折半搜素（meet in the middle）

算法介绍

折半搜素通常用来处理数据规模不能直接通过暴力解决，但数据规模又没有特别大的情况。

例如：[P10484 送礼物](P10484 送礼物 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

题意：作为惩罚，GY 被遣送去帮助某神牛给女生送礼物 (GY：貌似是个好差事）但是在 GY 看到礼物之后，他就不这么认为了。某神牛有 \(N\) 个礼物，且异常沉重，但是 GY 的力气也异常的大 (-_-b)，他一次可以搬动重量和在 \(w\) 以下的任意多个物品。GY 希望一次搬掉尽量重的一些物品，请你告诉他在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量是多少？

对于所有测试数据，\(1 \le N \le 46\), \(1 \le W,G[i] \le 2^{31}-1\)。

我们可以观察到，如果直接暴力搜素，时间复杂度为 \(O（2^{46}）\)，这是不可接受的。但是如果拆成两半来搜索，最后将结果合并，时间复杂度为 \(O（n*2^{23}）\)，这个可以接受的。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ios ios::sync_with_stdio(0)
#define endl '\n'
#define pii pair<int, int>
#define debug(x) cout << "x = " << x << endl;
#define lowbit(x) (x & (-x))
using namespace std;
const int N = 50, P = 13331;
int a[1 << 25], w[N], idx, mid, W, n;
ll ans;
void dfs1(int d, ll sum)
{
    if (d > mid)
    {
        a[idx++] = sum;
        return;
    }
    if (sum + w[d] <= W)
        dfs1(d + 1, sum + w[d]);
    dfs1(d + 1, sum);
}
void dfs2(int d, ll sum)
{
    if (d > n)
    {
        int l = -1, r = idx;
        while (l + 1 < r)
        {
            int md = (l + r) / 2;
            if (a[md] + sum <= W)
                l = md;
            else
                r = md;
        }
        ans = max(ans, sum + a[l]);
        return;
    }
    if (sum + w[d] <= W)
        dfs2(d + 1, sum + w[d]);
    dfs2(d + 1, sum);
}
void solve()
{
    int T = 1;
    // cin>>T;
    while (T--)
    {
        cin >> W >> n;
        mid = min(n / 2 + 2,n);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> w[i];
        sort(w+1,w+1+n,greater<int>());
        dfs1(1, 0);
        sort(a, a + idx);
        idx = unique(a, a + idx) - a;
        dfs2(mid + 1, 0);
        cout << ans << endl;
    }
}
int main()
{
    ios;
    solve();
    return 0;
}