用manim证明函数的左右极限

标签：cos 函数 point1 0.1 self axes 极限 np manim

http://t.csdnimg.cn/2pVdFhttp://t.csdnimg.cn/2pVdF在上一节的最后两个示例中，我们看到了两个不存在的限制。然而，对于每个例子来说，每个限制不存在的原因是不同的。

我们看一下下面的例子：

$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{t}} \right)$

极限不存在，因为函数没有固定为单个值 t 走近 t=0。越接近 t=0 我们移动得越厉害，函数振荡得越厉害，为了存在一个极限，函数必须稳定到一个单一的值。

from manim import *  

class CosLimit(Scene):  
    def construct(self):  
        # 设置坐标轴  
        axes = Axes(  
            x_range=[-0.25, 0.25, 0.1],  # x 显示范围  
            y_range=[-1, 1.5, 1],        # y 显示范围  
            axis_config={"color": BLUE},  # 坐标轴颜色  
        )  
        
        # 创建函数: cos(pi/t)  
        cos_function = axes.plot(lambda t: np.cos(np.pi / t), x_range=[-0.5, 0.5], color=RED,stroke_width=5)  
        
        # 标签设置  
        function_label = axes.get_graph_label(cos_function, label='\\cos\\left(\\frac{\\pi}{t}\\right)')  
        
        # 添加坐标轴和函数到场景中  
        self.play(Create(axes), Create(cos_function), Write(function_label))  
        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察结果  

        # 创建两个点  
        point1 = Dot(axes.c2p(0.1, np.cos(np.pi / 0.1)), color=RED)  # 第一个点的初始位置  
        point2 = Dot(axes.c2p(-0.1, np.cos(np.pi / -0.1)), color=GREEN)  # 第二个点的初始位置  
        
        # 添加点到场景  
        self.play(Create(point1), Create(point2))  
        self.wait(1)  # 等待 1 秒以观察点  

        # 动画：使两个点移动到极限位置 (0, np.cos(+-inf))  
        self.play(  
            point1.animate.move_to(axes.c2p(0, 1)),  # 第一个点移动到 (0, 1)  
            point2.animate.move_to(axes.c2p(0, 1)),  # 第二个点移动到 (0, 1)  
            run_time=3  # 动画运行时间  
        )  
        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察点的移动  

        # 结束场景  
        self.play(FadeOut(axes), 
                  FadeOut(cos_function), FadeOut(function_label),
                  FadeOut(point1), FadeOut(point2))

运行结果：

接下来优化一下改代码：

from manim import *  

class CosLimitFollow(Scene):  
    def construct(self):  
        # 设置坐标轴  
        axes = Axes(  
            x_range=[-0.5, 0.5, 0.1],  # x 显示范围  
            y_range=[-1, 1, 1],        # y 显示范围  
            axis_config={"color": BLUE},  # 坐标轴颜色  
        )  
        
        # 创建函数: cos(pi/t)  
        cos_function = axes.plot(lambda t: np.cos(np.pi / t), x_range=[-0.5, 0.5], color=WHITE)  
        
        # 标签设置  
        function_label = axes.get_graph_label(cos_function, label='\\cos\\left(\\frac{\\pi}{t}\\right)')  
        
        # 添加坐标轴和函数到场景中  
        self.play(Create(axes), Create(cos_function), Write(function_label))  
        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察结果  

        # 根据函数设置点的起始位置  
        t1 = 0.1  # 第一个点的初始 t 值  
        t2 = -0.1  # 第二个点的初始 t 值  
        point1 = Dot(axes.c2p(t1, np.cos(np.pi / t1)), color=RED)  # 第一个点在初始位置  
        point2 = Dot(axes.c2p(t2, np.cos(np.pi / t2)), color=GREEN)  # 第二个点在初始位置  
        
        # 添加点到场景  
        self.play(Create(point1), Create(point2))  
        self.wait(1)  # 等待 1 秒以观察点  

        # 动画：使两个点沿着函数移动，分别朝向 t = 0  
        self.play(  
            point1.animate.move_to(axes.c2p(0.1, np.cos(np.pi / 0.1))),  # 第一个点沿 x = 0.1 移动  
            point2.animate.move_to(axes.c2p(-0.1, np.cos(np.pi / -0.1))),  # 第二个点沿 x = -0.1 移动  
            run_time=3  # 动画运行时间  
        )  

        # 设置持续时间，让点在轨迹上移动  
        t_values = np.linspace(0.1, 0, 100)  # 针对第一个点，t 从 0.1 值线性变化到 0  
        point1_path = [axes.c2p(t, np.cos(np.pi / t)) for t in t_values]  # 创建路径  
        
        t_values = np.linspace(-0.1, 0, 100)  # 针对第二个点，t 从 -0.1 线性变化到 0  
        point2_path = [axes.c2p(t, np.cos(np.pi / t)) for t in t_values]  # 创建路径  

        # 沿着轨迹移动点  
        point1.animate.move_to(point1_path[-1])  # 移动到极限位置  
        point2.animate.move_to(point2_path[-1])  # 移动到极限位置  
        
        # 移动动画  
        self.play(  
            *[point1.animate.move_to(point) for point in point1_path],   
            *[point2.animate.move_to(point) for point in point2_path],   
            run_time=6  # 总移动时间  
        )  

