摘要
本文研究了平纹织物整体的热导率和单根 A 纤维的热导率之间模型，对题 目所给的表面温度分布进行插值，对于纤维材料建立了整体分析和微观最小单位 分析两种模型，通过建立热传导方程和边界条件并且利用两种模型的参数进行温 度分布的计算，使得两种模型下的温度分布最接近则建立了整体热导率和单根 A 纤维热导率之间的模型。对于问题一，根据热力学定律在厚度方向上建立一维热传导方程，利用有限 差分法对时间和厚度进行差分，建立向后隐式差分格式，利用数值积分的方法求 出温度分布，求得整体分析的温度分布图如图 3 所示。根据平纹织物的几何形状 建立微观最小单位几何模型，根据几何形状求得单根 A 纤维和该单位中空气的 体积分布，根据比热和质量比例的关系求得单根 A 纤维的密度和比热的乘积。建立初始条件和边界条件，用有限差分法对方程和条件进行差分，数值积分求出 温度分布。计算两个模型下各点温度的残差平方并建立单目标最优化模型，利用 黄金分割法对单根 A 纤维的热导率进行搜索，求得最优情况下的温度分布如图 4 所示。求得最优的残差平方和为 2.2796，最后可以求得单根 A 纤维的热导率为 0.0564 。对于问题二，根据微观最小单位模型建立整体织物密度比热的乘积和纤维弯 曲倾角、纤维直径、纤维尺寸密度之间的关系，带入空气的比热、密度和问题一 计算得到的单根 A 纤维的比热和密度的乘积建立具体的关系式。建立两种整体 分析模型和微观最小单位模型的热传导方程和边界条件，将方程和条件进行差分， 将残差平方和和整体织物的热导率作为目标函数，建立双目标优化模型求解最 小的整体导热率，建立约束条件，利用分层序列的思想先把残差平方和作为目标， 再将整体织物的热导率作为目标，对纤维弯曲倾角、纤维直径、纤维尺寸密度进 行遍历搜索。求得最优的整体织物热导率为 0.0317 。对于问题三，对两问建立的热传导方程更改厚度为 0 时的边界条件，利用牛 顿冷却定律建立织物表层和空气接触面的边界条件，利用问题一和问题二的模型 建立部分参数的计算方法，利用有限差分法将边界条件离散化，建立向后隐式差 分格式，利用数值积分的方法对热传导方程进行求解，新问题一求解得到的最优 残差平方和为 47.6978，单根纤维 A 的热导率为 0.8335 。新问题二求解得 到的最优整体织物热导率为 0.0306 。
关键词：热传导方程、有限差分法、最优化模型、黄金分割法、分层序列
一、 问题重述
1.1、 问题背景 随着科学技术的快速发展，航天、军工、石化、建筑等多个行业都急需良好 的隔热材料。隔热材料通过其具有绝缘性能、对热流可起到屏蔽作用的性质，从 而具有导热系数小的特点，可以用隔热材料来防止热工设备及管道的热量散失也 能对于用于家居打造冬冷夏凉的家居生活环境。现有一种新型隔热材料 A，用其编织形成一种平纹织物，对于平纹织物进行 热传导考虑，要求在考虑单根织物的以及对于整个织物的热传导进行考虑，在已 知纤维弯曲角度、织物厚度、经密等不同时，会对于织物的导热性能进行影响， 由此解决下述三个问题。
1.2、 提出问题
问题一：在已知纤维弯曲角度、织物厚度等方面将会对整个织物的热传导造 成影响的前提下，附件一已有热源侧织物的表面温度，现要求建立平纹织物整体 热传导率与单根纤维热传导率之间关系的数学模型，并且用附件 2 的实验样本参 数测得平纹织物的整体热传导率为 ，要求使用建立的平纹织物整 体热传导率与单根纤维热传导率之间关系的数学模型来得出单根 A 纤维的热导 率。问题二：假设：制成织物的任意单根 A 纤维的直径在 并且 织物位于热源一侧表面温度随时间的变化的数据依旧参考附件 1。由于温度和织 物结构造成的织物整体密度和比热的变化可以忽略。现在要求使用合适的方法选 用单根 A 纤维的直径及调整织物的经密、纬密、弯曲角度，使得织物的整体热 导率最低。问题三：现对于附件 1 进行修改，现认为附件 1 的温度实际是热源侧织物表 面空气的温度，此时需要考虑该侧发生对流换热，假设织物表面的对流换热系数 为 ，要求重新解答问题一和问题二。
二、 问题分析
本文是对于隔热材料进行考虑，即要求使用热力学相关知识来解决材料问题， 在已知附件一的温度下考虑织物的热导率以及单根纤维的热导率之间关系。2.1、 问题一 对于问题一，在已知热源侧织物的表面温度要求建立平纹织物整体热导率与 单根纤维热导率之间关系的数学模型[1]。首先，根据题意热传导发生在空气之间
