动态规划有哪些经典题目？

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。在解决动态规划问题时，我们通常会将问题分解成多个阶段，每个阶段的状态都是由前一个或几个阶段的状态推导出来的。以下是一些经典的动态规划题目及其详细介绍：

经典 

1. 钢条切割（Rod Cutting）

问题描述：给定一段长度为n的钢条和一个价格表，价格表pi给出了长度为i的钢条的价格（i=1,2,...,n）。求切割钢条方案，使得销售收益最大。

状态定义：设rn为长度为n的钢条能获得的最大收益，则rn就是我们要找的最优解。

状态转移方程：rn = max(Pi + rn-i)，其中i从1遍历到n，Pi是长度为i的钢条的价格。

解法：使用动态规划表自底向上计算每个长度的最大收益，最终rn就是问题的解。

2. 矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）

问题描述：给定一个矩阵序列<A1, A2, ..., An>，我们希望计算它们的乘积A1A2...An的标量乘法次数最少。矩阵Ai的大小为pi-1 × pi。

状态定义：设m[i,j]为计算AiAi+1...Aj所需的最小乘法次数。

状态转移方程：m[i,j] = min{m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1pkpj}，其中k从i遍历到j-1。

解法：首先填充m[i,i]为0（因为单个矩阵乘法次数为0），然后使用动态规划表自底向上计算所有m[i,j]。

3. 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）

问题描述：给定两个序列X和Y，求它们的最长公共子序列的长度。

状态定义：设c[i,j]为序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

状态转移方程：

• 如果xi = yj，则c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
• 否则，c[i,j] = max(c[i-1,j], c[i,j-1])

解法：使用动态规划表填充c[i,j]，最终c[m,n]就是最长公共子序列的长度，其中m和n分别是X和Y的长度。

4. 斐波那契数列（Fibonacci Number）

问题描述：斐波那契数列是一个非常著名的数列，其中每个数是前两个数的和。求斐波那契数列的第n项。

状态定义：设f(n)为斐波那契数列的第n项。

状态转移方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，初始条件为f(1) = 1, f(2) = 1。

解法：使用动态规划或递归来计算f(n)，但递归方法可能因重复计算而导致效率低下，通常使用动态规划或记忆化递归来优化。

5. 最长回文子串（Longest Palindromic Substring）

问题描述：给定一个字符串s，求s中的最长回文子串。

解法：虽然这个问题可以用多种方法解决（如中心扩展法、动态规划、Manacher算法等），但动态规划是一种直观且易于理解的方法。

状态定义：设dp[i][j]为s的子串s[i...j]是否为回文子串。

状态转移方程：

• 如果s[i] = s[j]且(j - i < 2或dp[i+1][j-1]为true)，则dp[i][j] = true
• 否则，dp[i][j] = false

解法：使用动态规划表填充dp[i][j]，并跟踪最长回文子串的起始位置和长度。

以上只是动态规划中的一些经典题目，实际上动态规划的应用非常广泛，可以解决很多复杂的问题。在解决动态规划问题时，关键在于正确地定义状态和状态转移方程。

其他类型 

除了上面提到的经典动态规划题目外，还有许多其他类型的动态规划题目。这些题目涵盖了不同的领域和难度级别，从基础的算法练习到复杂的实际问题求解。以下是一些额外的动态规划题目类型及示例：

1. 背包问题

类型：背包问题是动态规划中最著名的问题之一，包括01背包、完全背包、多重背包等。

示例：

• 01背包问题：给定n种物品和一个容量为W的背包，物品i的重量是wt[i]，其价值为val[i]，每种物品只有一个。问应如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大？
• 完全背包问题：与01背包问题类似，但每种物品的数量是无限的。

2. 字符串问题

类型：包括最长公共子串、最长回文子串的变种、字符串编辑距离等。

示例：

• 编辑距离（Levenshtein距离）：给定两个字符串s和t，求将s转换为t所需的最少编辑操作次数（包括插入、删除和替换字符）。

3. 区间动态规划

类型：处理与区间相关的问题，如石子合并、矩阵链乘法等。

示例：

• 石子合并：有n堆石子排成一列，每堆石子有一定的数量。合并任意相邻的两堆石子，新的石子堆的数量为原来两堆石子的数量之和。合并这些石子堆直到剩下一堆石子为止，求合并过程中产生的最大收益。

4. 线性动态规划

类型：处理具有线性关系的问题，如斐波那契数列、最长递增子序列等。

示例：

• 最长递增子序列（LIS）：给定一个无序的整数数组，找出其中最长递增子序列的长度。

5. 树形动态规划

类型：处理与树结构相关的问题，如树的直径、树的最远点对、树的分治等。

示例：

• 树的直径：给定一棵无向树，求树上最长的路径的长度。

6. 状态压缩动态规划

类型：处理状态空间较小但状态转移较复杂的问题，通过状态压缩来降低空间复杂度。

示例：

• 旅行商问题（TSP）的状态压缩版本：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求访问每个城市恰好一次并返回出发点的最短路径。

7. 复合动态规划

类型：结合多种动态规划技巧和方法来解决问题。

示例：

• 带权重的最长公共子序列：在最长公共子序列的基础上，给每个字符一个权重，求权重和最大的最长公共子序列。

8. 其他

还有一些特殊的动态规划问题，如动态规划解决图论问题（如最短路径的Bellman-Ford算法可以看作是一种动态规划算法）、动态规划解决几何问题等。

请注意，以上只是动态规划题目的一些类型和示例，实际上动态规划的应用非常广泛，几乎可以应用于任何具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在解决具体问题时，需要根据问题的特点来选择合适的动态规划方法和技巧。