一. dq轴下的电机方程
1. 电机方程分类
做PMSM驱动，大家一定知道两个坐标系：αβ坐标系和dq坐标系。αβ坐标系，基于电机定子而言，所以又称定子坐标系或者静态坐标系。dq坐标系，基于电机转子而言，所以又称转子坐标系或者旋转坐标系。
于是，在这两个坐标系下，就分别对应着各自的电机方程。后文就分别简称：αβ轴电机方程和dq轴电机方程。本文仅对dq轴电机方程做梳理。
2. dq轴电机方程
(1) 定子电压方程1
Ud=R*Id+ρψd-We*ψq --(1)
Uq=R*Iq+ρψq+We*ψd --(2)
Ud和Uq:分别是定子电压的dq轴分量R:定子相电阻Id和Iq:分别是定子电流的dq轴分量ρ：微分因子ψd和ψq:分别是定子磁链的dq轴分量We:电角速度
（2）定子磁链方程
ψd=Ld*Id+ψf --(3)
ψq=Lq*Iq --(4)
ψd和ψq:分别是定子磁链的dq轴分量Ld和Lq:分别是定子电感的dq轴分量Id和Iq:分别是定子电流的dq轴分量ψf：转子永磁体磁链
（3）定子电压方程2
将公式（3）和（4）带入公式（1）和（2）得定子电压方程2：
Ud=R*Id+Ld*ρId-We*Lq*Iq --(5)
Uq=R*Iq+lq*ρIq+We*(Ld*Id+ψf ) --(6)
- 怎么理解R*Id和R*Iq？
这两项好理解，Id和Iq分别流过定子电阻R后，自然会分别产生压降R*Id和R*Iq。
- 怎么理解Ld*ρId和lq*ρIq？
要理解这两项，其实只需要复习电感的自感电动势就懂了。当变化的电流Id和Iq分别流过电感量为Ld和Lq的电感线圈时，自然会在电感线圈中分别产生自感电动势Ld*ρId和lq*ρIq。
（度娘可得：自感电动势就是在自感现象中产生的感应电动势。自感现象是一种特殊的电磁感应现象，是由于导体本身电流发生变化引起自身产生的磁场变化而导致其自身产生的电磁感应现象。）
- 怎么理解-We*Lq*Iq和We*(Ld*Id+ψf )？
转子磁链ψ和相反电动势E关系为：E=We*ψ。再根据磁链方程（3）和（4），自然就会理解We*Lq*Iq和We*(Ld*Id+ψf )其实就是反电动势。具体来说：
-We*Lq*Iq为d轴反电动势，该反电动势由q轴磁链ψq和We耦合产生。简而言之，q轴磁链在d轴和We耦合产生反电动势。有没有类似互感电动势的味道？注意是类似作用，而并不是。
We*(Ld*Id+ψf )为q轴反电动势，该反电动势由d轴磁链ψd和We耦合产生。简而言之，d轴磁链在q轴和We耦合产生反电动势。有没有类似互感电动势的味道？注意是类似作用，而并不是。
（度娘可得：由一个线圈中的电流发生变化而使其它线圈产生感应电动势的现象叫互感现象。所产生的电动势称为互感电动势。）
- 怎么理解定子电压方程2中各物理量之间的转化关系？
a. 假如给定子电感线圈通电压U，那么在定子线圈中肯定产生电流I。I随着U的变化而变化。b. 电流I流过内阻为R的线圈，那么肯定会产生压降R*I。c. 电流流过电感L，那么肯定会产生磁链ψ=L*I，ψ随着电流的变化而变化。d. 磁链ψ变化就会导致自感反电动势ρψ变化。e. 磁链ψ和电角度We又会耦合出反电动势E=We*ψ，E随着We和ψ的变化而变化。
（4）定子电压方程3
当转速较高（We较大）时，可忽略定子电阻上的电压降；当电流稳定的时候，ρId和ρIq为0，得到如下定子电压方程3：
Ud=-We*Lq*Iq --(6)
Uq=We*(Ld*Id+ψf ) --(7)
Us=√（Ud²+Uq²）=We*√[(Lq*Iq)²+(Ld*Id+ψf )²] --（8）
电感乘以电流得磁链，令√[(Lq*Iq)²+(Ld*Id+ψf )²] =磁链ψ，得：
Us=We*ψ --（9）
从电压方程（6）~（9）可知，给定子线圈输入电压Us，产生的电流和定子电感产生磁链，磁链再和We耦合产生反电动势。
(5) 转矩方程
根据公式（6）和（7），得转矩方程：Te=P/We=1.5*Pn*(Ud*Id+Uq*Iq)/We =1.5*Pn*(Ld*Id*Iq+ψf*Iq-Lq*Iq*Id) =1.5*Pn*Iq*[Id*(Ld-Lq) + ψf] --(10)
如果Ld=Lq（表贴式电机）或者控制Id为0，那么Te=1.5*Pn*Iq*ψf。
Te：电磁转矩Pn：电机极对数Ld和Lq:分别是定子电感的dq轴分量Id和Iq:分别是定子电流的dq轴分量ψf：转子永磁体磁链
