补题记录——Oct. Training 1-图论、集合哈希

H - Boboniu Walks on Graph

https://codeforces.com/problemset/problem/1394/B

题意

给n个点m条有向边，么个点的出度不超过k（k<=9），每条边都有一个边权在（\(1<=w<=m\)）且每条边权都不相同，
求有多少个k元组（c1,c2,c3,..ck）满足对于某个点，出度为x,则它的所有出边中，只能走边权第\(c_x\)大的边，然后每个点都能从自己出发走回自己。

思路

不难发现，要满足所有点都能走回自己，那必然是一个有向环。
因为k很小，我们可以暴力枚举所有情况，复杂度为k!.
为了快速check是否满足条件，我们用hash,每个点给一个点权，比对点权和来判断是否满足条件，复杂度变成了\(O(nk!)\)
这样任然超时，可以再做个预处理，将出度为i,选择走第j条边的所有边累加给 sum[i][j],后续就可以o(1)地加答案了。
复杂度变成了O(k * k!)

#include<bits/stdc++.h>
#include<array>
#define ll long long
#define all(a) a.begin(),a.end()
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;
const int M = 1e6 + 1;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;

#define int ll

int n, m, k, tot, cnt;
int bs = 131, base[N], out[N], sum[10][10], c[10];
vector<pair<int, int>>g[N];

void check() {
    int temp = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        temp = (temp + sum[i][c[i]]) % mod;
    }
    if (temp == tot) cnt++;
}

void dfs(int x, int ans) {
    if (x > k) {
        if (ans == tot) cnt++;
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= x; i++) {
            dfs(x + 1, (ans + sum[x][i]) % mod);
        }
    }
}

void solve() {
    cin >> n >> m >> k;
    base[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        base[i] = (base[i - 1] * bs) % mod;
        tot = (tot + base[i]) % mod;
    }

    for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({ w, v });
        out[u]++;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sort(g[i].begin(), g[i].end());
    
    //预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < out[i]; j++) {
            sum[out[i]][j + 1] = (sum[out[i]][j + 1] + base[g[i][j].second]) % mod;
        }
    }

    dfs(1, 0);
    cout << cnt << "\n";
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int _t = 1;
    //cin >> _t;
    while (_t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}