离散时间傅里叶变换(DTFT)

时间：2024-09-02 20:25:27浏览次数：13

由DFS到DTFT

周期为N、基波频率为 $\omega _{0}=\frac{2\pi}{N}$ 的离散时间傅里叶级数

$\tilde{x }[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} [\sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x }[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N} n}]e^{jk\frac{2\pi}{N} n}$

$\omega _{0}=\frac{2\pi}{N}$ ，为了表达的规范（为了容易看出来哪些部分来自正变换X(k)），把 n改成m

$\tilde{x }[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} [\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{x }[m]e^{-jk\omega _{0} m}]e^{jk\omega _{0} n}$

因为我们要得到函数在频域的表现，所以要以频率对周期进行代换

$\frac{1}{N}= \frac{\omega _{0}}{2\pi}$ ，当 $N \to\infty$ ， $\omega _{0} \to\Delta \omega \to 0$ ,用 $d\omega$ 表示， $k\omega _{0}$ 变成连续的变量 $\omega$ ， $\lim_{\Delta \omega \rightarrow 0 }\sum_{k=0}^{N-1} \Delta \omega$ 变成 $\int_{0}^{2\pi} d\omega$

$x [n]= \lim_{N\rightarrow \infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1} [\sum_{m=0}^{N-1} x [m]e^{-jm\omega}]e^{jn\omega }$

$=\frac{1}{2\pi} \lim_{\Delta \omega \rightarrow 0 }\sum_{k=0}^{N-1} [\sum_{m=0}^{N-1} x [m]e^{-jm\omega}]e^{jn\omega } \Delta \omega$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} [\sum_{m=0}^{N-1} x [m]e^{-jm\omega}]e^{jn\omega } d \omega$

考虑到:在0≤ n ≤N-1以外，x[n]=0这一特点，将求和区间扩展至-∞至+∞

$=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} [\sum_{m=-\infty }^{\infty } x [m]e^{-jm\omega}]e^{jn\omega } d \omega$

所以有正变换

$X(e^{j\omega })=\sum_{n=-\infty }^{\infty } x [n]e^{-j\omega n}$

逆变换

$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} X(e^{j\omega })e^{j\omega n } d \omega$

参考资料

《信号与系统》第二版于慧敏

离散时间傅里叶级数(DFS)-CSDN博客

傅里叶变换(FT)-CSDN博客

标签：FT,变换,博客,离散,CSDN,DTFT,傅里叶
From： https://blog.csdn.net/DGY_ChenYong/article/details/141750417

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