在计算机中，浮点数的表示基于IEEE 754标准，这是最广泛使用的浮点数表示标准。对于一个具体的数值，如 10.2345434，它会被分解为符号位、指数位和尾数位。
这里以最常见的 float32（单精度浮点数）为例来解释这个过程：
符号位
如果数值是正的，符号位为0；如果数值是负的，符号位为1。
对于10.2345434，因为它是正数，所以符号位为0。
指数位 (Exponent)
IEEE 754标准采用偏置（或称为偏移）指数来表示。对于float32，指数宽度为8位，偏置值为127。指数的计算方法是将实际的指数值加上偏置值。实际的指数值是将数值标准化为1.xxxxx的形式后的指数。
例如，将10.2345434转化为二进制，约等于1010.00111100001110101（省略无限重复的部分），标准化为1.01000111100001110101 * 2^3。因此，实际的指数是3，偏置后的指数为3 + 127 = 130，二进制表示为10000010。
为啥要有偏置值？
支持负指数：浮点数需要能表示小于1的数，这就要求指数可以是负的。通过引入偏置值，实际的指数（可能为负）被转化为一个非负整数，这样就可以用标准的无符号二进制形式存储。
简化硬件设计：使用偏置指数允许浮点数的比较和排序可以像整数一样处理，不需要特别处理指数的正负，这简化了硬件的实现。
偏置值是否一样？
不同的浮点数格式根据其指数的位数有不同的偏置值：
- float32（单精度）：指数位为8位，偏置值为127。
- float16：指数位为5位，偏置值为15。
- bfloat16：指数位为8位，偏置值为127。
从上面可以看出，float32和bfloat16使用相同的偏置值（127），因为它们的指数部分都是8位。
而float16的指数部分只有5位，所以它的偏置值是15。
这种设计反映了不同格式在精度和表达范围之间的平衡。
尾数位 (Mantissa or Fraction)
在将数值标准化后，尾数部分就是除去整数部分的1之后的小数部分。对于float32，尾数有23位。
对于10.2345434，标准化后的尾数是.01000111100001110101。在存储时，省略开头的1（因为在标准化的二进制形式中1总是存在，除非数值是0），直接存储后面的部分，并根据需要截断或舍入到23位。
组合所有部分
将这些部分组合起来，得到float32格式的二进制表示：
符号位：0
指数：10000010
尾数：01000111100001110101000 （这里是截断后的结果）
这个组合的完整二进制串可以直接用于计算机内的存储和计算。
实际的存储和计算可能会涉及舍入和一些优化，这取决于具体的硬件和编译器实现。浮点数的表示并不总能完全精确，小数部分可能会因为二进制表示的限制而有轻微的误差。这是在使用浮点数时需要注意的精度问题。
LLM 场景的浮点数
在大型语言模型（LLM）中，通常使用不同的数值精度来平衡性能和资源消耗。主要包括以下几种精度格式：bfloat16、float16 和 float32。
float32：
精度：32位，其中1位用于符号，8位用于指数，23位用于尾数。
对于 float32 格式，位布局可以这样表示：
- 最高位（第32位）是符号位。
- 接下来的8位（第31至第24位）是指数位。
- 最后的23位（第23至第1位）是尾数位。
S|EEEEEEEE|MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
其中 S 是符号位，E 是指数位，M 是尾数位。
精确度：提供较高的数值精确度，适用于需要高精度计算的场景。
资源消耗：相比于float16和bfloat16，使用float32会消耗更多的内存和计算资源，这可能导致速度较慢。
使用场景：在模型训练的初期或者在对精度要求极高的应用中使用。
float16：
精度：16位，其中1位用于符号，5位用于指数，10位用于尾数。
对于 float16 格式，位布局可以这样表示：
- 最高位（第16位）是符号位。
- 接下来的5位（第15至第11位）是指数位。
- 最后的10位（第10至第1位）是尾数位。
S|EEEEE|MMMMMMMMMM
其中 S 是符号位，E 是指数位，M 是尾数位。
精确度：低于float32，但通常足够用于许多深度学习任务。
资源消耗：内存和计算资源的消耗低于float32，使得模型可以更快地运行。
使用场景：在对计算速度有较高要求的场景中使用，例如在模型推理阶段或者资源有限的设备上。
bfloat16：
bfloat16 中的 “b” 代表 “brain”，这是因为这种数据格式最初是由谷歌大脑（Google Brain）团队为 TensorFlow 和后来的 TPU（Tensor Processing Unit）开发的。
bfloat16 是为了优化深度学习训练和推理在硬件上的执行效率而设计的，特别是在处理需要大量浮点运算的应用时，它通过提供与 float32 相同宽度的指数部分来增强数值的稳定性，同时减少尾数位以节省内存和加速计算。
这种格式现在广泛用于多种深度学习硬件和软件框架中。
精度：16位，其中1位用于符号，8位用于指数，7位用于尾数。
对于 bfloat16 格式，位布局可以这样表示：
- 最高位（第16位）是符号位。
- 接下来的8位（第15至第8位）是指数位。
- 最后的7位（第7至第1位）是尾数位。
S|EEEEEEEE|MMMMMMM
其中 S 是符号位，E 是指数位，M 是尾数位。
精确度：指数的表示范围与float32相同，但尾数的精度低于float16。
资源消耗：与float16相似，但由于指数范围的扩展，它在处理极大或极小的数值时更为稳定。
使用场景：特别适合用于深度学习训练，因为它能够处理广泛的数值范围，同时保持较好的计算性能。
总结
选择哪种格式取决于具体的应用需求、计算资源和对精度的需求。float32因其高精度而广泛用于需要精确计算的领域，float16适用于需要较低存储和计算资源的场景，而bfloat16在深度学习训练中特别有用，尤其是在需要广泛数值范围和数值稳定性的场合。