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THE UNIVERSITY OF MANCHESTER-NUMERICAL ANALYSIS 2Final Exam2021

时间:2024-09-03 10:22:26浏览次数:14  
标签:2Final function phi Exam2021 UNIVERSITY polynomials int x2 mathrm

2. (a) Briey describe how orthogonal polynomials can be used to fi nd the nodes of Gaussian quadra-ture rules for a weighted integral ∫ a b f ( x ) w ( x ) d x . \int_{a}^bf(x)w(x)\mathrm{d}x. ∫ab​f(x)w(x)dx.(b) Using your described approach to find the nodes, and then the method of undetermined coefficients to find the weights, derive the Gauss quadrature rule of the form, ∫ − 1 1 f ( x ) ( 1 − x 2 ) 1 / 2   d x ≈ w 0 f ( x 0 ) + w 1 f ( x 1 ) . \int_{-1}^{1}f(x)(1-x^{2})^{1/2}\,\mathrm{d}x\approx w_{0}f(x_{0})+w_{1}f(x_{1}). ∫−11​f(x)(1−x2)1/2dx≈w0​f(x0​)+w1​f(x1​).You may use the following facts without proof: ϕ 0 ( x ) = 1 , ϕ 1 ( x ) = x , ϕ 2 ( x ) = x t , ϕ 2 ( x ) = x 2 − 1 / 4. \phi_{0}(x)=1, \phi_{1}(x)=x, \phi_{2}(x)= x t, \phi_{2}(x)=x^{2}-1/4. ϕ0​(x)=1,ϕ1​(x)=x,ϕ2​(x)=xt,ϕ2​(x)=x2−1/4. are orthogonal polynomials w.r.t. the weight function w ( x ) = ( 1 − x 2 ) 1 / 2 w(x)=(1-x^{2})^{1/2} w(x)=(1−x2)1/2 on ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1), and ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) 1 / 2 d x = π / 2. \int_{-1}^1(1-x^{2})^{1/2}\mathrm{d}x=\pi/2. ∫−11​(1−x2)1/2dx=π/2.

Ans:

4. Let f ∈ [ − 1 , 1 ] f\in [-1,1] f∈[−1,1] and let p n p_n pn​ be the best weighted L 2 L_2 L2​ approximation to f f f from polynomials of degree at most n n n with respect to the weight function w ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 / 2 w(x)=(1-x^{2})^{-1/2} w(x)=(1−x2)−1/2 on ( − 1 ; 1 ) . (-1; 1). (−1;1).

标签:2Final,function,phi,Exam2021,UNIVERSITY,polynomials,int,x2,mathrm
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