分层图最短路
一、分层图概念
分层图最短路 :在可以进行分层图的图上解决最短路问题
分层图：理解为有 多个平行的图
模型：在一个正常的图上可以进行 \(k\) 次决策，对于每次决策，不影响图的结构，只影响目前的 状态 或 代价。一般将 决策前的状态 和 决策后的状态 之间 连接一条权值为决策代价的边，表示付出该代价后就可以转换状态了
二、建图方式
有两种方法解决分层图最短路问题：
- 建图时 直接建成\(k+1\)层
- 多开一维 记录分层信息
1、建图时直接建成\(k+1\)层
我们建\(k+1\)层图。然后有边的两个点，多建一条到下一层边权为\(0\)的单向边，如果走了这条边就表示用了一次机会。
有\(N\)个点时:
| 层数 | 开始 | 结束 |
|---|---|---|
| 第一层 | \(1\) | \(n\) |
| 第二层 | \(n+1\) | \(2n\) |
| 第三层 | \(2n+1\) | \(3n\) |
| ... | ... | ... |
| 第\(i\)层 | \((i-1)*n+1\) | \(i*n\) |
| 第\(i+1\)层 | \(i*n+1\) | \((i+1)*n\) |
原始图要占一层，每经过一个条件变化，就到达一层，共\(k\)个条件，所以，要建\(K+1\)层图，数组要开到\(n*(k+1)\)，点的个数也为\(n*(k+1)\)
举个栗子：
n = 4，m = 3，k = 2
0 1 100
1 2 100
2 3 100
- \(4\)个节点，\(3\)条边，起点、终点、边权为上面的三组数据
- \(2\)有两条边可以免费，求第\(3\)长的边最短是多少
建成图之后大概是这样的：
对于上面的数据：答案就是\(3\)，\(3+n\)，\(3+2n\) 中的 最小值
注意
由于分层图的 空间复杂度 及 时间复杂度较高（特别是空间复杂度），故在分析时 一定要计算好时间及空间:
边数
- \(m*(k+1\))，无向图则需\(*2\)（可以理解为\(2\)个点互连的有向图）
- 考虑到每层图之间存在多条权值为\(0\)的边,一层最多有\(m\)条边，共\(k+1\)层(其实这里存在 楼梯 的是\(k\)层,多算一点防止\(RE\))，考虑无向图，\(*2\)
本题就是：\(M=5e4*11*2+ 5e4*11*2+ 10\)
千万不要因为 空间没开够 或 爆空间 而导致\(RE\)！！！
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 * 2 * 11 + 10; //节点数：1e4,无向图，1e4*2,共k+1(k<=10)层:1e4*2*11
const int M = 5e4 * 11 * 3 + 10; //边数
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dist[N], st[N];
//邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int n, m, s, t, k;
void dijkstra() {
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
dist[s] = 0;
q.push({0, s});
while (q.size()) {
int u = q.top().second;
q.pop();
if (st[u]) continue;
st[u] = true;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (st[j]) continue;
if (dist[j] > dist[u] + w[i]) {
dist[j] = dist[u] + w[i];
q.push({dist[j], j});
}
}
}
}
int main() {
//多组测试数据
while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
//初始化
memset(h, -1, sizeof(h));
idx = 0;
memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
memset(st, false, sizeof(st));
scanf("%d%d", &s, &t); //起点与终点
while (m--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
//分层图建图
for (int i = 0; i <= k; i++) { //创建k+1层分层图
add(a + i * n, b + i * n, c), add(b + i * n, a + i * n, c); //无向图
if (i < k) //从第0层开始，到k-1层结束，都需要向下一层建立通道
add(a + i * n, b + (i + 1) * n, 0), add(b + i * n, a + (i + 1) * n, 0);
}
}
//一遍最短路
dijkstra();
// k+1个层中，都去找t的最短路径，再取最小值，就是答案
int ans = INF;
for (int i = 0; i <= k; i++)
ans = min(ans, dist[t + i * n]);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
2、多开一维记录分层信息
我们把\(dist\)数组和\(st\)数组 多开一维 记录\(k\)次机会的信息
\(dist[i][j]\) 代表到达 \(j\) 用了 \(i\) 次免费机会的 最小花费
\(st[i][j]\) 代表到达 \(j\) 用了 \(i\) 次 免费机会的情况 是否出现过
更新步骤：
-
先更新同层之间（即花费免费机会相同）的最短路
dist[r][j] = min(dist[r][j],dist[r][u] + w[i]); -
更新从该层到下一层（即再花费一次免费机会）的最短路。
dist[r+1][j] = min(dist[r+1][j]，dist[r][u]);
对于数据：
n = 4，m = 3，k = 2
0 1 100
1 2 100
2 3 100
建成图之后大概是这样的：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e4 * 2 * 11 + 10; //节点数：1e4,无向图，1e4*2,共k+1(k<=10)层:1e4*2*11
const int M = N << 1; //边数
//邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int dist[15][N], st[15][N];
int n, m, s, t, k;
void dijkstra() {
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
dist[0][s] = 0; //第零层，起点s
q.push({0, s});
while (q.size()) {
int u = q.top().second;
q.pop();
int r = u / n; //行
u %= n; //列
if (st[r][u]) continue;
st[r][u] = true;
//更新同行,不使用免费机会
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (st[r][j]) continue;
if (dist[r][j] > dist[r][u] + w[i]) {
dist[r][j] = dist[r][u] + w[i];
q.push({dist[r][j], j + r * n});
}
}
//更新下一行，使用免费机会
if (r < k) {
//出发点u,目标点：下一行的j位置
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (st[r + 1][j]) continue; //下一行，j列走过吗?
if (dist[r + 1][j] > dist[r][u]) { //从r,u直接通过零成本过来 (r+1,j)
dist[r + 1][j] = dist[r][u];
q.push({dist[r + 1][j], j + (r + 1) * n});
}
}
}
}
}
int main() {
while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
memset(h, -1, sizeof(h));
memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
memset(st, false, sizeof(st));
idx = 0;
scanf("%d%d", &s, &t);
while (m--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c), add(b, a, c);
}
dijkstra();
int ans = INF;
for (int i = 0; i <= k; i++)
ans = min(ans, dist[i][t]);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
三、选择哪种方法
具体选择哪一种方法，看数据范围吧:
- 直接建成\(k+1\)层
一次性建全\(k+1\)层，如果超过题目上限\(128MB\)，那么就只能使用第二种办法。
比如本题：\(m=5e4,k=10\)，就是\(5e4*4*10=2e6\)
\(2e6 *4byte=8e6 ~ byte = 7812kb = 7.6mb\)
完全没有问题。
- 多开一维记录分层信息
这种办法由于只创建了一层节点的边关系，会小\(k\)倍的内存，同时，由于优先队列是一边进一边出的，所以内存可以控制。