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斜率优化dp

时间:2024-08-12 20:37:49浏览次数:9  
标签:截距 斜率 就是 优化 转移 dp

次次学次次忘,这次必须记录一下。

斜率优化dp

概念:

对于形如:

\[dp_i=\min/\max (dp_j+a_i\times b_j+c_i+d_j) \]

的dp式子,将复杂度从 \(O(n^2)\) 优化到接近 \(O(n)\) 的优化方式。

注:\(a_i\) 和 \(c_i\) 就是和 \(i\) 有关的变量,\(b_j\) 和 \(d_j\) 就是和 \(j\) 有关的变量。

方法:

斜率优化dp有两种理解和实现的方法,但是殊途同归,最终都是一样的,将式子转化成形如 \(y=kx+b\) 的二元一次方程的形式,之后再利用凸包来优化。

接下来我就用最简单的一个式子作为示例来讲解。

dp示例:

\[dp_i=\min _{j=1}^{i-1}(dp_j - i\times j + i + j) \]

理解方法1:

假设 \(i\) 最优秀的转移方式就是从 \(j\) 转移过来,则:

\[dp_i=dp_j - i\times j + i + j \]

式子可以转化成:

\[( dp_j + j ) = i\times j + ( dp_i - i ) \]

(秘诀就是将只和 \(j\) 有关的量放在一起,只和 \(i\) 相关的变量放在一起)

这就很像一个二元一次方程,我们可以设 \(( dp_j + j )\) 为 \(y\),\(j\) 就是 \(x\),而 \(i\) 就是斜率 \(k\),而剩下的 \((dp_i - i)\) 就是 \(b\)——截距。

那么,我们目标就是得到最小的 \(dp_i\) ,即 \((dp_i - i)\) 最小,即为求一个满足条件的 \(j\),使得最后求出来的方程的截距最小。

那么,我们就可以把问题看成:

在一个平面直接坐标系中每一个dp值都对应着一个点,坐标为 \((\ j , dp_j + j\ )\),对于每一次转移,都是有一个斜率为 \(i\) 的直线,只要有某个点在这条直线上,这次转移就是有效的,我们想要截距最小。

(放个图方便理解)

image

所以我们考虑,怎么样才能快速的找到最优的那个转移点。

可以发现,我们首先想让截距最小,所以这条直线肯定是越往下越好,其次还发现这条线的斜率是固定的(只与 \(i\) 相关)。

那么形象一点考虑就是一条线从下往上去截,直到截到了某个点,那这个点就是答案。

(还是图片更一目了然)

image

这时候可以发现,只有最下面的一圈点会有可能产生贡献,即一定是相邻两点斜率单调且尽可能小。

如图,2号点就肯定不会是最优的用来转移的点,因为 \(k_1>k_2\)。

image

然后,有可能用于转移的点就是 \(4,1,3\)。

这其实就是个下凸包,直接用电调队列维护一个斜率单调的凸包,每次转移直接从凸包上查找,并且一定是从斜率大于 \(k\) 和小于 \(k\) 的线之间的交界的点转移。

注:\(k\) 就是当前转移直线的斜率。

(看图)

image

注:红色的点就是所维护的凸包,蓝色的点就是其它的一定不会产生贡献的点,与红色的点所切的点就是用于转移的点。

标签:截距,斜率,就是,优化,转移,dp
From: https://www.cnblogs.com/Jack-YT/p/18352209

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