可得：
对于节点 p， 有：
对于直流侧中点M，有：
对于直流侧回路， 有：
式中，iR为直流侧的负载电流；iC1、iC2分别为两个电容中的电流；C1、C2为直流侧的电容值，Ro为直流侧的负载电阻值。
综合以上所有公式， 整理可得：
由上式可知， 在三相电网电压平衡的条件下， Vienna整流器在abc坐标系下的数学模型如下：
式中，
2. dq坐标系下的数学模型
Vienna整流器在abc坐标系下的数学模型虽然清晰直观，但其中包含了三相电压和三相电流的交流量，这让控制系统设计起来比较困难。通过坐标变换可以把Vienna整流器abc坐标系下的数学模型转换到dq坐标系下，从而把控制困难的交流量转换为控制容易的直流量。abc坐标系到dq坐标系的变换矩阵为：
式中， ω为dq坐标系旋转的电角速度；θ为dq坐标系相对于a轴的初始电角度。
利用变换矩阵，将abc坐标系中的变量转换为dq坐标系中的变量， 变换公式如下：
式中， X为电路各处的电压和电流。
开关函数也能进行坐标变换， 可得：
将以上变换式代入abc坐标系下的数学模型可得：
则Vienna整流器在dq坐标系下的数学模型如下：
式中，