        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察点的移动  

        # 结束场景  
        self.play(FadeOut(axes), FadeOut(cos_function), 
                  FadeOut(function_label), 
                  FadeOut(point1), FadeOut(point2))

然而，我们看一下面的内容，

$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} H\left( t \right)\hspace{0.25in}{\mbox{where,}}\hspace{0.25in}H\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & {\mbox{if }}t < 0\\ 1 & {\mbox{if }}t \ge 0\end{array} \right.$

它极限不存在，是因为当我们向 t 移动时函数没有稳定到一个数字 t=0 而是因为它取决于 t 的哪一边，变成了两个不同的数。

我们看一下它的图像。下面是用 Manim 库实现你所要求的阶跃函数 H(t) 的图像，

from manim import *  

class StepFunctionLimit10(Scene):  
    def construct(self):  
        # 设置坐标轴  
        axes = Axes(  
            x_range=[-1, 1, 0.5],  # x 显示范围  
            y_range=[-0.5, 1.5, 1],  # y 显示范围  
            axis_config={"color": BLUE},  # 坐标轴颜色  
        ).add_coordinates()  
        
        # 定义阶跃函数 H(t)  
        def H0(t):  
            return 0   # H(t) 定义为阶跃函数 
        
        def H1(t):  
            return 1   # H(t) 定义为阶跃函数 
        
        
        
        # 创建阶跃函数的离散图像  
        step_graph = axes.plot(lambda t: H0(t), x_range=[-1, 0], color=RED, use_smoothing=False)
        
        step_graph1 = axes.plot(lambda t: H1(t), x_range=[0, 1], color=RED, use_smoothing=False) 
        
        
        
        # 防止函数线段连起来，添加跳跃  
        self.play(Create(axes), Create(step_graph),Create(step_graph1))  # 添加坐标轴和阶跃函数到场景中  
        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察结果  
        
        texM=MathTex(r"\hspace{0.25in}H\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & {\mbox{if }}t < 0\\ 1 & {\mbox{if }}t \ge 0\end{array}\right.")
        texM.set_color(BLUE).move_to(axes.c2p(-0.5, 1))
        self.add(texM)
        # 创建两个点，分别在函数的不同位置  
        point1 = Dot(axes.c2p(-0.5, H0(-0.5)), color=WHITE)  # 第一个点的初始位置  
        point2 = Dot(axes.c2p(0.5, H1(0.5)), color=GOLD)  # 第二个点的初始位置  
        
        # 添加点到场景  
        self.play(Create(point1), Create(point2))  
        self.wait(1)  # 等待 1 秒以观察点的变化  

        # 动画：使两个点同时走向极限位置 (0, 1)  
        self.play(  
            point1.animate.move_to(axes.c2p(0, H0(0))),  # 第一个点移动到 (0, 1)  
            point2.animate.move_to(axes.c2p(0, H1(0))),  # 第二个点移动到 (0, 1)  
            run_time=3  # 动画运行时间  
        )  

        self.wait(2)  # 等待 2 秒以观察点的移动  

        # 结束场景  
        self.play(FadeOut(axes), FadeOut(step_graph), FadeOut(point1), FadeOut(point2))

在这种情况下，函数是一个很好的函数，不像第一个函数。唯一的问题是，当我们接近 t 时 t=0，函数向两边的不同数字移动。我们想要一种方法来区分这两个例子。

我们用片面的限制来做这件事。顾名思义，由于片面的限制，我们将只看到所讨论点的一面。下面是两个单面极限的定义。

右边的极限

定义：

$f(a+0)=\lim_{x \to a^{ +} } f(x)=L$

$\forall \epsilon >0 ,\exists \delta >0,\forall x ,0<x-a<\delta$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$

前提是我们能使 f(x）的值差不多 L 对于所有的x足够接近a 与 x > a,而不让x是a

左边的极限

定义：

$f(a-0)=\lim_{x \to a^{ -} } f(x)=L$

$\forall \epsilon >0 ,\exists \delta >0,\forall x ,-\delta<x-a<0$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$

前提是我们能使 f(x）的值差不多 L 对于所有的x足够接近a 与 x< a,而不让x是a

注意，符号的变化非常小，如果您不注意，实际上可能会错过。唯一的区别是位在限制的“lim”部分之下。对于右极限 $x \mapsto a^{+}$ ,(注意“+”)这意味着我们知道只会看 x>a 。同样的，对于右极限 $x \mapsto a^{1}$ ,(注意“-”)这意味着我们知道只会看 x<a。

此外，请注意，与“正常”极限(即前一节的极限)一样，我们仍然需要函数稳定到单个数字，以便极限存在。唯一不同的是，这个函数只需要在 x 的右边取一个数字 x=a 或者说x的左边 x=a 这取决于我们正在处理的单边限制。

所以，当我们看极限的时候我们要特别注意看我们是在做一个正常的极限还是一个单面极限。现在我们来看一下上一节的一些问题看看单面极限，而不是一般极限。

标签：cos,函数,point1,0.1,self,axes,极限,np,manim
From： https://blog.csdn.net/qq_45449625/article/details/141692464

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