\(AcWing\) \(1221\). 四平方和 + 自定义排序（重载<）+二分
一、题目大意
四平方和定理，又称为 拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多 \(4\) 个正整数的平方和。
如果把 \(0\) 包括进去，就正好可以表示为 \(4\) 个数的平方和。
比如：
\(5=0^2+0^2+1^2+2^2\)
\(7=1^2+1^2+1^2+2^2\)
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 \(4\) 个数排序：
\(0 \leqslant a \leqslant b \leqslant c \leqslant d\)
并对所有的可能表示法按 \(a,b,c,d\) 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 \(N\)。
输出格式
输出\(4\)个非负整数，按 从小到大 排序，中间用空格分开。
数据范围
\(0<N<5∗10^6\)
二、暴力解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//通过了 10/11个数据
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int a = 0; a * a <= n; a++)
for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++)
for (int c = b; a * a + b * b + c * c <= n; c++) {
int t = n - a * a - b * b - c * c;
int d = sqrt(t);
if (d * d == t) {
printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
return 0;
}
}
return 0;
}
暴力 \(O(N^3)\)
一般对于\(C++\)里面的代码，\(1s\)也就运行\(10^8\),这个题的最大取到\(10^6\)，开方\(10\)的\(3\)次方，\(N\)的\(3\)次方，大概\(10^9\)的运算次数，肯定会超时。
三、二分作法
枚举\(c\)和\(d\)，将\(c^2+d^2\)存至数组中，再枚举\(a\)和\(b\)，查找\(n−a^2−b^2\)是否在数组中出现过。时间复杂度：\(O(n^2logn^2)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 10;
struct Node {
int c, d, sum;
bool operator<(const Node &t) const {
//对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
//因为这个第一个表示法，使得我们首先需要对sum进行升序排列，如果sum值一样，就需要对c进行升序排列.至于说d,其实无所谓了，因为本题中不可能存在
// sum一样，c也一样的场景，但也许有的题不行，需要写全排序办法
if (sum != t.sum) return sum < t.sum;
if (c != t.c) return c < t.c;
return d < t.d;
}
} f[N];
int n;
int idx;
int main() {
cin >> n;
//枚举c^2+d^2
for (int c = 0; c * c <= n; c++)
for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++)
f[idx++] = {c, d, c * c + d * d};
//结构体排序
sort(f, f + idx);
//枚举a^2+b^2
for (int a = 0; a * a <= n; a++) {
for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++) {
int t = n - a * a - b * b;
int p = lower_bound(f, f + idx, Node{0, 0, t}) - f;
/*
结构体+lower_bound需要注意的事项：
一、结构体中二分查找，需要封装成无用项置0的结构体：
(1) 把我们需要查找的数封装成一个结构体。然后才可以在结构体重进行查找。即使我们只需要针对某一维进行查找，也需要把整个结构体构造出来。
(2) 这里我只需要查找第一维，并且我对第一维进行了排序，只有有序数列才可以进行二分，然后在查找的时候，把其他维置零即可。但是必须要封装成一个结构体
二、最终的结果需要进行判断
(1)、可能找到，也可能找不到
(2)、因为lower_bound返回的是数组中第一个大于等于Node{0,0,t}的位置，有三种可能：
1. 命中，找到sum=t，现在p就是结果位置
2. 没有命中，返回的是sum>t的第一个位置，这不是我们想要的结果，需要判断一下这样的情况。
3. 没有命中，返回的是数组外边的一个空地，也是越界了也没有找到大于等于t的第一个位置，这不是我们想要的结果，需要判断一下这样的情况
*/
if (p < idx && f[p].sum == t) {
cout << a << ' ' << b << ' ' << f[p].c << ' ' << f[p].d << ' ' << endl;
return 0;
}
}
}
return 0;
}
四、手写版本二分
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 10;
struct Node {
int c, d, sum;
bool operator<(const Node &t) const {
if (sum != t.sum) return sum < t.sum;
if (c != t.c) return c < t.c;
return d < t.d;
}
} f[N];
int n;
int idx;
int main() {
scanf("%d", &n);
// C预处理出 c^2+d^2
for (int c = 0; c * c <= n; c++)
for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++)
f[idx++] = {c, d, c * c + d * d};
//结构体排序
sort(f, f + idx);
//枚举a^2+b^2
for (int a = 0; a * a <= n; a++) {
for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++) {
int t = n - a * a - b * b;
//手写二分模板,左闭右开
// STL二分缺点:
// 1、常数较大,速度慢
// 2、对于结构体二分，需要构造空的Struct,还需要有一些玄学的赋零操作，不推荐
//结论：全面采用手写二分办法，忘记STL的二分写法
int l = 0, r = idx;
while (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if (f[mid].sum >= t)
r = mid;
else
l = mid + 1;
}
if (f[l].sum == t) {
cout << a << ' ' << b << ' ' << f[l].c << ' ' << f[l].d << ' ' << endl;
exit(0);
}
}
}
return 0;
}
五、\(STL\)的\(Hash\)表
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second
// TLE
// 通过了 8/11个数据
unordered_map<int, PII> _map;
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int c = 0; c * c <= n; c++)
for (int d = c; d * d + c * c <= n; d++) {
int t = c * c + d * d;
if (_map.count(t) == 0)
_map[t] = {c, d};
}
for (int a = 0; a * a <= n; a++)
for (int b = a; b * b + a * a <= n; b++) {
int t = n - a * a - b * b;
if (_map.count(t)) {
printf("%d %d %d %d", a, b, _map[t].x, _map[t].y);
return 0;
}
}
return 0;
}
六、桶排+二层循环+对边寻找
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
/*
用桶计数的思路
*/
// Accepted 134 ms
using namespace std;
const int N = 5e6 + 10;
int n;
int bucket[N];
int main() {
scanf("%d", &n);
memset(bucket, -1, sizeof bucket);
for (int c = 0; c * c <= n / 2; c++)
for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++) {
int t = c * c + d * d;
if (t > 5e6) continue;
if (bucket[t] == -1) bucket[t] = c;
}
for (int a = 0; a * a <= n / 4; a++) {
for (int b = a; a * a + b * b <= n / 3; b++) {
int t = n - a * a - b * b;
int c = bucket[t];
if (bucket[t] == -1 || t > 5e6) continue;
int d = sqrt(t - c * c);
printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
exit(0);
}
}
return 0;
}