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[CEOI2017] Sure Bet

题目描述

现在有 $n$ 个A类灯泡和 $n$ 个B类灯泡，每个灯泡都有各自的权值。

我们将这些灯泡分为 $n$ 组，每组包含一个来自A类的灯泡和一个来自B类的灯泡。

你可以从中选取任意个灯泡，每选取一个灯泡需要花费 $1$ 的代价。

在你选取完之后，系统会随机在A类和B类中选择一个类型，并点亮那一类的所有灯泡。你选取的每个点亮的灯泡会给你带来等于它权值的收益。

现在请你合理选取灯泡，以最大化可能的最小收益。你只需要求出来这个收益即可。

输入格式

第一行一个正整数 $n$ ，表示灯泡的组数。

接下来 $n$ 行每行两个空格隔开的实数 $A_i,B_i$​​。分别表示属于这组的A灯泡和B灯泡的权值。输入的实数不会超过四位小数。

输出格式

输出最大化的最小可能收益，请输出到小数点后恰好四位。

样例 #1

样例输入 #1

4
1.4 3.7
1.2 2
1.6 1.4
1.9 1.5

样例输出 #1

0.5000

提示

样例解释

最优策略是选择第一组的B灯泡和第三组的A灯泡和第四组的A灯泡：

• 如果B类灯泡被点亮，收益是 $3.7-3=0.7$。
• 如果A类灯泡被点亮，收益是 $1.6+1.9-3=0.5$ 。

最小可能收益是 $0.5$。

数据范围

对于所有测试点，有 $1.0\le A_i,B_i\le 1000.0$，$0\le n\le 10^5$。

算法1

(贪心+双指针)

一开始没理解题意

求：最大的最小可能的收益

1.什么是最小可能的收益

各自灯泡的权值的和 - 选取灯泡的总数

如果选取 A 类灯泡 ： sum_a - (n+m);

如果选取 B 类灯泡 ： sum_b - (n+m);

所求可能的最小收益： min(sum_a - (n+m),sum_b - (n+m) );

2.何时可以得最大化的最小值

想获取最大的最小值把所有可能的组数当中取最大值；
因此把两个min取值变大，那么就把sum_a 和 sum_b 尽可能的取大一点

3.如何把最小值最大

挑 a 时，使a的权值尽可能大
挑 b 时，使b的权值尽可能大

贪心

首先对两个序列由大到小进行排序

当第一个序列的收益大于第二个序列的收益的时候，挑选第二个序列灯泡，使第二个序列的收益变大

最后

有可能某个序列已经遍历完之后，另一个序列还有剩的，那么继续挑选该序列，取最小的最大的

	while(l<n){
		l++;
		ans = max(ans,min(sum_a[l]-l-r,sum_b[r]-l-r));
	}
	while(r<n){
		r++;
		ans = max(ans,min(sum_a[l]-l-r,sum_b[r]-l-r));
	}

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n;
double a[N],b[N];
double sum_a[N],sum_b[N],ans; 

int main(){
	
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
	   scanf("%lf%lf",&a[i],&b[i]);
	}
	
	sort(a+1,a+1+n,greater<double>());
	sort(b+1,b+1+n,greater<double>());
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum_a[i] = sum_a[i-1] + a[i];
		sum_b[i] = sum_b[i-1] + b[i];
	}
	 
	int l=0,r=0;
	while(l<n && r<n){
	    if(sum_a[l]<sum_b[r]) l++;
		else r++; 
		ans = max(ans,min(sum_a[l]-l-r,sum_b[r]-l-r));
	}
	while(l<n){
		l++;
		ans = max(ans,min(sum_a[l]-l-r,sum_b[r]-l-r));
	}
	while(r<n){
		r++;
		ans = max(ans,min(sum_a[l]-l-r,sum_b[r]-l-r));
	}
	printf("%.4lf",ans);
	return 0;
}