次短路和第 k 短路
次短路
在最短路的基础上，次短路可以由次短路\(~
+~\)边更新，也可以由最短路$~
+~边更新，这里注意一点，因为次短路更新时也会对其它次短路产生影响，所以更新次短路时也需要入队，我们先尝试更新最短路，成功的话就把原来的最短路给次短路，不成功的话就单独尝试更新次短路。
也就是说，我们可以在算法\(~dijkstra~\)的基础上，不断维护最短路和次短路。证明则十分简单，在下面的\(~k~\)短路算法证明时，可以带入次短路，具体实现见代码。
priority_queue<pair<int, int>, vector<vector<int, int> >, greater<pair<int ,int> > > q;
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[1][1] = 0;//dis[i][1]表示 1 到 i 的最短路，dis[i][2]表示 1 到 i 的次短路
q.push({0, 1});
while(!q.empty())
{
int x = q.top().second;
int dist = q.top().first;
q.pop();
if(dist > dis[x][2]) continue;
for(auto it : v[x])
{
int cnt = it.first;
if(dis[cnt][1] > dist + it.second)//如果最短路需要松弛，那么当前的最短路将会被松弛，次短路就会松弛为原先的最短路
{
dis[cnt][2] = dis[cnt][1];
dis[cnt][1] = dist + it.second;
q.push({dis[cnt][1], cnt});
}
if(dis[cnt][2] > dist + it.second && dist + it.second > dis[cnt][1])//如果当前的路径比次短路优，而比最短路劣，那么只需要更新次短路
{
dis[cnt][2] = dist + it.second;
q.push({dis[cnt][2], cnt});
}
}
}
return dis[n][2];//返回
那么，关于次短路，应该就结束了。
k 短路
此时，如果按照次短路的做法显然是不可行的，这时候我们需要引入一个叫做启发式搜索的东西。
A* 算法
定义
A* 搜索算法（英文：A* search algorithm，A* 读作 A-star），简称 A* 算法，是一种在图形平面上，对于有多个节点的路径求出最低通过成本的算法。它属于图遍历（英文：Graph traversal）和最佳优先搜索算法（英文：Best-first search），亦是 BFS 的改进。
过程
定义起点 \(s\)，终点 \(t\)，从起点（初始状态）开始的距离函数 $g(x) $，到终点（最终状态）的距离函数 \(h(x\))$， \(h^{\ast}(x)1\)，以及每个点的估价函数 \(f(x)=g(x)+h(x)\)。
A* 算法每次从优先队列中取出一个 \(f\) 最小的元素，然后更新相邻的状态。
如果 \(h\leq h*\)，则 A* 算法能找到最优解。
上述条件下，如果 \(h\) 满足三角形不等式，则 A* 算法不会将重复结点加入队列。
当 \(h=0\) 时，A* 算法变为 \(Dijkstra\)；当 \(h=0\) 并且边权为 \(1\) 时变为 BFS。
如何用 A* 解决 k 短路问题
A* 算法定义了一个对当前状态 \(x\) 的估价函数 \(f(x)=g(x)+h(x)\)，其中 \(g(x)\) 为从初始状态到达当前状态的实际代价，\(h(x)\) 为从当前状态到达目标状态的最佳路径的估计代价。每次取出 \(f(x)\) 最优的状态 \(x\)，扩展其所有子状态，可以用 优先队列 来维护这个值。
在求解 \(k\) 短路问题时，令 \(h(x)\) 为从当前结点到达终点 \(t\) 的最短路径长度。可以通过在反向图上对结点 \(t\) 跑单源最短路预处理出对每个结点的这个值。
由于设计的距离函数和估价函数，对于每个状态需要记录两个值，为当前到达的结点 \(x\) 和已经走过的距离 \(g(x)\)，将这种状态记为 \((x,g(x))\)。
开始我们将初始状态 \((s,0)\) 加入优先队列。每次我们取出估价函数 \(f(x)=g(x)+h(x)\) 最小的一个状态，枚举该状态到达的结点 \(x\) 的所有出边，将对应的子状态加入优先队列。当我们访问到一个结点第 \(k\) 次时，对应的状态的 \(g(x)\) 就是从 \(x\) 到该结点的第 \(k\) 短路。
优化：由于只需要求出从初始结点到目标结点的第 \(k\) 短路，所以已经取出的状态到达一个结点的次数大于 \(k\) 次时，可以不扩展其子状态。因为之前 \(k\) 次已经形成了 \(k\) 条合法路径，当前状态不会影响到最后的答案。
当图的形态是一个 \(n\) 元环的时候，该算法最坏是 \(O(nk\log n)\) 的。但是这种算法可以在相同的复杂度内求出从起始点 \(s\) 到每个结点的前 \(k\) 短路。
具体实现
因为步骤较为繁琐，所以直接给出完整代码
#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, pair<int, int> > PIII;
typedef pair<int, int> PII;
int s, t, k, n, m, u, v, z;
struct node
{
int v;
int len;
};
vector<node> mp[1010], mp_dij[1010];
int dist[1010];
bool vis[1010];
int cnt[1010];
void dij()
{
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
q.push({0, t});
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[t] = 0;
while(q.size())
{
int u = q.top().y;
q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for(auto it : mp_dij[u])
{
int v = it.v;
if(dist[v] > dist[u] + it.len) dist[v] = dist[u] + it.len, q.push({dist[v], v});
}
}
return;
}
int A_star()
{
priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII> > q;
q.push({dist[s], {0, s}});
while(q.size())
{
PIII cur = q.top();
q.pop();
int u = cur.y.y;
int dis = cur.y.x;
cnt[u] ++;
if(cnt[t] == k) return dis;
if(cnt[u] > k) continue;
for(auto it : mp[u])
{
int v = it.v;
q.push({dis + it.len + dist[v], {dis + it.len, v}});
}
}
return -1;
}
int main()
{
IOS;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < m; i ++) cin >> u >> v >> z, mp_dij[v].push_back({u, z}), mp[u].push_back({v, z});
cin >> s >> t >> k;
if(s == t) k ++;
dij();
cout << A_star();
return 0;
}