【博士最详细分析】2024年高教社杯国赛C题：农作物的种植策略问题分析

【2024高教社杯全国大学生数学建模竞赛】

C题农作物的种植策略 最详细的问题分析

精要

总结一句话，题目很复杂，但要明白这就一个优化问题。优化问题，只有两个东西。第一个是目标函数，第二个是约束条件。建立好目标函数后，然后就在题目中挖掘所有的约束条件。不要被具体的数据晃瞎了眼，捋清楚数据之间的关系就行，具体数值是留给编程的人根据数学模型来统计的，先建立好模型，再去考虑具体的数值的应用。

题目

根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。

某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩，分散为 34 个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有 16 个普通大棚和 4 个智慧大棚，每个大棚耕地面积为 0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。详见附件 1。根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产；因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从 2023 年开始要求每个地块（含大棚）的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023年的农作物种植和相关统计数据见附件 2。

请建立数学模型，研究下列问题：

问题 1 假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果分别填入result1_1.xlsx 和 result1_2.xlsx 中（模板文件见附件 3）。

(1) 超过部分滞销，造成浪费；

(2) 超过部分按 2023 年销售价格的 50%降价出售。

问题 2 根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于 2023 年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长 5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。

请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果填入 result2.xlsx 中（模板文件见附件 3）。

问题 3 在现实生活中，各种农作物之间可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销售价格、种植成本之间也存在一定的相关性。请在问题 2 的基础上综合考虑相关因素，给出该乡村

2024~2030 年农作物的最优种植策略，通过模拟数据进行求解，并与问题 2 的结果作比较分析。

1 问题一分析

题目要求最大化种植收益并尽量减少浪费。并且两种情况涉及不同的目标：一是避免产能过剩带来的浪费，二是考虑降价销售的情况。分为两种情况设计两种最优的种植策略。需要结合不同地块的类型、面积，以及种植要求（单季、多季、轮作等），合理安排各类农作物的种植分配。要求尽量集中化种植，以方便田间管理，减少分散种植带来的管理难度和效率低下的问题。

（1）首先分析种植资源和限制条件的数据

地块分类：明确乡村的不同类型地块，包括平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚。不同地块适合种植的作物类型不同：

• 平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）。
• 水浇地：适合种植一季水稻或两季蔬菜。
• 普通大棚：每年种植一季蔬菜和一季食用菌。
• 智慧大棚：每年种植两季蔬菜。

地块面积：每个地块的耕地面积不同，决定了各地块能承载的种植规模。例如，A1 地块有 80 亩，F1 智慧大棚为 0.6 亩。

轮作制度：由于豆类作物的根菌作用，要求三年内每个地块至少种植一次豆类作物。必须合理安排豆类作物的轮种，避免重茬种植。

种植物分类：

• 粮食：黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
• 蔬菜：豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜 、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜 、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
• 食用菌：榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。

市场需求和产量：

• 各类农作物在6种耕地的亩产量：可附件2中的”2023年统计的相关数据“进行统计计算，每种农作物在每种耕地上的亩产量唯一，即同一种农作物，不同的耕地产量会不一样。
• 市场预期销售量：注意，这里计算销售量，是以季为单位，分别计算第一季的销售量为S1，第二季的销售量为S2
• 种植成本：种植成本只和农作物有关，与耕地类型无关。
• 销售价格都保持和2023一样，一种农作物一个季度，一个价格，即同一种农作物，不同的季度价格不一样。

（2）第一小问

目标是减少浪费，合理控制高产作物的种植面积，集中化种植，同时保证豆类作物的合理轮作，避免过量种植低需求作物。因为超过部分滞销，会造成浪费，则最大化产量与预期销售量的匹配，避免浪费。首先只考虑2024年一整年的，不需要考虑连续多年种植的问题，即只考虑两个季度的分配。

目标函数：2024最大化产量

约束：

• 粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
• 蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜 、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜 、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
• 食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
• 所有种植作物的总面积不超过可用耕地总面积

