首页 > 其他分享 >[ICPC2020 WF] What's Our Vector, Victor?

[ICPC2020 WF] What's Our Vector, Victor?

时间:2024-08-31 17:25:23浏览次数:7  
标签:WF What ICPC2020 int double -- vec 向量 随机

给出 \(d\) 维空间的 \(n\) 个点及它们到某个定点的距离,你需要解出这个定点的坐标。

保证有解,任意输出一组解即可。

\(n,d\le 500\),所有点的坐标(包括定点)随机。

拜谢 zhy 大师!给出了一个十分简单好理解的做法!线代不好怎么办?我们可以猜猜结论!

首先这道题相当于是给了 \(n\) 个形如 \(\sum_{j=1}^d (a_{i,j}-x_j)^2=b_i^2\) 的方程,我们设 \(\sum_{j=1}^d x_j=x_{d+1}\),那么这道题的方程可以整理成关于 \(d+1\) 维向量 \(\vec{x}\) 的线性方程。

注意到这道题数据纯随机,这个条件在线代题中往往意味着每一个方程都是有用的!即,如果 \(n>d\),那么我们随便取出其中 \(d+1\) 个方程,组成的矩阵极有可能满秩,解之即可得到 \(\vec{x}\)。

如果 \(n=d\),难处在于 \(x_{d+1}\) 解不出来,但是我们还有二次方程 \(\sum_{j=1}^d x_j=x_{d+1}\)。所以我们可以先把所有 \(x_i(i\le d)\) 表示成关于 \(x_{d+1}\) 的线性表达式,然后带入二次方程中解个一元二次方程。

这道题真正的难点便落在 \(n<d\) 的情况上了。这种情况下,我们发现 \(n\) 个随机 \(d\) 维球壳相交(题目保证有交)结果极大概率是一个 \(d-n+1\) 维的球壳,也就是说我们有无穷多个解,我们需要任取一个,怎么办呢?

考虑对这个方程组进行基变换减少变量的个数。我们找一个一定包含至少一个答案的子线性空间,即选取 \(k\) 个合适的 \(d\) 维向量 \(\vec{v_i}\) 和一个原点 \(\vec{s}\),将 \(\vec{x}\) 表示成 \(\vec{s}+\sum_{i=1}^k r_i\vec{v_i}\),那么原线性方程就可以整理成关于 \(k\) 维向量 \(\vec{r}\) 的线性方程。

我们断言,我们可以简单构造一个 \(k=n\) 维的线性子空间一定包含至少两个答案!构造的方法意外的简单,我们先找到包含题目给出的 \(n\) 个球心的极小子线性空间 \(V'\),由于数据随机 \(V'\) 的维度也极大概率就是 \(n-1\) 维的!然后我们任意寻找一个不在 \(V'\) 里的一个点,考虑同时包含了这个点和 \(V'\) 的极小线性子空间 \(V\),这个 \(V\) 一定包含了至少两个答案。

严谨证明似乎我和 zhy 都不太会。但是很好进行感性理解,比如说 \(n=1,d=3\) 的情况,\(V'\) 仅包含球心,在 \(V'\) 外任选一个点,\(V\) 就会是一条过圆心的直线,这条直线一定会穿过球壳,交于两个点上。

这个题中如何具体寻找 \(V\) 的基向量 \(\vec{v_i}\) 非常简单!因为随机数据下原坐标系的原点大概率不在 \(V'\) 中,所以取 \(\vec{s}=\vec{0}\),取 \(\vec{v_i}\) 为原点指向这 \(n\) 个点的向量即可。

有了一个 \(k=n\) 维且包含答案的子空间后,我们直接运行类似 \(n=d\) 情况的算法解二次方程解出 \(\vec{r}\),就可以还原出 \(\vec{x}\)。

解二次方程时,大概率有两个不重的根,选取哪个根都是可以的!因为 \(V\) 与答案集合大概率恰好有两个交点!

代码十分好写。由于数据随机,高斯消元时你甚至不用移动方程的位置,直接认为第 \(i\) 个方程主元是 \(i\) 就可以了!

注意这份代码无法通过样例,因为样例不是随的,样例中原点正好在 \(V'\) 中(因为有球心直接落在了原点上!)。当然这个情况你可以自行随机一个向量把球心集体位移一下再位移回来。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=505;
int d,n;
inline double dot(double *f,double *g){
	double res=0;
	for(int i=1;i<=d;++i) res+=f[i]*g[i];
	return res;
}
double e[N][N],a[N][N],ra[N],rb[N],s[N][N];
int main(){
	scanf("%d%d",&d,&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=d+1;++j) scanf("%lf",&e[i][j]);
	if(d<n){
		for(int i=1;i<=d+1;++i){
			for(int j=1;j<=d;++j) a[i][j]=e[i][j]*2;
			a[i][d+1]=-1;
			a[i][d+2]=dot(e[i],e[i])-e[i][d+1]*e[i][d+1];
		}
		for(int i=1;i<=d+1;++i){
			for(int j=d+2;j>=i;--j) a[i][j]/=a[i][i];
			for(int j=i+1;j<=d+1;++j)
				for(int k=d+2;k>=i;--k) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
		}
		for(int i=d+1;i;--i)
			for(int j=1;j<i;++j) a[j][d+2]-=a[j][i]*a[i][d+2];
		for(int i=1;i<=d;++i) printf("%.8lf ",a[i][d+2]);
		putchar('\n');
	}
	else{
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=i;++j) s[i][j]=dot(e[i],e[j]);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=i+1;j<=n;++j) s[i][j]=s[j][i];
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=s[i][j]*2;
			a[i][n+1]=s[i][i]-e[i][d+1]*e[i][d+1];
			a[i][n+2]=1;
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=n+2;j>=i;--j) a[i][j]/=a[i][i];
			for(int j=i+1;j<=n;++j)
				for(int k=n+2;k>=i;--k) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
		}
		for(int i=n;i;--i){
			for(int j=i-1;j;--j){
				a[j][n+1]-=a[j][i]*a[i][n+1];
				a[j][n+2]-=a[j][i]*a[i][n+2];
			}
			for(int j=1;j<=d;++j){
				ra[j]+=e[i][j]*a[i][n+1];
				rb[j]+=e[i][j]*a[i][n+2];
			}
		}
		double A=0,B=0,C=0;
		for(int i=1;i<=d;++i){
			A+=rb[i]*rb[i];
			B+=2*ra[i]*rb[i];
			C+=ra[i]*ra[i];
		}
		--B;
		double r=(-B+sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
		for(int i=1;i<=d;++i) printf("%.8lf ",ra[i]+rb[i]*r);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