空气与织物之间以及织物内部单根纤维之间，所以要想求得整体织物热导率与单 根纤维热导率之间关系的数学模型，我们需要考虑纤维传热和空隙间气体传热。在有上述分析后，由于静态空气热导率，经向热导率以及纬向热导率大小不一样， 所以需要进行考虑，但是无论哪种材料，对于本文的作用效果都是为了传热，所 以我们可以对于本文织物空间中的温度进行考虑。我们可以分别对于整体织物进 行热传递考虑，以及对于局部纤维之间进行热传递考虑，再分别观察两种方程下 温度分布，将问题转化为优化类问题，即要对单根纤维热导率进行遍历，使得局 部考虑下对比整体考虑下，织物空间温度分布大小差值最小。温度差值最小情况 下，得出对应织物整体热扩散率与单根纤维热扩散率之间的关系。在有热扩散率 之间的关系后，由于空间既有空气分布又有纤维材料分布，导致密度分布不均匀， 所以要想求得热导率之间的关系，还需要得出密度关系，再根据比热的定义式， 计算出比热，最终得出本题所要求的热导率之间的关系模型。得到关系模型后， 再结合附件 2 的样品参数以及整体热导率，得出最后要求的单根纤维的热导率。
2.2、 问题二
对于问题二，仍然将问题视作最优化问题，即对于优化问题最后的目标是整 体热导率最低，局部考虑热传递作用和整体考虑热传递作用结合第一问的整体热 导率与单根纤维热导率之间的数学模型。问题中纤维的直径以及织物的经密、纬 密、弯曲角度，这些因素会对密度以及比热造成影响[2]，从而热扩散率换算成热 导率会受到影响。结合热传导方程以及文章的约束条件对密度和比热进行考虑。
2.3、 问题三
对于问题三进行分析。问题三对于前两问，附件 1 的温度变成热源侧织物表 面空气的温度，即此时对于热传导方程中边界条件以及初始条件发生了变化，所 以需要对于前两问的热传递模型进行改变，其余分析步骤几乎一致。
三、 模型假设
1、为了方便计算，将圆柱体的边界看成圆弧和直线的简易几何组合。2、由于对于编织物来说，深度方向的热传导应远大于横向的热传导，故忽 略横向热传导。3、由于空气密度，比热在温度变化较小的范围内变化较小，故直接将空气 的密度和比热看成常数。
四、 符号说明
五、 模型准备
5.1、 热传导方程的推导
热传学以热力学第一定律和第二定律为基础，热量是始终从高温热源传递导 低温热源，对于本文来说，不考率外界能量的加入，从而认为本文中热能始终是 守恒的。通常情况下，对于热传递过程，主要考虑热传导以及热对流，对于热辐 射，其作用效果的幅度远小于前两者，从而在问题中可以不对其进行考虑。热传递是一个时空的过程，即既需要对于时间进行考虑又要对于空间进行考 虑，从而要想得出热传导方程需要进行偏微分方程处理。要想得出热传导方程， 需要对于下述三个条件进行考虑：初始条件、边界条件、边界面条件。其中初始 条件和边界条件主要通过附件一的温度进行考虑，对于边界条件，由于本文中既 有流体空气又有固体纤维，所以认为本文所用的边界面条件为第三类边界条件。热传导方程[3]具体推导如下所示：传递过程中吸收的热量 将物体微元化处理，对于一个物体的微元，在空间上 范围内，时 间上 范围内，吸收的热量可以表示为：
其中 为热传递过程中吸收的热量， 为比热， 为物体密度。根据微分的定义：当自变量变化很小时，对应的因变量变化值可以用导数进行表示从而可以得出如 下表达式：
传递过程中流出的热量 根据傅里叶定律，单位时间内通过截面的热量正比于垂直于该截面方向上的 温度变化率，从而得出对应表达式为：
5.2、 热扩散率和热导率
热扩散率是热导率与比热容和密度的乘积之比，根据质量与体积之比得出对 应的密度，即本文需要度弯曲角度以及厚度进行考虑得出本文中的密度。对于比 热进行求解，可以根据整体的比热容以及空气的比热容进行求解。
六、 问题一模型建立以及结果分析
6.1、 模型的建立 根据热力学知识，可知热传递主要是通过热传导、热辐射和热对流三种情况 进行的，其中热辐射是由物体内部微观粒子在运动状态改变时所激发出来的，但 是对于本文来说热传导和热对流的作用效果远大于热辐射。热传导方程在模型准备中已经给出。根据问题分析，我们可以知道，对于某一时刻该系统空间上的温 度分布，可以使用两种热传导方程进行考虑，可以整体对于整个织物进行热传导 考虑，可以得出对应空间上的温度分布，再对于局部材料进行热传导考虑后，也 可以得出另外的温度分布情况，而对于热传导方程，即需要热导率，或热扩散率。对于本题由热扩散率得出热导率还需进行比热容以及密度考虑所以先建立热扩 散率之间的关系。已知可以使用两种方式得出最后的温度分布情况，即可以根据 温度分布，建立处优化模型，目标函数即是两种不同的热传导方程下温度分布的 残差平方和的最小值。对整体织物进行热传导方程求解空间中温度分布情况：对于整体织物在截面方向建立坐标系，如下图所示：
