次次学次次忘,这次必须记录一下。
斜率优化dp
概念:
对于形如:
\[dp_i=\min/\max (dp_j+a_i\times b_j+c_i+d_j) \]的dp式子,将复杂度从 \(O(n^2)\) 优化到接近 \(O(n)\) 的优化方式。
注:\(a_i\) 和 \(c_i\) 就是和 \(i\) 有关的变量,\(b_j\) 和 \(d_j\) 就是和 \(j\) 有关的变量。
方法:
斜率优化dp有两种理解和实现的方法,但是殊途同归,最终都是一样的,将式子转化成形如 \(y=kx+b\) 的二元一次方程的形式,之后再利用凸包来优化。
接下来我就用最简单的一个式子作为示例来讲解。
dp示例:
\[dp_i=\min _{j=1}^{i-1}(dp_j - i\times j + i + j) \]理解方法1:
假设 \(i\) 最优秀的转移方式就是从 \(j\) 转移过来,则:
\[dp_i=dp_j - i\times j + i + j \]式子可以转化成:
\[( dp_j + j ) = i\times j + ( dp_i - i ) \](秘诀就是将只和 \(j\) 有关的量放在一起,只和 \(i\) 相关的变量放在一起)
这就很像一个二元一次方程,我们可以设 \(( dp_j + j )\) 为 \(y\),\(j\) 就是 \(x\),而 \(i\) 就是斜率 \(k\),而剩下的 \((dp_i - i)\) 就是 \(b\)——截距。
那么,我们目标就是得到最小的 \(dp_i\) ,即 \((dp_i - i)\) 最小,即为求一个满足条件的 \(j\),使得最后求出来的方程的截距最小。
那么,我们就可以把问题看成:
在一个平面直接坐标系中每一个dp值都对应着一个点,坐标为 \((\ j , dp_j + j\ )\),对于每一次转移,都是有一个斜率为 \(i\) 的直线,只要有某个点在这条直线上,这次转移就是有效的,我们想要截距最小。
(放个图方便理解)
所以我们考虑,怎么样才能快速的找到最优的那个转移点。
可以发现,我们首先想让截距最小,所以这条直线肯定是越往下越好,其次还发现这条线的斜率是固定的(只与 \(i\) 相关)。
那么形象一点考虑就是一条线从下往上去截,直到截到了某个点,那这个点就是答案。
(还是图片更一目了然)
这时候可以发现,只有最下面的一圈点会有可能产生贡献,即一定是相邻两点斜率单调且尽可能小。
如图,2号点就肯定不会是最优的用来转移的点,因为 \(k_1>k_2\)。
然后,有可能用于转移的点就是 \(4,1,3\)。
这其实就是个下凸包,直接用电调队列维护一个斜率单调的凸包,每次转移直接从凸包上查找,并且一定是从斜率大于 \(k\) 和小于 \(k\) 的线之间的交界的点转移。
注:\(k\) 就是当前转移直线的斜率。
(看图)
注:红色的点就是所维护的凸包,蓝色的点就是其它的一定不会产生贡献的点,与红色的点所切的点就是用于转移的点。
标签:截距,斜率,就是,优化,转移,dp From: https://www.cnblogs.com/Jack-YT/p/18352209