- 怎么理解ψf*Iq？
ψf为转子永磁体磁链，大小固定，所以ψf*Iq称为永磁转矩。永磁转矩随着Iq的增大（减小）而增大（减小）。
- 怎么理解(Ld-Lq)？
这好理解，定子电感的dq轴分量之差。至于Ld和Lq大小关系，这是由电机结构决定的，通常Ld小于Lq。可见，控制Iq正负、大小是可以控制电机转矩方向和大小的。
- 怎么理解Id*(Ld-Lq)*Iq？
根据前文知识可知，Id*(Ld-Lq)其实就是Id和电感(Ld-Lq)产生的磁链。又因为通常Ld小于Lq，所以(Ld-Lq)为负，因此，如果Id为正，那么Id产生的磁链Id*(Ld-Lq)有减小整个磁链的作用，最终对整个转矩大小起负作用。所以，Id*(Ld-Lq)*Iq又称为磁阻转矩。
现在知道为什么作弱磁控制的时候，设置Id为负了吧？本质是增大转矩，从而提高转速。如果控制Id为0，也可以将磁阻转矩干为0。如果控制Id大于0，那么电机转矩将下降，转速也会下降。可见，控制Id正负、大小也是可以控制电机转矩大小的。
（6）运动方程Te-Tl=J*ρWe+B*We --(11)
Te：电磁转矩Tl：负载转矩J：电机转动惯量We:电角速度ρ：微分因子B:电机阻尼系数
- 怎么理解（Te-Tl）和速度关系？
电磁转矩Te和负载转矩Tl的差值（Te-Tl）推动电机转动。当Te大于Tl时，电机加速运动；当Te小于Tl时，电机减速运动；当Te等于Tl时，电机匀速运动；
换句话说：电机转动时，如果Te固定，增大负载，那么电机肯定减速；电机转动时，如果Te固定，减小负载，那么电机肯定加速；电机转动时，如果Te和负载都固定，那么电机肯定匀速；
- 怎么理解J*ρWe？
在加速或者减速过程中，因为存在速度变化，即ρWe不为0，所以J*ρWe有效，即J会影响电机的加减速。当匀速时，ρWe为0，J*ρWe报废，J不再影响电机转动。通俗说，如果J较大，启动和刹车都很费劲；如果J较小，启动和刹车都很容易。
- 怎么理解B*We？
无论加减速还是匀速时，即只要电机在转动，那么B*We就不可能为0，因此，B持续有效。通俗说，（Te-Tl）永远要克服电机自身阻力。
3. 各电机方程中物理量的关系
从宏观的角度，再回头看各个物理量之间的关系如下：
- 电压U产生电流I
- 电流I通过电感L产生磁链ψ
- 磁链ψ变化产生自感电动势
- 电流I和磁链产生电磁转矩
- 电磁转矩克服负载转矩使电机转动，产生电角速度We
- 电角速度We又和磁链耦合，在电机线圈中产生反电动势E
电压U，电流I、电感L、磁链ψ、电角速度We和反电动势E，就这样悄无声息地相互作用，最终形成了一个共生共存的有机整体。
二. αꞵ轴下的电机方程
与dq轴电机方程相同，αβ轴电机方程也同样包括如下四大方程：电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程。做过FOC驱动的同学应该知道，相较而言，αβ轴电压方程是绝对会使用，是必须要掌握的；因为FOC驱动控制重要基于dq轴进行，所以αβ轴其他三方程就很少用了。但是，对于新手，全面了解各坐标系的电机方程也是有必要的。
1. αβ轴定子电压方程1
将dq轴电压方程通过逆Park变换就可以得到αβ轴电压方程。推导过程需要拼凑电感矩阵，较为复杂。没有一定数学功底大概率推导失败。作为工程师，我们关心的是怎么使用方程做电机驱动，所以面对如此复杂的推导过程，还是高举拿来主义吧。直接给出αβ轴定子电压方程1的公式：
Uα=R*Iα+Ld*ρIα+We*(Ld-Lq)*Iβ
+【(Ld-Lq)*(We*Id-ρIq)+We*ψf】*(-sinθ) --(1)
Uβ=R*Iβ+Ld*ρIβ-We*(Ld-Lq)*Iα
+【(Ld-Lq)*(We*Id-ρIq)+We*ψf】*(cosθ) --(2)
Uα和Uβ:分别是定子电压的αβ轴分量
Iα和Iβ:分别是定子电流的αβ轴分量
Ld和Lq:分别是定子电感的dq轴分量
R:定子相电阻
ρ:微分因子
ψf:转子永磁体磁链
We:电角速度
θ:转子位置θ角
- 怎么理解第一项：R*Iα和R*Iβ？
这两项好理解，定子电流分量Iα和Iβ分别流过定子电阻R后，自然会分别产生压降R*Iα和R*Iβ。
- 怎么理解第二项：Ld*ρIα和lq*ρIβ？
