后缀数组

先介绍计数排序。思考一下桶排序，桶排序是不稳定的。计数排序相当于是稳定的桶排序，时间复杂度为\(O(值域)\)

设数组\(a\)的值域为\([1,n]\)，数组\(c\)表示每个元素的数目（也就是桶），数组\(r[i]\)表示\(a[i]\)的排名（注意这个排名是稳定的，也就是说当有多个\(a[i]\)的时候，相对顺序不会变化），然后对\(c\)求前缀和，这样\(c[i]\)就表示小于等于\(i\)的数有多少个（下面的\(c\)都表示已经求了前缀和的\(c\)）。然后倒序循环数组\(a\)，循环到\(a[i]\)的时候，令\(r[i]=c[a[i]]\)，并令\(c[a[i]]\)减一

正确性：假设有若干个\(k\)，我们现在只关心\(k\)。那么我们知道，最终排完序的\(a\)数组，严格小于\(k\)的有\(c[k-1]\)个，也就是说\(k\)的排名最低是\(c[k-1]+1\)，最高是\(c[k]\)；而由于要稳定，所以原数组\(a\)中最后一个\(k\)的排名是\(c[k]\)，最前面的一个\(k\)的排名是\(c[k-1]+1\)；我们倒序循环，由于\(c\)求了前缀和，上述过程刚好帮我们完成了排序工作

接下来进入正题，介绍后缀数组。下文默认字符串下标从\(1\)开始，那么长度为\(n\)的字符串\(s\)一共有\(n\)个后缀，第\(i\)个后缀就是\(s[i...n]\)

后缀数组涉及三个数组：\(sa,rk,height\)。\(sa[i]\)表示\(s\)所有后缀中，排名为\(i\)的后缀是第几个后缀；\(rk[i]\)表示\(s\)的第\(i\)个后缀的排名；\(height[i]\)表示排名第\(i\)位的后缀与排名第\(i-1\)位的后缀的最长公共前缀（\(\text{lcp}\)）

然后先求\(sa\)。下文的\(x[i]\)表示按照前\(k\)个字母排序的前提下，\(s\)的第\(i\)个后缀的离散化之后的值（若不同后缀的前\(k\)个字母相同，则离散化之后的值相同），\(m\)表示离散化值域，\(y[i]\)数组表示排名为\(i\)的是第几个后缀（最后也会作为辅助数组）

第一步：将所有后缀按照第一个字母稳定地排序（利用计数排序）

for(int i=1;i<=n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
//这里由于字符集不大，所以桶的大小直接开成字符集大小，离散化按照字符离散化
for(int i=2;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
for(int i=n;i;i--) sa[c[x[i]]--]=i;

第二步：假设我们已经对所有后缀按照前\(k\)个字母稳定地排好了序，我们接下来将所有后缀按照前\(2k\)个字母稳定地排序。

外层循环：for (int k = 1; k <= n; k <<= 1)

我们先按照所有后缀的第\(k+1\) ~ \(2k\)个字母排序（这里不要求稳定），然后再按照所有后缀的第\(1\) ~ \(k\)个字母排序（这里要求稳定）；由于不可能存在两个后缀相同，所以经过上面两次排序之后，得到的\(sa\)一定是按所有后缀按照前\(2k\)个字母稳定地排序得到的

先进行第一次排序：

对于\(\forall i∈[n-k+1,n],s[i...n]\)是没有前\(2k\)个字母的，由于空字符串的字典序小于任何字符串，所以我们直接按照顺序将其放入\(y\)中即可

int num = 0;
for (int i = n - k + 1; i <= n; i ++ ) y[ ++ num] = i;

对于\(i∈[1,n-k],s[i...n]\)的第\(k+1\) ~ \(2k\)个字母就是\(s[i+k...i+2k]\)（长度不够的用空字符串补齐），于是比较\(s[i...n]\)的第\(k+1\) ~ \(2k\)个字母就是比较\(s[i+k...i+2k]\)，也就是\(s\)的第\(i+k\)个后缀的前\(k\)个字母，而此时我们的\(sa[i]\)刚好记录了按照前\(k\)个字母排序，排名为\(i\)的后缀，于是我们从小到大循环\(i\)，若\(sa[i]>k\)，则将\(sa[i]-k\)放入\(y\)数组即可

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (sa[i] > k) y[ ++ num] = sa[i] - k;

再进行第二次排序：

首先按照前\(k\)个字母进行计数排序

for (int i = 1; i <= m; i ++ ) c[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) c[x[i]] ++ ;
for (int i = 2; i <= m; i ++ ) c[i] += c[i - 1];
for (int i = n; i; i -- ) sa[c[x[y[i]]] -- ] = y[i];

然后将\(y\)作为辅助数组记录所有后缀按照前\(k\)个字母排序的离散化数值

swap(x, y);

然后更新\(x\)，让\(x[i]\)表示s的第\(i\)个后缀按照前\(2k\)个字母排序的离散化数值（注意此时\(y[i]\)表示的是\(s\)的第\(i\)个后缀按照前\(k\)个字母排序的离散化数值，所以\(s\)的第\(i\)个后缀的第\(k+1\) ~ \(2k\)个字母就是\(s\)的第\(i+k\)个后缀的前\(k\)个字母）

x[sa[1]] = 1, num = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]) 
x[sa[i]] = num;
else x[sa[i]]=++num;

注意y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]是不会越界的，因为

最后，如果离散化值域达到了\(n\)，则说明排序完成，否则的话令\(m\)为离散化值域重复上述过程

if (num == n) break;
m = num;

上述倍增法的时间复杂度为\(O(n\log n)\)

求\(height\)见OI-wiki

补充一个\(\text{lcp}\)的性质：设\(i<j\)，则\(\text{lcp}(i,j)=\overset{j}{\underset{k=i}{\min}}(\text{lcp}(i,k),\text{lcp}(k,j))\)，其中\(k\)是任取的（证明见视频00:37:20）；由这个性质不难得出，如果想求\(\text{lcp}(i,j)\)的话，求一下\(\text{lcp}(i,i+1),\text{lcp}(i+1,i+2),...,\text{lcp}(j-1,j)\)并取最小值就好了