标签:WF,What,ICPC2020,int,double,--,vec,向量,随机
From: https://www.cnblogs.com/yyyyxh/p/18390451/vectorvictor

相关文章

  • [ICPC2020 WF] QC QC
    有\(n\)个人,有些人只会说真话有些人不一定,多于一半的人说真话,你需要进行不超过12轮询问确定哪些人一定说真话,每轮可以问每个人另一个人是不是一定说真话。离谱题目,就要用离谱做法。这个题其实可以压到6轮的!\(1\)代表一定说真话,\(0\)代表不一定。考虑只询问二元环,也就是......
  • [1051] What is RESTful API?
    ref:WhatisRESTfulAPI?WhatisRESTfulAPI?RESTfulAPIisaninterfacethattwocomputersystemsusetoexchangeinformationsecurelyovertheinternet.Mostbusinessapplicationshavetocommunicatewithotherinternalandthird-partyapplications......
  • What is rate limiting?
    Whatisratelimiting?Ratelimitingisastrategyforlimitingnetworktraffic.Itputsacaponhowoftensomeonecanrepeatanactionwithinacertaintimeframe–forinstance,tryingtologintoanaccount.Ratelimitingcanhelpstopcertainkindso......
  • 跟《经济学人》学英文:2024年08月24日这期 What to make of America’s topsy-turvy ec
    WhattomakeofAmerica’stopsy-turvyeconomyDon’tpanicjustyettopsy-turvy:颠倒的;混乱的;乱七八糟的;makeof:理解;认为;看待Makeof:这里的“makeof”意思是如何理解或解释某事物。结合上下文,这句话的意思是,如何理解或解释美国颠倒混乱的经济状况。例句:Idon......
  • JSP学校小卖部收银系统uwf3w(程序+源码+数据库+调试部署+开发环境)系统界面在最后面。
    系统程序文件列表项目功能:用户,员工,商品分类,商品信息,供应商,商品进货开题报告内容JSP学校小卖部收银系统 开题报告一、项目背景与意义1.1项目背景随着校园数字化管理的推进,学校小卖部作为学生日常消费的重要场所,其运营效率和服务质量受到了广泛关注。传统的小卖部......
  • WHAT - 前端跨端识别
    目录一、概述1.User-Agent字符串2.CSS媒体查询3.JavaScript检测功能4.第三方库总结二、拓展1.User-Agent篡改User-Agent字符串篡改的情况应对策略结论一、概述在现代前端开发中,确实需要处理各种终端和系统的兼容性。在stackoverflow也有一个相关的问......
  • [开题报告]FLASK框架长株潭旅游舆情系统e48wf(源码+论文)
    本系统(程序+源码+数据库+调试部署+开发环境)带论文文档1万字以上,文末可获取,系统界面在最后面。系统程序文件列表开题报告内容研究背景长株潭地区作为湖南省的经济与文化中心,拥有丰富的自然风光和深厚的人文底蕴,吸引了大量游客前来观光旅游。然而,随着旅游业的蓬勃发展,旅游舆......
  • Windows过滤平台(WFP)
    1.Windows动程序与Windows过滤平台(WFP)深度解析在Windows操作系统的核心架构中,驱动程序和网络过滤机制扮演着至关重要的角色。本文将深入探讨Windows驱动程序,特别是与网络相关的驱动程序,以及Windows过滤平台(WindowsFilteringPlatform,WFP)的工作原理、应用场景和开发......
  • Snowflake与Databricks:科技巨头之间的激烈竞争
      每周跟踪AI热点新闻动向和震撼发展想要探索生成式人工智能的前沿进展吗?订阅我们的简报,深入解析最新的技术突破、实际应用案例和未来的趋势。与全球数同行一同,从行业内部的深度分析和实用指南中受益。不要错过这个机会,成为AI领域的领跑者。点击订阅,与未来同行!订阅:https://......
  • C# WindowForm界面初探,窗体访问,绑定数据源,重载构造函数
    今日份主要内容C#WindowForm界面初探Winform项目模板,目录解析窗体对象控件对象界面设计基础1.控件?控件的本质是类,控件是构建用户界面(UserInterface)的基础,通过控件组合设计出符合需求的界面效果。相当于html的标签。基本要求:界面效果,布局交互(事件,委托)2.学习控件......