这两项就不能像dq轴电压方程一样用自感电动势的思想去理解了。因为Iα和Iβ是αβ轴物理量，Ld和Lq是dq轴的物料量，两个坐标系的物理量耦合在一起了。所以，也不能用纯数学的理论去解释。根本原因是，αβ坐标系下，电机方程未能实现完全解耦。通俗来说，就是两个坐标系的物理量交织在一起了。相反，dq坐标系下，电机方程实现了完全解耦。
- 怎么理解第三项：We*(Ld-Lq)*Iβ和-We*(Ld-Lq)*Iα？
这两项同样出现两个坐标系的物理量交织的现象。所以，也不能用纯数学的理论去解释。不过，电感乘以电流得磁链，磁链变化或者磁链乘以电角速度都可得反电动势，这些理论永远成立。
- 怎么理解第四项：【(Ld-Lq)*(We*Id-ρIq)+We*ψf】*(-sinθ) 和【(Ld-Lq)*(We*Id-ρIq)+We*ψf】*(cosθ) ？
这两项与其他相相比，有一个很明显的特征就是带有转子位置θ角的信息。虽然转子位置θ角信息是以三角函数sinθ和cosθ形式出现，但是，因为三角函数sinθ和cosθ的系数相同，都为【(Ld-Lq)*(We*Id-ρIq)+We*ψf】，因此，如果我们能得到这两项值，然后，将两项做除法，不就得到了正切-tanθ？如果再将-tanθ做反变换，不就得到了转子位置θ角了吗？
也就是，αβ轴定子电压方程的第四项为我们得到转子位置θ角创造了可能。至于三角函数sinθ和cosθ的相同系数是多少？怎么从数学理论进行理解？我们都不需要再关心了。
2. αβ轴定子电压方程2
如果电机定子电感的dq轴分量Ld和Lq相等（表贴式电机），那么定子电压方程1中的第三相和第四项中的部分就变为了0，于是，得到如下定子电压方程2：
Uα=R*Iα+Ld*ρIα+We*ψf*(-sinθ) --(3)
Uβ=R*Iβ+Ld*ρIβ+We*ψf*(cosθ) --(4)
Uα和Uβ:分别是定子电压的αβ轴分量
Iα和Iβ:分别是定子电流的αβ轴分量
Ld和Lq:分别是定子电感的dq轴分量，且Ld=Lq
R:定子相电阻
ρ:微分因子
ψf:转子永磁体磁链
We:电角速度
θ:转子位置θ角
公式（3）和（4）是不是简单了很多？理解第一和第二项的方法同公式（1）和（2）。
- 怎么理解第三项：We*ψf*(-sinθ)和We*ψf*(cosθ) ？
这个第三项的物理意义就很好理解了。首先，ψf*(sinθ)和ψf*(cosθ) 物理意义就是：转子磁链分别在α和β轴的分量。然后，αβ轴的转子磁链分量分别和电角速度We相乘得αβ轴的反电动势（磁链和电角速度耦合得反电动势）。
此时，我们就会发现αβ轴坐标系下定子电压方程2和dq轴坐标系下定子电压方程2长得就很相似了。dq轴定子电压方程2：
Ud=R*Id+Ld*ρId-We*Lq*Iq --(5)
Uq=R*Iq+lq*ρIq+We*(Ld*Id+ψf ) --(6)
再将αβ轴坐标系下定子电压方程2（公式3和4）和dq轴坐标系下定子电压方程2（公式5和6）比较，可知：第一项都是电流通过电阻的电压降；第二项是不同大小的电流通过电感产生的自感电动势；第三项都是反电动势。区别就是，αβ轴电机方程未能实现完全解耦，且更复杂；dq坐标轴下，电机方程实现了完全解耦，更简单。
3. αβ轴定子磁链方程
ρψα=Uα-R*Iα --(7)ρψβ=Uβ-R*Iβ --(8)
ψα和ψβ:分别是定子磁链的αβ轴分量Iα 和Iβ:分别是定子电流的αβ轴分量ρ:微分因子
相比dq轴定子磁链方程，αβ轴的磁链方程有微信相，所以更复杂了。如果得到磁链大小，还得做积分运算。因为FOC控制多在dq轴下进行，该方程很少使用，所以号主也没对该方程做深入研究。
4. αβ轴转矩方程
Te=1.5*Pn*(ψα*Iβ-ψβ*Iα) --(9)
Te:电磁转矩Pn:电机极对数ψα和ψβ:分别是定子磁链的αβ轴分量Iα 和Iβ:分别是定子电流的αβ轴分量
同样，因为磁链ψα和ψβ并不能直接得到，所以要得到转矩Te也较复杂。因为FOC控制多在dq轴下进行，该方程很少使用，所以号主也没对该方程做深入研究。
5. αβ轴运动方程
J*ρWe=(ψα*Iβ-ψβ*Iα-TI) --(10)
J：电机转动惯量We:电角速度ρ：微分因子ψα和ψβ:分别是定子磁链的αβ轴分量Iα 和Iβ:分别是定子电流的αβ轴分量Tl：负载转矩
该运动方程和dq轴运动方程相似。因为FOC控制多在dq轴下进行，该方程很少使用，所以号主也没对该方程做深入研究。