取一最小单位为截取相邻经纱正中间点和相邻纬纱正中间点，以经向为轴切 展示如下所示：
图上三个坐标分别表示时间，空间，以及温度，观察对整体热传导分析下的 温度分布图以及上述结果热导率下微观情况温度分布图，可以看出温度分布情况 匹配度高，从而得出上述热导率 0.0564 为最后结果
七、 问题二模型建立以及结果分析
7.1、 模型的建立
对于第二问，可以使用第一问得到的信息并建立优化模型来进行求解。在第 一问中可知单根纤维与整体织物之间存在数学关系，则该关系成为第二问优化模 型的约束条件。因为热导率主要而物质的本身性质决定，而对于本文由于材料没 有改变并且热源没有改变所以可以认为第一问得出的单根纤维的热导率没有发 生变化。但是在第二问中，题目要求就单根纤维的直径及整体织物的经密、纬密、 弯曲角度进行考虑，这几个因素将会改变热导率、热扩散率关系转换中的密度的 大小，并且密度改变也会影响比热从而影响热传导方程。综上，本题主要需要对 于密度进行考虑，可以建立优化模型，然后通过改变上面四个物理量来对密度以 及比热进行遍历，得出最后的最小热导率。由问题（1）所建立的密度和比热的参数计算模型来对第二问进行求解分析， 经度方向的截面图如上面问腿一模型建立中图 2 所示。取相邻经纱正中间和相邻纬纱正中间的部分为一最小单位建立下述模型：最小单位的整体总体积可根据第一问中的模型写出：
变化的弯曲度、线密度、纤维直径影响空间内的纤维和空气的体积分布从而 影响温度的分布，对弯曲角度、线密度、纤维直径进行搜索，用微观模型在这种 情况下求得温度分布，再对整体织物的热导率进行搜索直到温度分布匹配，此时 求得整体织物的热导率。在得出上述的关系式，对于织物的整体热导率最低情况建立优化模型：目标函数如下所示：
八、 问题三模型的建立以及结果分析
8.1、 模型的建立
第三问将附件一中的温度改变成热源测织物表面空气的温度，要求在此情况 下重新对问题一和问题二进行考虑。对于热传导求时空中定解问题，需要有初始条件、边界条件以及边界面条件 提供条件，本题相对于前两题，改变了在位置为 0 时的边界条件，因此需要对于 前两问中 进行修改。因为一开始的热源加热的是空气，当空气流动时，因为热源测温度大于织物 面温度，从而发生热对流，热空气向织物面流动，设 为对流换热系数 由牛顿冷却定律，再对热源处进行微观分析，能够得出如下表达式：
九、 模型评价
9.1、 灵敏度分析
第二问，题目中给出弯曲角度、织物厚度、经密、纬密这四个物理量将会对 于物理系统中的各体积造成影响，从而影响质量、密度以及比热的大小。为探索 所建立模型对物理量发生改变时灵敏程度，作出如下灵敏度分析。将自变量经密在原本基础上，大小调整 ，后观察灵敏度曲线，如下所 示：
9.2、 模型优缺点
优点：考虑微观织物热传递的过程中将三维计算转为一维计算，以最小单位 进行模拟计算，利用各个经向纬向在同一深度下的温度做均值，较少了计算的复 杂度减少了计算时间。利用约束条件建立优化模型计算单根导热率，精确度高。
缺点：计算导热率的过程中将空气的密度比热导热率都看成了常数，在实际 应用中应将其看成关于温度的函数同步代入计算。
9.3、 模型的推广
在本文中使用热力学知识，建立热传导模型，对于热传导模型，还可以应用 到房屋建设隔热材料分析、消防员消防衣服分析等关于温度方向的问题中
十、 参考文献.
[1] 方偲颖 , 郝习波 . 平纹织物中的热传递数值模拟 [J]. 轻 纺 工 业 与 技 术,2022,51(06):45-47. [2] 弋梦梦. 机织物热传导性能及其数值模拟[D].中原工学院,2018. [3] 楚智媛.偏微分方程中热传导模型的建立与求解[J].中国新技术新产 品,2020(18):5-6.DOI:10.13612/j.cnki.cntp.2020.18.002. [4] 高睿,晋洁芳,宋佳等.展示空间基于黄金分割法的设计研究[J].戏剧之 家,2020(15):125+127
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