• 所有作物的种植面积必须是非负的
• 作物的亩产量和2023年一样，（E_{作物，地块类型，季度}）
• 种植成本和2023年一样
• 平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）
• 水浇地适合种植一季水稻或两季蔬菜
• 普通大棚每年种植一季蔬菜和一季食用菌
• 智慧大棚每年种植两季蔬菜
• 优先考虑产量较大的作物
• 总产量小于或等于2023预期销售量
• 严格限制每个作物的种植面积，使得产量与2023的销售量匹配（不同点）

（3）第二小问

目标是最大化收益，在考虑市场需求的前提下，适度增加高产作物的种植面积，利用降价销售的方式提高总收益。因为超出部分可以降价继续销售。则建立最大化收益目标，可以考虑部分产量降价出售。合理分配两季作物种植的耕地，尤其是智慧大棚和水浇地，最大化利用它们的多季种植优势。

目标函数：最大化收益

约束：

• 粮食有黄豆、黑豆、红豆、绿豆、爬豆、小麦、玉米、谷子、高粱、黍子、荞麦、南瓜、红薯、莜麦、大麦、水稻。
• 蔬菜有豇豆、刀豆、芸豆、土豆、西红柿、茄子、菠菜 、青椒、菜花、包菜、油麦菜、小青菜、黄瓜、生菜 、辣椒、空心菜、黄心菜、芹菜、大白菜、白萝卜、红萝卜。
• 食用菌有榆黄菇、香菇、白灵菇、羊肚菌。
• 所有种植作物的总面积不超过可用耕地总面积

• 所有作物的种植面积必须是非负的
• 作物的亩产量和2023年一样
• 种植成本和2023年一样
• 平旱地、梯田、山坡地：适宜种植粮食类作物（如小麦、玉米等）
• 水浇地适合种植一季水稻或两季蔬菜
• 普通大棚每年种植一季蔬菜和一季食用菌
• 智慧大棚每年种植两季蔬菜
• 在第一季度有剩余的，第二季度可以降价50%销售（不同点）
• 优先考虑种植高价值作物的种植面积，高价值的作物产量超过2023销售量，而低价值的作物避免超产（不同点）
• 优先使用智慧大棚和水浇地（不同点）

（4）隐藏的第三小问

在2024的方案基础上，微调方案，增加两条约束，重新计算出2025、2026、2027、2028、2029、2030的分配计划。要求考虑两点

• 每种作物在同一地块都不能连续重茬种植。
• 从 2023 年开始要求每个地块的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。

2 问题二分析

由于市场需求、气候、成本等因素的变化存在不确定性，在问题一的基础上要考虑更多的风险约束和变量条件，目标仍然是最大化收益。并且提出假设不考虑滞销的问题，全部产出都能销售。首先针对2024年份，建立方案。

（1）确定主要的变化因素及其影响

略
（3）2025-2030年种植策略调整

微调方案，增加约束

• 逐年扩大小麦、玉米的种植面积
• 随着食用菌价格的逐年下降，逐年减少食用菌（尤其是羊肚菌）种植面积

3 问题三分析

这个题是属于敏感性分析了，因为计算过程比较复杂，具体在做的时候就考虑2-3个点实验后对比分析问题2的结果即可，可以从收益差异、种植结构的差异的角度去分析。在问题二的数学模型上进行一些调整后，重新计算。

首先对数据进行分析，从亩产量、种植成本、销售单价三个方面，分析每类作物、每种地块类型之间的相关性。然后根据相关性（替代性）、互补性，选出可替代作物。

然后提出某条假设后，优先选择可替代产物后，分析变化。比如

• 假设市场对某类粮食作物的需求下降或种植成本上升，增加其他粮食作物的种植面积，分析收益和种植结构有何变化。

• 假设如果某类蔬菜的市场表现不好（如价格下跌或成本上升），可以考虑替代种植其他蔬菜类作物。

  4 获取方式

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