学习资源声明：【哔哩哔哩】大师兄数学建模 第二讲 层次分析法
根据资料学习，加入了一些个人的理解，整理成这篇笔记。
1 层次分析法的定义
层次分析法：通过相互比较确定各准则对于目标的权重, 及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思维过程中通常是定性的, 而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 最终确定方案层对目标层的权重。
2 案例分析
2.1 题目预览
2.2 确定层次结构
用层次分析法解决评价类问题最重要的是确定三个问题：
- 评价目标
- 评价标准
- 可选方案
在此题目中分别对应的是：
2.3 确定权重指标
在对“苏杭、北戴河、桂林”三个地点进行选择的时候，我们需要对“景色、花费、饮食、男女比例”这四个评价标准作出一定的权衡。
这个时候我们需要先分组，然后进行比较。
我们可以选取两个因素，和
，然后考虑这两个因素的重要性，也就是比较这两个因素对我们选择的影响哪一个更大，具体根据程度可以参考下表。当然，判断因素的影响强弱也难免会受到一些主观因素的影响，但是我们更应该关注的是这个严谨的分析然后得出我们最终选择的过程。
为了便于两两分析，我们很容易联想到使用矩阵来存储两个量之间的关系，所以我们首先建立一个4*4的矩阵。矩阵的对角线根据上表格，“影响相同”，那么自然都是1。
在我们填好的格子的数值（假设为
），那么我们填写
的格子数值就相应是
。以此类推，我们只需要作6次询问即可得到全部的格子数值。
下面是一个填写的示例：
我们得到的这个矩阵称为判断矩阵。根据以下判断矩阵的性质，我们上图得到的这个矩阵就是一个正互反矩阵。有了判断矩阵，就可以得出各个评判指标之间的权重向量。
2.4 确定待选方案在某一指标的得分
还是根据这个很好用的表，我们来对待选方案根据风景这一指标进行打分：
问完三个问题并给出打分我们就可以作出如下矩阵：
同理，对其他三个指标进行相似的分析处理，我们得到以下结果（one possible）：
2.5 确定待选方案最终得分
我们根据以上分析结果（总共是5个矩阵），结合下面这个严谨的公式，可以得出三个待选方案的最终得分，最终确定我们的结果。
下面是我们上述所有分析的层次分析法结构图：（首先将我们的三个问题进行一个分层，然后将方案层对准则层的权重，以及准则层对目标层的权重进行一个综合，最后得出我们的结果）
3 问题补充
3.1 矩阵一致性
在上述问题的研究中，其实有一点小问题：
简而言之，是我们的一致矩阵满足。详细而言，请看如下定义：
为了保证我们通过多次询问得出的矩阵不存在上面所出现的“矛盾”问题，我们在使用判断矩阵之前需要检验其一致性。
检验矩阵一致性的方法如下：
根据第三种方法，我们衍生出下面这种常用的判断矩阵一致性的方法——计算一致性比例。
我们的是一个常量，通过查表来得知。上图中列举了一部分
与
的对应值。所以我们只需要计算出
，再根据公式计算出
即可。
3.2 权重的计算
3.2.1 一致性矩阵权重的计算
以此图为例，我们可以直接计算一致性矩阵的权重。
（上图应有小错误，桂林的分子应该是0.25）
3.2.2 非一致性矩阵权重的计算
对于非一致性矩阵，我们需要采用算术平均法来进行权重的计算。
在论文中，我们需要将这一段写到论文：
3.3.3 特征值法求权重
特征值法和算术平均法的区别与练习如下：
3.3 案例问题的最终结果分析
这个表格也是一定要放在论文中的！一致性检验一定要交代清楚！
3.4 关于权重指标的确定
实际生活和题目中，需要我们自行查询相关的数据支持，一般采取网上搜集的材料或调查问卷作为佐证，有时对于显而易见的常识问题也可不做说明。（不是想当然的给权重！）- 常用的中文数据库：知网、万方、百度学术
- 英文数据库： Web of Science 、 SpringerLink 、谷歌学术
- 绘图工具： ProcessOn 、亿图
4 大佬论文鉴赏
来源：
赵鑫
,
孙春花
,
沈贤
.
基于层次分析法的城市生态环境质量评价
[J].
中国资源综合利用
,2022,40(05):163-166.
本来打算今天一篇写完理论和实操类的，结果掰开了揉碎了分析起来有点上头，相关代码先欠着明天再写...
标签：层次,权重,矩阵,建模,分析法,一致性,我们 From： https://blog.csdn.net/rewinded/article/details/140831639