论人类下一代语言的可能—5.3公理系统

在本书中，我们把公理演绎系统作为领域理论的一种目标模式来看待，这主要是从论述方便上考虑的。本书以符号的使用作为主题，并不需要去假设科学的模式以及类似问题的答案。实践中，多数的学科领域都很难达到公理化的理论程度。然而，围绕公理化的思想与方法的发展，是理解科学领域符号使用的一个关键的脉络，有必要多说二句。

一个公理系统从一组初始概念与公理出发，这组公理需要满足：

1完备性

2独立性

3相容性

公理系统的完备性是指从这组概念与公理出发，可以推演证明领域所有已知的真命题。我们无法判断公理系统是否完备，完备性只能证伪，出现不能证明的命题，完备性就不满足。这时候，可以通过增加或调整公理集，然后再来进行证明，如果可行，那么新的公理系统又可处于完备状态，否则只能推倒重来。

公理系统的独立性是指公理集中的各公理相互独立，不可能从其中的一些公理推导出另一些公理，否则应把可推出的公理作为定理来安排。独立性让公理系统变得经济：可以以更少的公理达到完备性。相关的情形还包括：公理数量没有减少，但能概括的范围更广，这可认为是所选择的概念与公理更基础；公理数量没有减少，且概括范围未扩大，但系统更简洁、更易理解或更优雅，这也是我们所追求的。牛顿物理学中，先期以力的概念作为基础概念，后期动量、动能的概念变得更基础，因为后者可以带来更简洁的系统形式，更容易派生出其他需要用到的概念与定理。

公理系统的相容性指从公理出发所能证明的任意二个命题不能矛盾，这是自洽性的基本要求，也是不断出现争论的地方。从后世的标准看，欧几里德的《几何原本》在满足上述的要求上是不够严谨的。欧几里德引入了一些未经定义的概念，不自觉应用了空间的直观。欧几里德在《几何原本》里的逻辑推理、证明也都是依赖于人脑的思考，同时代的逻辑学不足以支撑其中的逻辑应用。历史上，欧几里德《几何原本》第五公设是争论的焦点：

“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交”

用与第五公设相矛盾的命题替代它，并未产生矛盾的系统，而是带来了非欧几里德几何，比如后来用于广义相对论的黎曼几何。非欧几何的出现否定了公理系统公理可以不证自明，那么公理系统的真理性如何保障？

欧几里德的《几何原本》最初被认为是关于空间关系的理论，“点”“线”“面”被认为是实际空间对象的抽象，公理是“点”“线”“面”基本关系的描写，后续定义产生更多更具体的空间对象，定理则是各种空间对象之间具体关系的断言。二十世纪德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862.1-1943.2）认为公理应脱离对直观的依赖，让对象、关系成为单纯的符号，并与形式化的谓词逻辑结合，以符号的表达式表示公理，证明变成纯形式上的转换，这也就是所说的“形式化”。按照希尔伯特的想法，所有的数学分支在其朴素公理化的基础上，还应该形成一个形式化的公理系统。这个形式化的公理系统也称为朴素公理系统的元语言。数学的真理就归为形式公理系统的相容性，即理论上无矛盾。在上一节的论述中我们也采用同样的观点。希尔伯特按形式化要求用自然语言具体重构了欧几里德几何，希尔伯特的几何公理系统的公理分五组，每组由一条或多条公理构成。同时代的其他数学家也对其他数学分支的基础进行了公理化、形式化处理，包括前述意大利数学家皮亚诺所建立的算术公理系统，这是一个完全由抽象符号组成的系统。

奥地利裔美国数学家哥德尔（Kurt Gödel,1906.4-1978.1）于1931年提出了不完备定理，证明：任何一个公理系统，只要包括了算术公理的描述，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明为真也不能证伪的命题。哥德尔不完备定理说明希尔伯特所寻求的数学可靠基础是不存在的，这是一个影响深远的结论。